§10.5事件的相互獨立性與條件概率、全概率公式(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·齊齊哈爾模擬)某同學參加社團面試，已知其第一次面試通過的概率為0.7，第二次面試通過的概率為0.5.若第一次未通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，若兩次面試互不影響，則該同學面試通過的概率為()A.0.85 B.0.7 C.0.5 D.0.42.以A，B分別表示某城市的甲、乙兩個區在某一年內出現停水的事件，據記載知P(A)=0.35，P(B)=0.30，P(A|B)=0.15，則兩個區同時發生停水事件的概率為()A.0.6 B.0.65 C.0.45 D.0.0453.(2025·沈陽模擬)某公司的兩名同事計劃今年國慶節期間從大理、麗江、洱海、玉龍雪山、藍月谷這5個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩.則在兩人中至少有一人選擇大理的條件下，兩人選擇的景點不同的概率為()A.58 B.89 C.784.設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車中途停車修理的概率為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為()A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·南京模擬)分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，記“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則()A.P(A)=1B.P(AB)=1C.A和B是互斥事件D.A和B是相互獨立事件6.一工廠將兩盒產品送檢，甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品.先從甲盒中隨機取出一個產品放入乙盒，分別以A1，A2和A3表示由甲盒取出的產品是一等品、二等品和三等品的事件；再從乙盒中隨機取出一產品，以B表示由乙盒取出的產品是一等品的事件.則下列結論中正確的是()A.P(B|A1)=6B.P(B)=27C.事件B與事件A1相互獨立D.P(A1|B)=4三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·武漢模擬)如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為12，則這個電路是通路的概率是.8.已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現每十個人中有六人能夠做出第一問，但在做不出第一問的情況下，做出第二問的概率為0.1；做出第一問的情況下，做不出第二問的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.

四、解答題(共28分)9.(13分)甲、乙、丙3名同學各自獨立去做某道題，已知甲能解出該題的概率為23，乙能解出而丙不能解出該題的概率為18，甲、丙都能解出該題的概率為(1)求乙、丙各自解出該題的概率；(6分)(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.(7分)10.(15分)人工智能是用于研究模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端科技之一，其理論和技術日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型：有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子中有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球，乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能地摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為12(1)求首次試驗結束的概率；(4分)(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率(先驗概率)進行調整.①求選到的袋子為甲袋的概率；(4分)②將首次試驗摸出的白球放回原來的袋子，繼續進行第二次試驗時有如下兩種方案：方案一，從原來的袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.(7分)每小題5分，共10分11.(2025·南昌模擬)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=35，P(A|B)=25，P(A+B)=A.P(B)=12 B.P(AB)=C.P(AB)=35 D.P(B|A)=12.如果10個籃球中有7個已打足氣，3個沒有打足氣.已知小明任拿一個籃球投籃，命中的概率為0.72，若小明用打足氣的籃球投籃，命中率為0.9，現小明用沒有打足氣的籃球投籃，則不能命中的概率為.

答案精析1.A[依題意，第一次面試不通過的概率為0.3，第二面試不通過的概率為0.5，因此面試失敗的概率為0.3×0.5＝0.15，所以該同學面試通過的概率為1－0.15＝0.85.]2.D[由題意可得P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.30×0.15＝0.045.]3.B[設“兩人中至少有一人選擇大理”為事件A，“兩人選擇的景點不同“為事件B，則P(A)＝2×4+125＝925，P所以P(B|A)＝P(AB4.A[設A1表示“該汽車是貨車”，A2表示“該汽車是客車”，則P(A1)＝23，P(A2)＝1設B表示“一輛汽車中途停車修理”，則P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，則P(B)＝P(A1B)+P(A2B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)，今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為P(A1|B)＝P＝P＝235.AD[由題意得，樣本空間為Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A＝{(正，正)，(正，反)}，B＝{(正，反)，(反，反)}，所以P(A)＝24＝1AB＝A∩B＝{(正，反)}，所以P(AB)＝14，B因為P(AB)＝14，所以A和B不是互斥事件，C因為P(AB)＝14，P(A)·P(B)＝12×所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以A和B是相互獨立事件，D正確.]6.ABD[因為甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，則P(A1)＝410P(A2)＝310，P(A3)＝3乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品，則P(B|A1)＝5+110+1P(B|A2)＝P(B|A3)＝510+1則P(B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)＝25×611+310×故A，B正確；因為P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝25×611＝1255，又P(AP(B)＝2755則P(A1B)≠P(A1)P(B)，則兩事件不相互獨立，故C錯誤；P(A1|B)＝P(A＝49，故D正確.7.3解析元件B，C都不正常的概率為P1＝1?12×則元件B，C中至少有一個正常工作的概率為1－P1＝34而電路是通路，即元件A正常工作與元件B，C中至少有一個正常工作同時發生，所以這個電路是通路的概率是P＝12×38.0.240.36解析設“做出第一問”為事件A，“做出第二問”為事件B，由題意可得P(A)＝610＝0.6P(B|A)＝0.1，P(B|A)＝0.6，則P(A)＝0.4，P(B|A)＝0.9，P(B|A)＝0.4，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.24，即此題得滿分的概率是0.24，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)即此題得0分的概率是0.36.9.解(1)設“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件C，則A，B，C相互獨立，由題意得P(A)＝23P(AC)＝P(A)P(C)＝23·P(C)＝1所以P(C)＝34P(BC)＝P(B)P(C)＝P(B)(1－P(C))＝P(B)·1?3所以P(B)＝12所以乙、丙各自解出該題的概率為12，3(2)設“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件D，則D＝因為P(A)＝23P(B)＝12，P(C)＝3所以P(A)＝13P(B)＝12，P(C)＝1因為A，B，C相互獨立，所以P(D)＝1－P(D)＝1－P(A＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－13×12×所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為232410.解設試驗一次，“選到甲袋”為事件A1，“選到乙袋”為事件A2，“試驗結果為紅球”為事件B1，“試驗結果為白球”為事件B2.(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)＝12×910+所以試驗一次結果為紅球的概率為1120，即首次試驗結束的概率為11(2)①因為B1，B2是對立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝920所以P(A1|B2)＝P＝P＝110所以選到的袋子為甲袋的概率為19.②由①得P(A2|B2＝1－P(A1|B2)＝1－19所以方案一中取到紅球的概率為P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)+P(A2|B2)P(B1|A2)＝19×910+方案二中取到紅球的概率為P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)+P(A1|B2)P(B1|A2)＝89×910+因為3745>5即選擇方案二第二次試驗結束的概率更大.11.C[∵P(A|B)＝P(AB)P(B)＝25，∴又∵P(A+B)＝1－P(AB)＝710，∴P(AB)＝310，故∵P(AB)＝P(B)－P(AB)＝310，∴P(B)－25P(B)＝∴P(B)＝12，故A∵P(AB)＝25P(B)＝1∴P(AB)＝P(A)－P(AB)＝35－1P(B|A)＝P(故D正確.]12.0.7解析設事件A1，A2分別表示小明拿的一個球為已打足氣的，沒有打足氣的，事件B表示投籃命中，則由題意可得P(A1)＝710＝0.7P(A2)＝310＝0.3又小明用打足氣的籃球投籃