§3.5導數與函數的最值(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知函數f(x)=-x+2sinx，x∈[0，π]，則函數f(x)的最大值為()A.0 B.2-πC.3-π3 D.3-答案C解析f(x)=-x+2sinx，x∈[0，π]，∴f'(x)=-1+2cosx，令f'(x)=0，得x=π3∴fπ3=3-π又f(0)=0，f(π)=-π，∴f(x)max=fπ3=3-π2.函數f(x)=(3x-1)e2x的最小值為()A.-3e?43 B.-32e答案B解析由f(x)=(3x-1)e2x，得f'(x)=6x+1e2令f'(x)<0，得x<-16；令f'(x)>0，得x>-16，所以函數f(x)在?∞所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值為f?16=?13.已知函數f(x)=lnx+ax在(0，1)上有最大值，則a的取值范圍是()A.(0，+∞) B.(0，1)C.(-∞，-1) D.(-1，0)答案C解析因為f'(x)=1x+a，x>0所以當a≥0時，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上單調遞增，不存在最大值；當a<0時，令f'(x)=0，得x=-1a所以當x∈0，?1a時，f'(x)>0，函數f(x)單調遞增，當x∈?1a，+∞時，f'(x)<0，函數f(x)單調遞減，所以f(x所以0<-1a<1，解得a<-14.某海上油田A到海岸線(近似直線)的垂直距離為10海里，垂足為B，海岸線上距離B處100海里有一原油廠C，現計劃在BC之間建一石油管道中轉站M.已知海上修建石油管道的單位長度費用是陸地上的3倍，要使從油田A處到原油廠C修建管道的費用最低，則中轉站M到B處的距離應為()A.52海里 B.522C.32海里 D.102海里答案B解析設BM=x(0<x<100)，并設陸地上修建石油管道的單位長度費用為1，則AM=100+x2，MC=100-所以總費用為f(x)=3100+x2+100-x(0<x<100)，則f'(x)=3令f'(x)>0，則522<x即f(x)在52令f'(x)<0，則0<x<52即f(x)在0，5所以當x=522時，f(x二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f'(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A.f(a)<f(b)<f(c)B.函數f(x)在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值C.函數f(x)在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值D.函數f(x)的最小值為f(d)答案AC解析由題圖可知，當x≤c時，f'(x)≥0，所以函數f(x)在(-∞，c]上單調遞增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A正確；因為f'(c)=0，f'(e)=0，且當x<c時，f'(x)>0；當c<x<e時，f'(x)<0；當x>e時，f'(x)>0.所以函數f(x)在x=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x=e處取得極小值，但不一定是最小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當d≤x≤e時，f'(x)≤0，所以函數f(x)在[d，e]上單調遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確.6.(2025·莆田模擬)已知函數f(x)=(x2-3x+1)ex，則下列說法中正確的是()A.f(x)在R上有兩個極值點B.f(x)無最大值、無最小值C.f(x)有最小值、無最大值D.函數f(x)在R上有三個零點答案AC解析∵f(x)的定義域為R，f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex，∴當x∈(-∞，-1)∪(2，+∞)時，f'(x)>0；當x∈(-1，2)時，f'(x)<0，∴f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上單調遞增，在(-1，2)上單調遞減，∴f(x)的極大值為f(-1)=5e，極小值為f(2)=-e2當x<0時，x2-3x+1>0，ex>0，∴f(x)>0在(-∞，0)上恒成立，可作出f(x)的圖象如圖所示，對于A，f(x)的極大值點為-1，極小值點為2，A正確；對于B，C，f(-1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B錯誤，C正確；對于D，由圖象可知，f(x)在R上有且僅有兩個零點，D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數y=(x+a)ex的最小值為-1，則實數a=.

答案-1解析y'=(x+a+1)ex，當x∈(-∞，-a-1)時，y'<0，函數單調遞減，當x∈(-a-1，+∞)時，y'>0，函數單調遞增，故當x=-a-1時，函數取得極小值，也是最小值，為-e-a-1，故-e-a-1=-1，所以a=-1.8.(2024·雅安模擬)已知f(x)=lnx，g(x)=x，若f(m)=g(n)，則m-n的最小值為.

