§5.4復數(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2025·沈陽模擬)已知a，b∈R，a-3i=(b-i)i(i為虛數單位)，則()A.a=1，b=-3 B.a=-1，b=3C.a=-1，b=-3 D.a=1，b=32.(2024·臺州模擬)已知復數z=2+iiA.z的實部為2B.|z|=5C.z=2-iD.z在復平面內對應的點位于第一象限3.(2025·瀘州模擬)已知z=a?i1+2i(a∈R)為純虛數，則實數A.2 B.1 C.-1 D.-24.(2024·銀川模擬)在復平面內，已知復數z1=1-i對應的向量為OZ1，現將向量OZ1繞點O逆時針旋轉90°，并將其長度變為原來的2倍得到向量OZ2，設OA.2i B.22i C.2 D.22二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·長沙模擬)設z1，z2為復數，則下列結論中正確的是()A.z1z1=B.z22C.若z12=0，則zD.z126.(2025·臨汾模擬)下列說法正確的是()A.若z=-2+i，則z在復平面內對應的點位于第二象限B.若z滿足z·i=-1+2i，則z的虛部為1C.若z是方程x2+3=0的根，則z=±3iD.若z滿足|z-1+2i|=2，則|z|的最大值為5+2三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2025·遼陽模擬)若復數z=10?5i2+i+|3-4i|，則|z|=.8.寫出一個同時滿足①②的復數z=.

①z3=z；②z?R.四、解答題(共28分)9.(13分)已知復數z=m2+m-2+(m-1)i(m∈R)，其中i為虛數單位.(1)若z是純虛數，求實數m的值；(6分)(2)若m=2，設z+iz?i=a+bi(a，b∈R)，試求a10.(15分)已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的一個根.(1)求實數a，b的值；(6分)(2)結合根與系數的關系，猜測方程的另一個根，并給予證明.(9分)每小題5分，共10分11.(2025·銀川模擬)在復平面內，復數z=a+bi(a∈R，b∈R)對應向量OZ(O為坐標原點)，設|OZ|=r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時針旋轉的角為θ，則z=r(cosθ+isinθ)，數學家棣莫弗發現棣莫弗定理：z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，由棣莫弗定理導出了復數乘方公式：zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，則復數(?1+3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12.已知復數z1，z2和z滿足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，則|z|的最大值為()A.23 B.3 C.3 D.1

答案精析1.A[因為a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.]2.B[z＝2＋ii＝－(2＋i)i＝1－2i，故實部為1，|z|＝5，z＝1＋2i，z在復平面內對應的點為(1，－2)，位于第四象限.3.A[因為z＝a?i1＋2i＝(因為z為純虛數，所以a?25＝0,?4.A[依題意，OZ1＝(1，設將向量OZ1繞點O逆時針旋轉90°所得向量坐標為(x，y)，x則有x?y＝0,x2＋因此OZ2＝2(1，1)＝(2，即z2＝2＋2i，所以z25.ACD[設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z1＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2，|z1|2＝aA正確；z22＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cd而|z2|2＝c2＋d若z12＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi＝0，可得a2－b2＝2ab＝0，解得a＝b＝0，即z1＝0，故z12＝(a＋bi)2＝a2?b2＋2abi＝a2－b2－2abi，(z1)2＝6.AC[對于A，z＝－2＋i在復平面內對應的點為(－2，1)，位于第二象限，故A正確；對于B，因為z·i＝－1＋2i，所以z＝?1＋2ii＝則z＝2－i，所以z的虛部為－1，故B錯誤；對于C，方程x2＋3＝0的根為±3i，故C正確；對于D，設z＝x＋yi(x，y∈R)，若z滿足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以(x?1)2＋(y＋2)2＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，則點(x，y)在以(1，－2)為圓心，2為半徑的圓上，又圓心到坐標原點的距離為12＋(?2)7.45解析z＝10?5i2＋i＝5(2?i)(2?i)(2＋i)(2?i)＋5＝5(3?4i)5|z|＝82＋(?4)8.i(或－i)解析因為z?R，不妨設z＝bi(b∈R，b≠0)，則(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合.9.解(1)因為z是純虛數，所以m2＋m(2)若m＝2，則z＝4＋i，故z＝(2＋i)2(2?i)(2＋i)＝35＋45i＝a＋bi，所以a＝35，10.解(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，所以?解得a(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.設另一個根為x2，由根與系數的關系，得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，所以x2＝－1－i是方程的另一個根.11.B[當z＝－1＋3i時，r＝2，取θ＝2π3，故＝210cos＝210?12＋顯然(?1＋3