第十章§10.1計數(shù)原理(分值：73分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·深圳模擬)某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語言英語，還要求同時進(jìn)修第三語言和第四語言，其中第三語言可從A類語言：日語、韓語、越南語、柬埔寨語中任選一個，第四語言可從E類語言：法語、德語、俄語、西班牙語、意大利語中任選一個，則學(xué)生可選取的語言組合數(shù)為()A.20 B.25 C.30 D.352.(2024·宿遷統(tǒng)考)某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的半裙，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有()A.24種 B.10種 C.9種 D.15種3.如圖所示，要接通從A到B的一條電路，不同的接法共有()A.6種 B.7種 C.8種 D.12種4.(2024·北京模擬)某興趣小組組織A，B，C三項比賽，請甲、乙、丙三位同學(xué)參加，每項冠軍只有一人，若甲恰好拿到其中一項冠軍，則不同的冠軍歸屬情況有()A.6種 B.12種 C.18種 D.27種5.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A.40 B.16 C.13 D.106.(2024·來賓模擬)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安排1人.若安排甲、乙兩人在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有()A.12種 B.16種 C.20種 D.24種二、多項選擇題(每小題6分，共18分)7.現(xiàn)有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是()A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B.每組選1名組長的選法種數(shù)為3024C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D.若另有3名學(xué)生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種8.(2025·廣州模擬)第15屆全運會于2025年11月9日至11月21日在廣東、香港、澳門三地舉行.現(xiàn)安排小明、小紅、小兵三名志愿者到甲、乙、丙、丁四個場館進(jìn)行服務(wù)，每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館，下列說法中正確的有()A.所有可能的方法有34種B.若甲場館必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種C.若志愿者小明必須去甲場館，則不同的安排方法有16種D.若三名志愿者所選場館各不相同，則不同的安排方法有24種9.某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表所示.現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論正確的是()站數(shù)x0<x≤33<x≤66<x≤9票價/元234A.若小明、小華兩人共花費5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種B.若小明、小華兩人共花費5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種C.若小明、小華兩人共花費6元，則小明、小華下地鐵的方案共有27種D.若小明、小華兩人共花費6元，則小明比小華先下地鐵的方案共有12種(同一地鐵站出站不分先后)三、填空題(每小題5分，共15分)10.若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”，現(xiàn)從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”的個數(shù)為.

11.(2024·福州統(tǒng)考)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種.

12.某團(tuán)支部進(jìn)行換屆選舉，從甲、乙、丙、丁四人中選出三人分別擔(dān)任書記、副書記、組織委員，規(guī)定上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職方案有種.

每小題5分，共10分13.(2024·廣州模擬)小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽，他想要選出至少一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)的時間段之間都有至少兩個課間休息，則小明一共有種練習(xí)的方案()

A.31 B.18 C.21 D.3314.(2024·長沙模擬)初等數(shù)論中的四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)6=22+12+12+02.設(shè)25=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是.(用數(shù)字作答)

答案精析1.A[第三語言可從4個A類語言中任選一個，有4種方法；第四語言可從5個E類語言中任選一個，有5種方法，所以共有4×5＝20(種).]2.D[第一類：選擇襯衣和半裙，共有3×4＝12(種)選擇方式；第二類：選擇連衣裙，共有3種選擇方式，所以共有12+3＝15(種)選擇方式.]3.C[最上面的線路有3種，中間線路1種，下面線路有2×2＝4(種)，三種情況相加為8種.]4.B[先從A，B，C三項冠軍中挑選一項冠軍安排給甲，有3種情況，剩余兩項冠軍可以給乙，也可以給丙，有22＝4(種)情況，綜上，當(dāng)甲恰好拿到其中一項冠軍時，不同的冠軍歸屬情況有3×4＝12(種).]5.C[分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8+5＝13(個)不同的平面.]6.B[按照甲、乙兩人在天和核心艙與問天實驗艙兩種情況討論：①若甲、乙兩人在天和核心艙，則需要從剩余4人中再選1人，剩下的3人去其余的兩個艙位，則有C41②若甲、乙兩人在問天實驗艙，則在剩下的4人中選3人去天和核心艙即可，共有C43根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12+4＝16(種)不同的安排方案.]7.ABC[選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為6+7+8+9＝30，故A正確；每組選1名組長的選法種數(shù)為6×7×8×9＝3024，故B正確；2人需來自不同的小組的選法種數(shù)為6×7+6×8+6×9+7×8+7×9+8×9＝335，故C正確；依題意，若不考慮限制，每個人有4種選擇，共有43種選擇，若第一組沒有人選，每個人有3種選擇，共有33種選擇，所以不同的選法有43－33＝37(種)，故D錯誤.]8.BCD[對于A，所有可能的方法有43種，故A錯誤；對于B，若甲場館沒有志愿者去，則不同的安排方法有33種，所以甲場館必須有志愿者去的不同的安排方法有43－33＝37(種)，故B正確；對于C，若小明必去甲場館，則小紅、小兵兩名志愿者各有4種安排，共有4×4＝16(種)不同的安排方法，故C正確；對于D，若三名志愿者所選場館各不相同，則共有A43＝24(種)不同的安排方法，故D正確9.BCD[兩人共花費5元分為兩類：小明花費2元，小華花費3元，此時兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)，同理當(dāng)小明花費3元，小華花費2元時，兩人下地鐵的方案也是9種，所以兩人下地鐵的方案共有18種，A不正確，B正確；兩人共花費6元分為三類：①小明花費2元，小華花費4元，此時兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)；②小明花費3元，小華花費3元，此時兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)；③小明花費4元，小華花費2元，此時兩人下地鐵的方案有3×3＝9(種)，所以兩人下地鐵的方案共有27種，C正確；小明比小華先下地鐵分為兩類：①小明花費2元，小華花費4元，此時兩人下地鐵的方案有9種；②小明和小華均花費3元，小明比小華先下地鐵僅有3種方案，所以共有12種方案，D正確.]10.40解析當(dāng)十位數(shù)字為3時，有A22個“傘數(shù)當(dāng)十位數(shù)字為4時，有A32個“傘數(shù)當(dāng)十位數(shù)字為5時，有A42個“傘數(shù)當(dāng)十位數(shù)字為6時，有A52個“傘數(shù)故共有A22+A3211.96解析依題意，5個區(qū)域涂4種顏色，故有兩個區(qū)域的顏色相同，這兩個區(qū)域可能為1和5，2和5，3和5，1和3，4種情況，故總共有4A44＝9612.11解析當(dāng)丁不入選時，由甲、乙、丙三人任職，甲有兩種選擇，余下的乙和丙只有一種選擇；當(dāng)丁入選時，有三種入選結(jié)果，丁擔(dān)任三個人中沒有入選的人的原職務(wù)時，只有一種任職方案，丁擔(dān)任入選的兩個人的原職務(wù)時，有兩種任職方案，共有3×(2+1)＝9(種)任職方案.綜上，共有9+2＝11(種)任職方案.13.B[七個課間編號為1，2，3，4，5，6，7，如果僅有一個課間練習(xí)，則每個課間都可以，有7種方案；若有兩個課間練習(xí)，選法有{1，4}，{1，5}，{1，6}，{1，7}，{2，5}，{2，6}，{2，7}，{3，6}，{3，7}，{4，7}，共10種方案；若有三個課間練習(xí)，選法為{1，4，7}，共1種，故共有7+10+1＝18(種)練習(xí)的方案.]14.28解析顯然a