§1.4基本不等式(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知m>0，n>0，mn=81，則m+n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.272.(2025·濱州模擬)已知a2+b2=5，則4a2+A.9 B.7 C.95 D.3.函數f(x)=x2+xA.23 B.3+23C.2+22 D.54.(2024·漯河模擬)設正實數x，y，z滿足x2-xy+y2-z=0，則xyzA.4 B.2 C.3 D.1二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列說法正確的是()A.函數y=lnx+4lnB.函數y=x+4x(xC.函數y=x2D.若x+y=4，則x2+y2的最小值是86.(2024·重慶統考)已知x，y都為正數，且x+2y=4，則下列說法正確的是()A.2xy的最大值為4B.x2+4y2的最小值為12C.2y+1xD.x+2y的最大值為2三、填空題(每小題5分，共10分)7.設x>2，則函數y=4x-1+4x?2的最小值為8.已知實數x，y滿足3xy+y2=1，y>0，則2x+y的最小值是.

四、解答題(共28分)9.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：(1)xy的最大值；(6分)(2)2x+y的最小值.(7分)10.(15分)已知x，y都是正數.(1)若2x+3y=3，求xy的最大值；(7分)(2)若1x?y+12y=2，且x>y每小題5分，共10分11.正數a，b滿足a>b，ab=4，則a3A.2 B.3 C.4 D.612.(2024·山東濟南實驗中學模擬)已知x，y為正實數，且x+y=1，則x+6A.24 B.25C.6+42 D.62-3

答案精析1.B[因為m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，當且僅當m＝n＝9時，等號成立，所以m＋n的最小值是18.]2.C[因為a2＋b2＝5，所以4＝4a2＋1b2(a2＝1≥15當且僅當4b2a2＝a2b即b2＝53，a2＝10所以4a2＋13.B[因為x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝x＝(x?1)2＋3(x?1)＋3x?1＝(x－1)＋當且僅當x－1＝3x即x＝3＋1時取等號，所以函數f(x)＝x2＋x＋1x?1(4.D[因為正實數x，y，z滿足x2－xy＋y2－z＝0，則z＝x2＋y2－xy，所以xyz＝xyx當且僅當xy＝yx(x>0，y>0)，即x＝y時，等號成立，故5.BD[A選項，由于lnx可能小于0，即y＝lnx＋4lnx的函數值可能為負值，故其最小值為4不成立，故B選項，對于函數y＝x＋4x(x<0x＋4x＝－(?x)＋4?x≤－2(?x)·4?xC選項，y＝x2＋10x2＋9＝x2＋9＋1D選項，由基本不等式得x2＋y22≥x＋y22，所以x2＋y2≥2x＋y22＝2×6.ACD[由題意知正數x，y滿足x＋2y＝4.對于A，2xy＝x·2y≤x＋2y22＝4，當且僅當x＝2y對于B，x2＋4y2＝(x＋2y)2＋(x?2y)當且僅當x＝2y＝2時取等號，B錯誤；對于C，2y＋1x＝14(x＋2當且僅當x＝y＝43時取等號，C對于D，x＋2y＝x＋2y當且僅當x＝2y＝2時取等號，D正確.]7.15解析因為x>2，所以x－2>0，所以y＝4x－1＋4x?2＝4(x－2)＋4x?2＋7≥當且僅當4(x－2)＝4x即x＝3時等號成立，所以函數y＝4x－1＋4x?28.2解析因為實數x，y滿足3xy＋y2＝1，y>0，所以x＝1?y則2x＋y＝2?2y23y≥223當且僅當23即y＝2時，等號成立，所以2x＋y的最小值是229.解(1)因為x>0，y>0，根據基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(當且僅當x＝2y＝6令xy＝t(t>0)，則t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值為18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30?x2＋x>0，0<x<30，2x＋y＝2x＋30?x2＋x＝2(≥22(x＋2)當且僅當2(x＋2)＝322＋x，即x所以2x＋y的最小值為11.10.解(1)因為x，y都是正數，則2x＋3y≥22＝26xy，即26xy≤解得xy≤38，當且僅當2x＝3y即x＝所以xy的最大值為38(2)已知x，y都是正數，且x>y，令x－y＝m，2y＝n，所以m>0，n>0，1m＋所以x＋y＝m＋n＝(m＋n)·1＝1≥12×(2＋2)＝2當且僅當m＝n＝1，即x＝32，y＝12時，取等號，所以x＋y11.C[由題意得a>0，b>0，a－b>0，則a3＋b3