§9.3一元線性回歸模型及其應用(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.下列兩個變量中，成正相關的兩個變量是()A.汽車自身的重量與行駛每公里的耗油量B.正方形的面積與邊長C.花費在體育活動上的時間與期末考試數學成績D.期末考試隨機編排的準考證號與期末考試成績總分2.某校課外學習小組研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，由實驗數據得到如圖所示的散點圖.由此散點圖判斷，最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸模型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2(b>0)C.y=a+bex D.y=a+blnx3.已知變量y關于變量x的非線性經驗回歸方程為y^=b^lnxee3e4e6e7y12345若x=e10，則y的值大約為()A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.044.為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數據(如表所示)：x12345y0.50.911.11.5若已求得經驗回歸方程為y^=b^附：樣本相關系數r=nΣA.b^B.當x=8時，y的預測值為2.2C.兩變量y與x負相關D.去掉樣本點(3，1)后，x與y的樣本相關系數r不會改變二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·南昌模擬)如圖對兩組數據x，y和v，u分別進行回歸分析，得到散點圖如圖，并求得經驗回歸方程分別是y=b^1x+a^1和u=b^2v+a^2，并對變量x，y進行線性相關檢驗，得到樣本相關系數r1A.b^1<0 B.C.r1<r2 D.r1+r6.(2024·武漢模擬)某科技公司統計了一款APP，最近5個月的下載量如表所示，若y與x線性相關，且經驗回歸方程為y^=-0.6x+a月份編號x12345下載量y(萬次)54.543.52.5A.y與x負相關B.a^C.預測第6個月的下載量約為2.1萬次D.殘差絕對值的最大值為0.2三、填空題(每小題5分，共10分)7.甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數據，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的樣本相關系數分別為r1=0.66，r2=-0.97，r3=0.92，r4=0.89，則這四人中，研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高.8.新能源汽車的核心部件是動力電池，電池成本占了新能源整車成本的大部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開始，碳酸鋰的價格一路水漲船高，下表是2022年某企業的前5個月碳酸鋰的價格與月份的統計數據：月份代碼x12345碳酸鋰價格y(萬元/kg)0.50.61m1.5根據表中數據，得出y關于x的經驗回歸方程為y^=0.28x+a^，根據數據計算出在樣本點(5，1.5)處的殘差為-0.06，則表中m=四、解答題(共27分)9.(13分)(2024·曲靖模擬)某地區2019-2023年的充電樁數量及新能源汽車的年銷量如表所示：年份20192020202120222023充電樁數量x/萬臺13579新能源汽車的年銷量y/萬輛2537485872(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用樣本相關系數加以說明(結果精確到0.001)；(6分)(2)求y關于x的線性回歸方程，預測當該地區充電樁數量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？(7分)參考公式：樣本相關系數r=nΣ經驗回歸方程y^=a^+b^x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b^=nΣi=1(參考數據：5Σi=1(xi?x)2=40，510.(14分)某科技公司為加大高科技研發投入，現對近十年來高科技研發投入情況分析調研，統計了近十年的研發投入y(單位：億元)與年份代碼x共10組數據，其中年份代碼x=1，2，…，10分別指2014年，2015年，…，2023年.現用模型①y=bx+a，②y=c+dx分別進行擬合，由此得到相應的經驗回歸方程，并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖.根據收集到的數據，計算得到下表數據，其中ti=xi，t=11010yt101010Σi=1(yi-y)·(xi-10Σi=1(yi-y)·(ti-752.2582.54.5121.428.82(1)根據殘差圖，比較模型①②的擬合效果，判斷哪個模型擬合效果更好，并說明理由；(5分)(2)根據(1)中所選模型，求出y關于x的經驗回歸方程(結果保留2位小數)；根據該模型，求該公司2029年高科技研發投入y的預報值.(9分)附：經驗回歸直線y^=a^+b^x的斜率和截距的最小二乘估計分別為b^=nΣi=1(11題6分，12題5分，共11分11.