答案1解析由題設f(m)=g(n)=t，則lnm=n=t，得m=et，n=t，則m-n=et-t，設h(x)=ex-x，h'(x)=ex-1，令h'(x)=0，得x=0，當x∈(-∞，0)時，h'(x)<0，h(x)單調遞減，當x∈(0，+∞)時，h'(x)>0，h(x)單調遞增，所以當x=0時，函數取得最小值，h(0)=1，所以m-n的最小值為1.四、解答題(共28分)9.(13分)小王大學畢業后決定利用所學專業進行自主創業，生產某小型電子產品.經過市場調研，生產該小型電子產品需投入年固定成本2萬元，當年產量為x萬件時，需另投入流動成本W(x)萬元.已知在年產量不足4萬件時，W(x)=13x3+2x，在年產量不小于4萬件時，W(x)=7x+64x-27.每件產品售價6元.(1)寫出年利潤P(x)(單位：萬元)關于年產量x(單位：萬件)的函數解析式；(年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本)(6分)(2)年產量為多少萬件時，小王在這一產品的生產中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？(7分)解(1)由題意，當0<x<4時，P(x)=6x-2-13x3+2x=-13當x≥4時，P(x)=6x-2-7x+64x?27所以P(x)=?(2)當0<x<4時，P'(x)=-x2+4，令P'(x)=0，解得x=2.易得P(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，4)上單調遞減，所以當0<x<4時，P(x)max=P(2)=103當x≥4時，P(x)=25-x+64x≤25-2x·64x=9，當且僅當x=64綜上，當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.10.(15分)設函數f(x)=x2+ax-lnx，a∈R.(1)若函數f(x)在[1，2]上單調遞減，求實數a的取值范圍；(6分)(2)令g(x)=f(x)-x2，是否存在實數a，使得當x∈(0，e](e是自然對數的底數)時，函數g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.(9分)解(1)∵f'(x)=2x∴當x∈[1，2]時，f'(x)≤0恒成立，即2x2+ax-1≤0恒成立，即a≤-2x+1x又函數y=-2x+1x在[1，2∴當x=2時，?2x+1故a的取值范圍是?∞(2)∵f(x)=x2+ax-lnx，a∈R，∴g(x)=f(x)-x2=ax-lnx，x∈(0，e]，∴g'(x)=a-1x=ax?1x(0<x當a≤0時，g(x)在(0，e]上單調遞減，g(x)min=g(e)=ae-1=3，解得a=4e當0<1a<e，x∈0，1a時，g'(x)<0，g(x)在0，1a上單調遞減，當x∈1a，e時，g'(x)>0∴g(x)min=g1a=1+lna=3，解得a=e2當1a≥e，x∈(0，e]時，g'(x)≤0，g(x)在(0，e]上單調遞減，g(x)min=g(e)=ae-1=3解得a=4e綜上，存在實數a=e2，使得當x∈(0，e]時，g(x)的最小值是3.每小題5分，共10分11.已知函數f(x)=x3-3x，x∈(a，a+4)存在最小值，則實數a的取值范圍為()A.[-2，1) B.(-2，1)C.[-3，1) D.(-3，1)答案A解析∵f(x)=x3-3x，∴f'(x)=3x2-3，令f'(x)=3x2-3=0，得x=±1，且當x<-1時，f'(x)>0；當-1<x<1時，f'(x)<0，當x>1時，f'(x)>0，∴f(x)在(-∞，-1)上單調遞增，在(-1，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增，又f(-1)=2，f(1)=-2，令f(x)=x3-3x=-2，解得x=-2或x=1，∴其圖象如圖所示，由圖可知，當x∈(a，a+4)時，f(x)存在最小值，∴-2≤a<1<a+4，解得-2≤a<1，即實數a的取值范圍為[-2，1).12.已知函數f(x)=lnx+x+1-xex，則函數f(x)的最大值為.

