§8.7雙曲線(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2025·八省聯(lián)考)雙曲線x2－y2A.y＝±x B.y＝±2xC.y＝±3x D.y＝±4x2.“m>2”是“方程x22?m+yA.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.若動圓過定點A(2，0)，且和定圓C：(x+2)2+y2=1外切，則動圓圓心P的軌跡方程為()A.x2-y23B.x2-y23C.4x2-4y2D.4x2-4y24.(2025·天津市河西區(qū)模擬)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且|MFA.2 B.6 C.22 D.3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·南通調(diào)研)已知雙曲線C：x24-y2b2=1(b>0)的右焦點為F，直線l：x+by=0是CA.C的虛軸長為22B.C的離心率為6C.|PF|的最小值為2D.直線PF的斜率不等于-26.(2025·泉州模擬)已知雙曲線C：y2a2-x2=1(a>0)的一條漸近線方程為y=33x，上、下焦點分別為F1A.雙曲線C的方程為y23-xB.雙曲線C的離心率為2C.雙曲線C上的點到焦點的最小距離為3D.若點M(22，t)為雙曲線C上支上的一點，則△MF1F2的內(nèi)切圓面積為2π三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·新課標全國Ⅰ)設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|=13，|AB8.(2024·撫順模擬)已知雙曲線C：x22-y24=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P，則|PF1四、解答題(共28分)9.(13分)求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上，a=25，經(jīng)過點A(-5，2)；(6分)(2)過點P(-2，2)，且與橢圓x29+10.(15分)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，(1)求雙曲線C的方程；(6分)(2)若點A(12，0)，點P為雙曲線C左支上一點，求|PA|+|PF|的最小值.(9分)每小題5分，共10分11.(2024·天津)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.P是雙曲線右支上一點，且直線PF2的斜率為2，A.x28-y22=1 B.C.x22-y28=1 D.12.已知點P是雙曲線x216-y220=1右支上的一點，點A，B分別是圓(x+6)2+y2=4和圓(x-6)2+y2=1上的點.則|PA|-|

答案精析1.C2.B[因為方程x22?m+y2m+1＝1表示雙曲線，所以(2－m)(m+1即m∈(－∞，－1)∪(2，+∞).因為(2，+∞)是(－∞，－1)∪(2，+∞)的真子集，所以“m>2”是“方程x22?m+y23.D[定圓C的半徑為1，圓心為C(－2，0)，與A(2，0)關(guān)于原點對稱.設(shè)動圓的半徑為r，則|PA|＝r，由兩圓外切可得|PC|＝1+r，所以|PC|－|PA|＝1<|AC|＝4，所以P的軌跡為雙曲線的右支.設(shè)P的軌跡方程為x2a2－y2b2則a＝12，c＝2，b2＝c2－a2＝15所以動圓圓心P的軌跡方程為4x2－4y215＝14.B[由題意得F1(－c，0)，|MF1|＝b，由勾股定理得|OM|＝a，因為MF1垂直于漸近線，所以cos∠MOF1＝ac因為|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，而|OF2|＝c，在△MOF2中，由余弦定理得cos∠MOF2＝a2因為∠MOF1+∠MOF2＝π，所以a2+化簡得c2＝6a2，所以c＝6a，故e＝ca＝5.AD[雙曲線C：x24－y2b2＝1的漸近線方程為bx±2y＝0，依題意得－1對于A，C的虛軸長為2b＝22，A正確；對于B，C的離心率e＝a2+b對于C，點F(6，0)到直線l：x+2y＝0的距離為61即|PF|的最小值為2，C錯誤；對于D，直線l：x+2y＝0的斜率為－22，而點F不在l上，點P在l上，則直線PF的斜率不等于－22，D正確6.BC[對于A，雙曲線C：y2a2－x2＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±ax，則a＝3y213－x2＝1對于B，雙曲線C的離心率e＝1+113＝2對于C，c＝1+13＝233，雙曲線C上的點到焦點的最小距離為c－對于D，F(xiàn)10，F(xiàn)20，?233，由點M(22，tS△MF1F2＝12|△MF1F2的周長為|MF1|+|MF2|+|F1F2|＝5＝163設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則S△MF1F2解得r＝22因此△MF1F2的內(nèi)切圓面積為12π，故D錯誤.7.3解析|F1A|＝13，|AF2|＝12|AB|＝5，且AF2⊥F1F2|F1F2|＝|F由雙曲線定義可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，2c＝|F1F2|＝12，化簡得a＝4，c＝6，則C的離心率e＝ca8.23解析依題意，a＝2，b＝2，c＝6，∴|PF2|＝b＝2，|OF2|＝c＝6(O為坐標原點)，∴cos∠PF2F1＝PF在△PF2F1中，由余弦定理得|PF1|＝PF＝4+24?2＝23.9.解(1)因為a＝25，且雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)雙曲線的標準方程為x220－y2將點A(－5，2)代入雙曲線的方程得2520－22b2因此，雙曲線的標準方程為x2(2)在橢圓x29c＝9?4＝所以橢圓的焦點坐標為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，設(shè)雙曲線的標準方程為x2a2－y2b2因為雙曲線與橢圓有相同焦點，所以a2+b2＝c2＝5，點P(－2，2)代入雙曲線方程，可得2a2聯(lián)立2a2所以雙曲線的標準方程為x2－y210.解(1)x2a2－y2b2＝1的漸近線的方程為y＝±由雙曲線的對稱性不妨取漸近線為bx－ay＝0，則點F(c，0)到bx－ay＝0的距離d＝|bc|b2+a又因為焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9，所以雙曲線C的方程為x2(2)記雙曲線C的左焦點為F0，則F0(－5，0)，|PA|+|PF|＝|PA|+|PF0|+2a＝|PA|+|PF0|+6，當F0，P，A三點共線時，|PA|+|PF0|最小，且最小值為|AF0|＝17.故|PA|+|PF|的最小值為17+6＝23.11.C[由題意可知，∠F1PF2＝90°，又直線PF2的斜率為2，可得tan∠PF2F1＝PF1根據(jù)雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，S△PF1F2＝＝12×4a×2a＝4a2又S△PF1F2所以|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2＝(4a)2+(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2+b2＝c2，所以b2＝8，所以雙曲線的方程為x2212.5解析由雙曲線x216a＝4，b＝25，c＝a2+且圓(x+6)2+y2＝4的圓心為F1(－6，0)，半徑r1＝2，圓(x－6)2+y2＝1的圓心為F2(6，0)，半徑r2＝1，由圓的性質(zhì)可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，|