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文檔簡介
§1.4基本不等式(分值:80分)一、單項選擇題(每小題5分,共20分)1.已知m>0,n>0,mn=81,則m+n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.272.(2025·濱州模擬)已知a2+b2=5,則4a2+A.9 B.7 C.95 D.3.函數f(x)=x2+xA.23 B.3+23C.2+22 D.54.(2024·漯河模擬)設正實數x,y,z滿足x2-xy+y2-z=0,則xyzA.4 B.2 C.3 D.1二、多項選擇題(每小題6分,共12分)5.下列說法正確的是()A.函數y=lnx+4lnB.函數y=x+4x(xC.函數y=x2D.若x+y=4,則x2+y2的最小值是86.(2024·重慶統考)已知x,y都為正數,且x+2y=4,則下列說法正確的是()A.2xy的最大值為4B.x2+4y2的最小值為12C.2y+1xD.x+2y的最大值為2三、填空題(每小題5分,共10分)7.設x>2,則函數y=4x-1+4x?2的最小值為8.已知實數x,y滿足3xy+y2=1,y>0,則2x+y的最小值是.
四、解答題(共28分)9.(13分)已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求:(1)xy的最大值;(6分)(2)2x+y的最小值.(7分)10.(15分)已知x,y都是正數.(1)若2x+3y=3,求xy的最大值;(7分)(2)若1x?y+12y=2,且x>y每小題5分,共10分11.正數a,b滿足a>b,ab=4,則a3A.2 B.3 C.4 D.612.(2024·山東濟南實驗中學模擬)已知x,y為正實數,且x+y=1,則x+6A.24 B.25C.6+42 D.62-3
答案精析1.B[因為m>0,n>0,由基本不等式m+n≥2mn得,m+n≥18,當且僅當m=n=9時,等號成立,所以m+n的最小值是18.]2.C[因為a2+b2=5,所以4=4a2+1b2(a2=1≥15當且僅當4b2a2=a2b即b2=53,a2=10所以4a2+13.B[因為x>1,所以x-1>0,所以f(x)=x=(x?1)2+3(x?1)+3x?1=(x-1)+當且僅當x-1=3x即x=3+1時取等號,所以函數f(x)=x2+x+1x?1(4.D[因為正實數x,y,z滿足x2-xy+y2-z=0,則z=x2+y2-xy,所以xyz=xyx當且僅當xy=yx(x>0,y>0),即x=y時,等號成立,故5.BD[A選項,由于lnx可能小于0,即y=lnx+4lnx的函數值可能為負值,故其最小值為4不成立,故B選項,對于函數y=x+4x(x<0x+4x=-(?x)+4?x≤-2(?x)·4?xC選項,y=x2+10x2+9=x2+9+1D選項,由基本不等式得x2+y22≥x+y22,所以x2+y2≥2x+y22=2×6.ACD[由題意知正數x,y滿足x+2y=4.對于A,2xy=x·2y≤x+2y22=4,當且僅當x=2y對于B,x2+4y2=(x+2y)2+(x?2y)當且僅當x=2y=2時取等號,B錯誤;對于C,2y+1x=14(x+2當且僅當x=y=43時取等號,C對于D,x+2y=x+2y當且僅當x=2y=2時取等號,D正確.]7.15解析因為x>2,所以x-2>0,所以y=4x-1+4x?2=4(x-2)+4x?2+7≥當且僅當4(x-2)=4x即x=3時等號成立,所以函數y=4x-1+4x?28.2解析因為實數x,y滿足3xy+y2=1,y>0,所以x=1?y則2x+y=2?2y23y≥223當且僅當23即y=2時,等號成立,所以2x+y的最小值是229.解(1)因為x>0,y>0,根據基本不等式,30=x+2y+xy≥22xy+xy(當且僅當x=2y=6令xy=t(t>0),則t2+22t-30≤0,解得-52≤t≤32,又t>0,所以0<t≤32,即0<xy≤32,所以0<xy≤18,故xy的最大值為18.(2)由x+2y+xy=30可知,y=30?x2+x>0,0<x<30,2x+y=2x+30?x2+x=2(≥22(x+2)當且僅當2(x+2)=322+x,即x所以2x+y的最小值為11.10.解(1)因為x,y都是正數,則2x+3y≥22=26xy,即26xy≤解得xy≤38,當且僅當2x=3y即x=所以xy的最大值為38(2)已知x,y都是正數,且x>y,令x-y=m,2y=n,所以m>0,n>0,1m+所以x+y=m+n=(m+n)·1=1≥12×(2+2)=2當且僅當m=n=1,即x=32,y=12時,取等號,所以x+y11.C[由題意得a>0,b>0,a-b>0,則a3+b3
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