答案0解析f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=1x+1-(x+1)ex=(1+設g(x)=1-xex(x>0)，則g'(x)=-(x+1)ex<0，故函數g(x)在區間(0，+∞)上單調遞減，由于g(0)=1>0，g(1)=1-e<0，故存在x0∈(0，1)，使g(x0)=0，即g(x0)=1-x0ex0=0，即ex故當x∈(0，x0)時，g(x)>0，則f'(x)>0，當x∈(x0，+∞)時，g(x)<0，則f'(x)<0，所以f(x)的單調遞增區間為(0，x0)，單調遞減區間為(x0，+∞).即函數f(x)的最大值為f(x0)=lnx0+x0+1-x0ex0=ln1ex0+x0+1-x

答案精析1.C[f(x)＝－x＋2sinx，x∈[0，π]，∴f'(x)＝－1＋2cosx，令f'(x)＝0，得x＝π3∴fπ3又f(0)＝0，f(π)＝－π，∴f(x)max＝fπ3＝2.B[由f(x)＝(3x－1)e2x，得f'(x)＝6x＋1e2令f'(x)<0，得x<－16令f'(x)>0，得x>－16，所以函數f(x)在?∞，?所以f(x)＝(3x－1)e2x的最小值為f?＝－32e3.C[因為f'(x)＝1x＋a，x>0所以當a≥0時，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，不存在最大值；當a<0時，令f'(x)＝0，得x＝－1a所以當x∈0，?1a時，f'(x)>0，函數f(當x∈?1f'(x)<0，函數f(x)單調遞減，所以f(x)max＝f?1所以0<－1a<1，解得a<－1.4.B[設BM＝x(0<x<100)，并設陸地上修建石油管道的單位長度費用為1，則AM＝100＋x2，MC＝100－所以總費用為f(x)＝3100＋x2＋100－x(0<x則f'(x)＝3x100＋令f'(x)>0，則522<x即f(x)在52令f'(x)<0，則0<x<52即f(x)在0，5所以當x＝52f(x)取得最小值.]5.AC[由題圖可知，當x≤c時，f'(x)≥0，所以函數f(x)在(－∞，c]上單調遞增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A正確；因為f'(c)＝0，f'(e)＝0，且當x<c時，f'(x)>0；當c<x<e時，f'(x)<0；當x>e時，f'(x)>0.所以函數f(x)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，但不一定是最小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當d≤x≤e時，f'(x)≤0，所以函數f(x)在[d，e]上單調遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確.]6.AC[∵f(x)的定義域為R，f'(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex，∴當x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時，f'(x)>0；當x∈(－1，2)時，f'(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調遞增，在(－1，2)上單調遞減，∴f(x)的極大值為f(－1)＝5e，極小值為f(2)＝－e2當x<0時，x2－3x＋1>0，ex>0，∴f(x)>0在(－∞，0)上恒成立，可作出f(x)的圖象如圖所示，對于A，f(x)的極大值點為－1，極小值點為2，A正確；對于B，C，f(－1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B錯誤，C正確；對于D，由圖象可知，f(x)在R上有且僅有兩個零點，D錯誤.]7.－1解析y'＝(x＋a＋1)ex，當x∈(－∞，－a－1)時，y'<0，函數單調遞減，當x∈(－a－1，＋∞)時，y'>0，函數單調遞增，故當x＝－a－1時，函數取得極小值，也是最小值，為－e－a－1，故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.8.1解析由題設f(m)＝g(n)＝t，則lnm＝n＝t，得m＝et，n＝t，則m－n＝et－t，設h(x)＝ex－x，h'(x)＝ex－1，令h'(x)＝0，得x＝0，當x∈(－∞，0)時，h'(x)<0，h(x)單調遞減，當x∈(0，＋∞)時，h'(x)>0，h(x)單調遞增，所以當x＝0時，函數取得最小值，h(0)＝1，所以m－n的最小值為1.9.解(1)由題意，當0<x<4時，P(x)＝6x－2－1＝－13x3＋4x－2當x≥4時，P(x)＝6x－2－7＝25－x－64x所以P(x)＝?(2)當0<x<4時，P'(x)＝－x2＋4，令P'(x)＝0，解得x＝2.易得P(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，4)上單調遞減，所以當0<x<4時，P(x)max＝P(2)＝103當x≥4時，P(x)＝25－x≤25－2x·64x當且僅當x＝64x即x＝8時取等號.綜上，當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.10.解(1)∵f'(x)＝2x∴當x∈[1，2]時，f'(x)≤0恒成立，即2x2＋ax－1≤0恒成立，即a≤－2x＋1x又函數y＝－2x＋1x在[1，2∴當x＝2時，?2x＋1故a的取值范圍是?∞(2)∵f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R，∴g(x)＝f(x)－x2＝ax－lnx，x∈(0，e]，∴g'(x)＝a－1x＝ax?1x(當a≤0時，g(x)在(0，e]上單調遞減，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，解得a＝4e當0<1a<e，x∈0，g'(x)<0，g(x)在0，1當x∈1a，e時，g'(x)g(x)在1a∴g(x)min＝g1a＝1＋lna＝3，解得