§3.4導數與函數的極值(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2025·楚雄模擬)已知定義域為[-3，5]的函數f(x)的導函數為f'(x)，且f'(x)的圖象如圖所示，則()A.f(x)在(-2，2)上先增后減B.f(x)有極小值f(2)C.f(x)有2個極值點D.f(x)在x=-3處取得最大值2.已知函數f(x)=alnx-bx的極值點為1，且f'(2)=1，則f(x)的極小值為(A.-1 B.-a C.b D.43.(2024·赤峰模擬)已知函數f(x)=xlnx-ax有極值-e，則a等于()A.1 B.2 C.e D.34.若函數f(x)=aex-12x2-2x+b有兩個不相等的極值點，則實數a的取值可以是(A.e B.2 C.3 D.0二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·武漢模擬)設函數f(x)在R上可導，其導函數為f'(x)，且函數g(x)=x·f'(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是()A.f(x)有兩個極值點B.f(-2)為函數的極大值C.f(x)有一個極大值D.f(-1)為f(x)的極小值6.(2023·新高考全國Ⅱ)若函數f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有極大值也有極小值，則A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<0三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數f(x)=(x2+x-5)e3-x，則函數f(x)的極大值點為.

8.若函數f(x)=12x2-ax+lnx在(0，2)上有極值，則實數a的取值范圍是四、解答題(共27分)9.(13分)(2025·鹽城模擬)已知函數f(x)=ex-aln(x+1)的圖象在點(0，f(0))處的切線過點(2，1).(1)求實數a的值；(5分)(2)求f(x)的極值.(8分)10.(14分)(2024·新課標全國Ⅱ)已知函數f(x)=ex-ax-a3.(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(5分)(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.(9分)11題5分，12題6分，共11分11.已知ab≠0，若x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點，則()A.a<b B.a>bC.ab<b2 D.ab>b212.(多選)(2025·濟南模擬)已知函數f(x)=2ex-ax2+2存在兩個極值點x1，x2(x1<x2)，則下列結論正確的是()A.0<a<eB.0<x1<1<x2C.若x2=2x1，則a=2ln2D.lnx1+x2>0

答案精析1.B[由f'(x)的圖象可知，當x∈(－2，2)或x∈(4，5)時，f'(x)<0，則f(x)單調遞減，故A錯誤；當x∈(－3，－2)或x∈(2，4)時，f'(x)>0，則f(x)單調遞增，所以當x＝2時，f(x)有極小值f(2)，故B正確；由f'(x)的圖象結合單調性可知，當x＝－2，2，4時，f(x)有極值，所以f(x)有3個極值點，故C錯誤；當x∈(－3，－2)時，f'(x)>0，則f(x)單調遞增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3處不取得最大值，故D錯誤.]2.D[f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝ax由題意知，f'(1)＝0，f'(2)＝1，所以a＋bf(x)＝4lnx＋4x所以f'(x)＝4x令f'(x)＝0，得x＝1，當x∈(0，1)時，f'(x)<0，當x∈1，＋∞時，f'(x)>0所以x＝1是函數f(x)的極小值點，極小值為f(1)＝4.]3.B[由題目條件可得，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋1－a.令f'(x)>0，得x>ea－1；令f'(x)<0，得0<x<ea－1.所以函數f(x)在區間(0，ea－1)上單調遞減，在區間(ea－1，＋∞)上單調遞增.則函數f(x)的極小值點是ea－1，無極大值點，故f(ea－1)＝ea－1lnea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.]4.B[由f(x)＝aex－12x2－2x＋b得f'(x)＝aex－x－2由于f(x)＝aex－12x2－2x＋b則方程f'(x)＝aex－x－2＝0有兩個不相等的實數根，即a＝x＋2ex，記g(x)則g'(x)＝?1?x故當x>－1時，g'(x)<0，g(x)單調遞減，當x<－1時，g'(x)>0，g(x)單調遞增，所以當x＝－1時，g(x)取得極大值g(－1)＝e，又當x>－2時，g(x)>0恒成立，則函數y＝g(x)的圖象與直線y＝a如圖所示，故0<a<e.]5.AC[g(x)＝x·f'(x)，并結合其圖象，可得到如下情況，當x<－2時，g(x)>0，f'(x)<0，f(x)在(－∞，－2)上單調遞減；當－2<x<0時，g(x)<0，f'(x)>0，f(x)在(－2，0)上單調遞增；當0<x<1時，g(x)>0，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上單調遞增；當x>1時，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，∴f(x)在x＝－2處取得極小值，在x＝1處取得極大值，f(x)有兩個極值點，故B，D錯誤，A，C正確.]6.BCD[函數f(x)＝alnx＋bx＋cx2的定義域為(則f'(x)＝ax－b因為函數f(x)既有極大值也有極小值，則函數f'(x)在(0，＋∞)上有兩個變號零點，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有兩個不相等的正實數根x1，x2，于是Δ即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，顯然a2bc<0，即bc<0，故A錯誤，B，C，D正確.]7.3解析由題意，函數f(x)＝(x2＋x－5)e3－x，則f'(x)＝－(x2－x－6)·e3－x＝－(x－3)(x＋2)·e3－x，令f'(x)>0，得－2<x<3；令f'(x)<0，得x<－2或x>3，所以函數f(x)的單調遞增區間是(－2，3)，單調遞減區間為(－∞，－2)，(3，＋∞)，當x＝3時，函數f(x)取得極大值，即函數f(x)的極大值點為3.8.