§6.7子數列問題(分值：55分)1.(12分)(2024·佳木斯模擬)已知等差數列{an}的公差d>0，a2與a8的等差中項為5，且a4a6=24.(1)求數列{an}的通項公式；(6分)(2)設bn=an,n為奇數,1an2.(13分)(2024·北京首都師范大學附屬中學模擬)已知等差數列{an}滿足a3=5，且a5-2a2=3.又數列{bn}中，b1=3且3bn-bn+1=0(n=1，2，3，4，…).(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；(3分)(2)若ai=bj，則稱ai(或bj)是{an}，{bn}的公共項.①直接寫出數列{an}，{bn}的前4個公共項；(4分)②從數列{an}的前100項中將數列{an}與{bn}的公共項去掉后，求剩下所有項的和.(6分)3.(15分)(2025·馬鞍山模擬)已知數列{an}的前n項和Sn=2an-n(n∈N*).(1)求證：數列{an+1}是等比數列，并求{an}的通項公式；(7分)(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k個數構成一個新數列{bn}：a1，2，a2，4，6，a3，8，10，12，a4，…，插入的所有數依次構成首項為2，公差為2的等差數列，求{bn}的前50項和T50.(8分)4.(15分)已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=an2+2an-3(n∈N(1)求數列{an}的通項公式；(7分)(2)將數列{an}和數列{2n}中所有的項按照從小到大的順序排列得到一個新數列{bn}，求{bn}的前100項和.(8分)

答案精析1.解(1)因為數列{an}為等差數列，且a2與a8的等差中項為5，所以a2+a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5，因為a4a6＝24，所以(5－d)(5+d)＝24，解得d＝±1，因為d>0，所以d＝1，所以an＝a5+(n－5)d＝5+(n－5)＝n，故數列{an}的通項公式為an＝n.(2)由題知bn＝n,n為奇數即bn＝n,n所以T20＝b1+b2+b3+b4+…+b19+b20＝1+12×12?14+3+12×1＝(1+19)×102+1故數列{bn}的前20項和T20為2205222.解(1)設等差數列{an}的公差為d，則有a解得a因此an＝1+2(n－1)＝2n－1.由3bn－bn+1＝0，得bn+1＝3bn，而b1＝3，則數列{bn}是以b1＝3為首項，3為公比的等比數列，bn＝3×3n－1＝3n，所以數列{an}，{bn}的通項公式分別為an＝2n－1，bn＝3n.(2)①由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n，則a2＝b1＝3，a5＝b2＝9，a14＝b3＝27，a41＝b4＝81，所以數列{an}，{bn}的前4個公共項依次為3，9，27，81.②a100＝199，而b5＝243>a100，因此數列{an}的前100項中是數列{an}與{bn}公共項的只有3，9，27，81這4項，所以剩下所有項的和為1+1992×100－(3+9+27+81)＝10000－120＝93.解(1)因為Sn＝2an－n，①所以當n＝1時，a1＝1；當n≥2時，Sn－1＝2an－1－(n－1)，②①－②得an＝2an－1+1，所以an+1＝2(an－1+1)，又a1+1＝2，所以數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，則an+1＝2n，即an＝2n－1.(2)由題意得，在新數列{bn}中，從a1到ak，共插入了1+2+…+(k－1)＝k(共有k+k(k當k＝9時，9+9×(9?1)2＝45<50；當k＝10時，10+所以在新數列{bn}的前50項中，有{an}的前9項，有新插入的等差數列{2n}的前41項，所以T50＝(21－1)+(22－1)+…+(29－1)+(2+4+…+82)＝2×(1?29)4.解(1)依題意，an>0，當n＝1時，得a1＝3，4Sn＝an2+2an當n≥2時，有4Sn－1＝an?12+2an作差得4an＝an2－an?12+2∴(an+an－1)(an－an－1－2)＝0(n≥2)，∵an+an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)，∴數列{an}是首項為3，公差為2的等差數列，∴an＝2n+1，n∈N*.(2)由(1)得a100＝201，又27<201<28