§8.10圓錐曲線中的綜合問題(分值：60分)1.(13分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>(1)求橢圓C的標準方程；(5分)(2)過點0，?13且斜率存在的直線l與橢圓C交于M，N2.(15分)(2025·安康模擬)已知M(4，4)為拋物線C：y2=2px(p>0)上的一點，F為C的焦點，O為坐標原點.(1)求△MOF的面積；(5分)(2)若A，B為拋物線C上的兩個動點，直線MA與MB的斜率之積恒等于-2，證明：直線AB過定點.(10分)3.(15分)(2024·酒泉模擬)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，(1)求雙曲線C的方程；(5分)(2)若雙曲線C的右頂點為A，B(0，-b)，過坐標原點的直線l與C交于E，F兩點，與直線AB交于點M，且點E，M都在第一象限，△AFM的面積是△AEM面積的5倍，求直線l的斜率.(10分)4.(17分)(2024·晉中模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1((1)求橢圓C的方程；(5分)(2)已知圓的方程為x2+y2=2，過圓上任意一點作圓的切線，切線與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，設Q為AB的中點，當|OQ|取最大值時，求直線AB的方程.(12分)答案精析1.解(1)由題意知b＝1，所以橢圓C的方程為x2a2+y代入點1，22，得a所以橢圓C的標準方程為x22+y(2)△EMN為直角三角形，證明如下：設直線l：y＝kx－13M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯立y消去y得(9+18k2)x2－12kx－16＝0，易知Δ>0，則x1+x2＝12kx1x2＝－169+18又因為EM＝(x1，y1－1)，EN＝(x2，y2－1)，所以EM·EN＝x1x2+(y1－1)(y2－1)＝x1x2+k＝(1+k2)x1x2－43k(x1+x2)+169＝(1+k2)?169+18k2－4k3·12k2.(1)解由題可得16＝8p，解得p＝2，所以F(1，0)，S△MOF＝12|OF|y＝12×1×(2)證明由(1)可知拋物線C的方程為y2＝4x.由題意可知直線AB不與x軸平行，設直線AB的方程為x＝my+b，Ay124，則y1，y2≠±4.聯立方程x整理可得y2－4my－4b＝0，則Δ＝16m2+16b>0，且y1+y2＝4m，①y1y2＝－4b.②kMA＝y1同理可得kMB＝4y由題意得kMA·kMB＝4y1+4×即4(y1+y2)+y1y2+24＝0，將①②代入可得16m－4b+24＝0，即b＝4m+6.故直線AB的方程可化為x＝my+4m+6，即x－6＝m(y+4)，所以直線AB過定點(6，－4).3.解(1)雙曲線C：x2a2－y2b2y＝±bax又一條漸近線方程為x+2y＝0，所以ba又焦點到漸近線的距離為1，即c12所以c＝5，又c＝a2所以a2＝4，b2＝1，則雙曲線C的方程為x24－y(2)由(1)可得A(2，0)，B(0，－1)，則直線AB的方程為y＝12x－1，設l：y＝kxE(x1，y1)，F(－x1，－y1)，M(x2，y2)，由題意可知0<k<12，0<x1<x2由△AFM的面積是△AEM面積的5倍，可得|FM|＝5|EM|，即x1+x2＝5(x2－x1)，所以x2＝32x1，由消去y可得kx＝12x－1解得x2＝21?2k消去y可得(1－4k2)x2＝4，解得x1＝21?4由x2＝32x1可得52k2－36k+5＝0，解得k＝526或k＝1當k＝526時，x2＝134，x1＝符合題意，所以直線l的斜率為5264.解(1)∵橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b∴22a∴橢圓C的方程為x2(2)由題得圓的圓心為(0，0)，半徑為2，當切線斜率不存在時，切點即為Q，此時|OQ|＝2；當切線斜率存在時，設切線方程為y＝kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立方程y＝(1+2k2)x2+4kmx+2m2－6＝0，∴x1+x2＝－4kmx1x2＝2m∴y1+y2＝k(x1+x2)+2m＝2m∴Q?2∵直線AB與圓O相切，∴m1+即m2＝2(1+k2)，∴|OQ|2＝4＝2(4＝21+k當k＝0時，|OQ|＝2；當k≠0時，|OQ|＝2+2∵4k2+1k2≥24當且僅當4k2＝1k∴2<|OQ|≤32