(多選)某地新開了一條夜市街，每晚平均客流量為2萬人，每晚最多能接納的客流量為10萬人，主辦公司決定通過微信公眾號和其他APP進行廣告宣傳提高營銷效果.通過調研，公司發現另一處同等規模的夜市街投入的廣告費x(單位：萬元)與每晚增加的客流量y(單位：千人)存在如下關系：x/萬元123456y/千人56891220現用曲線C：y^=c^1+c^2×2x擬合變量x與y的相關關系，并利用一元線性回歸模型求參數c參考數據：y=10，6Σi=1xiyi=257，6Σi=1xi2=91，6Σi=12i=126，6Σi=1(附：一元線性回歸模型參數的最小二乘估計公式：b^=nΣi=1xiyiA.c^B.曲線C經過點(log221，10)C.廣告費每增加1萬元，每晚客流量平均增加3000人D.若廣告費超過9萬元，則每晚客流量會超過夜市街的接納能力12.(2024·邵陽模擬)某學習小組對一組數據(xi，yi)(i=1，2，3，…，7)進行回歸分析，甲同學首先求出回歸直線方程為y^=5x+4，x=2，y=m.乙同學對甲同學的計算過程進行檢查，發現甲同學將數據(2，3)誤輸成(3，2)，將這兩個數據修正后得到回歸直線方程為y^=kx+7，則實數k=

答案精析1.A[一般情況下，汽車越重，則每公里耗油量越多，成正相關，故A正確；正方形的面積與邊長是函數關系，故B錯誤；一般情況下，若花費在體育活動上的時間越長，則期末考試數學成績可能會降低，故不為正相關，故C錯誤；期末考試隨機編排的準考證號與期末考試成績總分沒有相關關系，故D錯誤.]2.D[由散點圖可見，數據分布成遞增趨勢，但是呈現上凸效果，即增長緩慢.A中，y＝a+bx是直線型，均勻增長，不符合要求；B中，y＝a+bx2(b>0)是二次函數型，圖象呈現下凸，增長也較快，不符合要求；C中，y＝a+bex是指數型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；D中，y＝a+blnx是對數型，增長緩慢，符合要求.故對數型最適宜該回歸模型.]3.C[由y^＝b令t＝lnx，則y^＝由題意易得t＝1+3+4+6+75所以3＝b^×解得b^所以y^＝0.657lnx若x＝e10，解得y^＝6.81.4.D[x＝1+2+3+4+55＝3，y＝0.5+0.9+1+1.1+1.55＝1，將(3，1)代入y當x＝8時，y的預測值為y^＝0.22×因為b^＝0.22>0，所以兩變量y與x去掉樣本點(3，1)后，新樣本數據的平均值沒有變化，即x＝3，y＝1仍然成立，不妨設(3，1)為第5組數據，即x5＝3，y5＝1，則x5－x＝0，y5－y＝0，其余數據沒有變化，則由樣本相關系數公式r＝nΣi=1(xi?x)(yi?y5.ABD[由散點圖可知，x與y負相關，v與u正相關，則b^1<0，b^2>0，故A，B正確；圖形中點(x，y)比(則r1>r2，又r1<0，r2>0，則r1+r26.ACD[因為－0.6<0，所以變量y與x負相關，故A正確；x＝15×(1+2+3+4+5)＝3，y＝15×(5+4.5+4+3.5+2.5)＝3.9，y^＝－0.6x+a當x＝6時，y^＝－0.6×當x＝1時，y^1＝－0.6×1+5.7＝5.1，|y1－y^1|＝0.1；當x＝2時，y^2＝－0.6×2+5.7＝4.5，|y2－y^2|＝0；當x＝3時，y^3＝－0.6×3+5.7＝3.9，|y3－y^3|＝0.1；當x＝4時，y^4＝－0.6×4+5.7＝3.3，|y4－7.乙解析因為|r2|＝0.97>|r3|>|r4|>|r1|，所以這四人中，乙研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高.8.1.4解析由題設，1.5－y^＝1.5－(0.28×5+a可得a^又x＝1+2+3+4+5＝3.6+m所以0.28×3+0.16＝3.6+m可得m＝1.4.9.解(1)由題可知，x＝15×(1+3+5+7+9y＝15×＝48，所以r＝5＝5＝1430?5×5×因為y與x的樣本相關系數近似為0.999，非常接近1，所以y與x的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.(2)b＝5.75，a^＝y所以y關于x的線性回歸方程為y^＝5.75x當x＝24時，y^＝5.75×所以當充電樁數量為24萬臺時，該地區新能源汽車的年銷量為157.25萬輛.10.解(1)應該選擇模型②.由于模型②殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，且帶狀區域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，相應的經驗回歸方程的預報精度就會越高，所以選模型②比較合適.(2)根據模型②，令t＝x，研發投入y與t可用經驗回歸方程來擬合，有y^＝則d≈6.404，所以c^＝y－d^t＝75－28.824.5×2.25＝60.59，則所以y關于x的非線性經驗回歸方程為y^＝6.40x在2029年，即當x＝16時，y^＝6.4016＝86.19(億元).所以該公司2029年高科技研發投入y的預報值為86.19億元.11.BD[由題知，6Σi=12iyi＝1y＝10，166Σi=12i＝1＝5460，所以c＝3231407c^1≈10－0.23所以y^＝5.17+0.23×2x令x＝log221，求得y^由上式可知，x每增加1萬元，y不是平均增加的，C錯誤；若x>9，則y^>122.9