(2，＋∞)解析f(x)＝12x2－ax＋lnx的定義域為(0，＋∞f'(x)＝x－a＋1x要使函數f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2則f'(x)＝x－a＋1x在(0，2令g(x)＝x＋1x，x∈(0，2則g(x)＝x＋1x≥2x·1當且僅當x＝1時等號成立，所以a≥2.當a＝2時，f'(x)＝x－a＋1x＝x＋1x－2≥0，函數f(則函數f(x)＝12x2－ax＋lnx在(0，2)上沒有極值，故a>2即實數a的取值范圍是(2，＋∞).9.解(1)由已知得f'(x)＝ex－ax則f'(0)＝e0－a＝1－a，又f(0)＝1，所以f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程為y＝(1－a)x＋1，將點(2，1)代入得1＝2(1－a)＋1，解得a＝1.(2)由(1)知f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域為(－1，＋∞)，所以f'(x)＝ex－1＝(x令g(x)＝(x＋1)ex－1(x>－1)，則g'(x)＝(x＋2)ex，易得g'(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，又g(0)＝0，所以當－1<x<0時，g(x)<0，即f'(x)<0，f(x)在(－1，0)上單調遞減；當x>0時，g(x)>0，即f'(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)的極小值為f(0)＝1，無極大值.10.解(1)當a＝1時，則f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切點坐標為(1，e－2)，切線斜率k＝e－1，所以切線方程為y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)方法一因為f(x)的定義域為R，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，則f'(x)>0對任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上單調遞增，無極值，不符合題意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增，則f(x)有極小值f(lna)＝a－alna－a3，無極大值，由題意可得，f(lna)＝a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0，令g(a)＝a2＋lna－1，a>0，則g'(a)＝2a＋1a>0可知g(a)在(0，＋∞)上單調遞增，且g(1)＝0，不等式a2＋lna－1>0等價于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范圍為(1，＋∞).方法二因為f(x)的定義域為R，且f'(x)＝ex－a，若f(x)有極小值，則f'(x)＝ex－a有零點，令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex與y＝a有交點，則a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增，則f(x)有極小值f(lna)＝a－alna－a3，無極大值，符合題意，由題意可得，f(lna)＝a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0，令g(a)＝a2＋lna－1，a>0，因為y＝a2，y＝lna－1在(0，＋∞)上均單調遞增，所以g(a)在(0，＋∞)上單調遞增，且g(1)＝0，不等式a2＋lna－1>0等價于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范圍為(1，＋∞).11.C[由三次函數的性質可知，要使x＝a為函數f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點，則當a>0時，函數f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則0<a<b，此時ab<b2；當a<0時，函數f(x)的大致圖象如圖(2)所示，則b<a<0，此時ab<b2.綜上，ab<b2.]12.BD[由題可得f'(x)＝2ex－2ax，f(x)的定義域為R，則f'(x)＝0，即方程ex－ax＝0有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x2)，顯然x≠0，即方程a＝exx有兩個不相等的實數根x1，x2(x1<x令g(x)＝exx，x≠則g(x)＝exx的圖象與直線y＝x1，x2(x1<x2)，又g'(x)＝ex所以由g'(x)<0可得x∈(－∞，0)∪(0，1)，由g'(x)>0可得x∈(1，＋∞)，所以g(x)在(－∞，0)，(0，1)上單調遞減，在(1，