§4.3兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課標要求1.會推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用.1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；

(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；

(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；

(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.

2.輔助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝ba2＋b2，cos1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1?tanαtanβ對任意角α(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關(guān)2.12sinπ12－A.0 B.－22C.1 D.23.若2cosα－sinα＝0，則tanα?A.－13 B.1C.－3 D.34.若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，則tanβ＝謹防兩個易誤點(1)運用公式時要注意公式成立的條件；(2)在求角的三角函數(shù)值時，往往要估計角的范圍后再求值.特別是在(0，π)內(nèi)，正弦值對應(yīng)的角不唯一.題型一兩角和與差的三角函數(shù)公式例1(1)若cosπ4＋αcosA.－3 B.－13C.13 (2)(2024·新課標全國Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，則cos(α－β)等于()A.－3m B.－m3C.m3 D.3思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知sinα＋π3＝sinα?A.3 B.2＋3 C.6 D.6(2)(2024·新課標全國Ⅱ)已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，則sin(α＋β)＝.

題型二兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與輔助角公式例2(1)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，則A.π6 B.πC.π3 D.(2)(2024·南充模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sinx＋4cosx.若x＝θ時，f(x)取得最大值，則cosθ＋A.7210 B.－C.210 D.－思維升華(1)逆用公式應(yīng)準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用.(3)對asinx＋bcosx化簡時，要清楚如何求輔助角φ的值.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·柳州模擬)已知α∈(0，π)，若3sinα＋cosα＝3sin2α－cos2α，則sinα?A.22 B.3C.6＋24(2)已知函數(shù)f(x)＝sinx－3cosx，不等式f(x)≤a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

題型三角的變換問題例3(1)(2024·南寧模擬)已知sinα＋π3＝35，αA.－210 B.－7C.210 D.(2)(2024·徐州模擬)已知角α，β滿足cosβ＝13，cosαcos(α＋β)＝14，則cos(2α＋A.13 B.1C.16 D.思維升華(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當“已知角”有一個時，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(3)常見的角的變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α?β2，π3＋α＝π2－π6?α，α＝(α＋β跟蹤訓(xùn)練3(1)已知sinα＋π4＝45，αA.210 B.3C.22 D.(2)(2024·杭州模擬)已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α＋β)＝13，cosβ＝A.63 B.3C.539

答案精析落實主干知識1.(1)cosαcosβ＋sinαsinβ(2)cosαcosβ－sinαsinβ(3)sinαcosβ－cosαsinβ(4)sinαcosβ＋cosαsinβ(5)tanα?tan2.a2＋b2sin(自主診斷1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.B[12sinπ12－＝cosπ3sinπ12－sinπ3＝sinπ12?π3＝sin?3.B[因為2cosα－sinα＝0，則sinα＝2cosα，故tanα＝2，因此，tanα?π4.1解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan(＝17探究核心題型例1(1)C[由題意，得22(cos所以tanα＝－12則tanα＝?1(2)A[由cos(α＋β)＝m得cosαcosβ－sinαsinβ＝m.①由tanαtanβ＝2得sinαsinβcos由①②得cos所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.]跟蹤訓(xùn)練1(1)B[因為sinα＋π3所以12sinα＋32cos＝32sinα－12cos所以(3＋1)cosα＝(3－1)sinα，所以tanα＝3＋13?1＝2＋(2)－2解析由題意得tan(α＋β)＝tan＝－22，因為α∈2kβ∈2mπ＋π，2mπ＋3π2，則α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因為tan(α＋β)＝－22<0，則α＋β∈((2m＋2k)π＋3π2(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，則sin(α＋β)<0，則sin(α＋β聯(lián)立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－22例2(1)C[由已知可得tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB又0<A＋B<π，∴A＋B＝2π3∴C＝π3.(2)C[f(x)＝3sinx＋4cosx＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝43，sinφ＝45，cosφ＝∵當x＝θ時，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z即θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z∴cosθ＝cosπ＝cos3π＝cos3π4cosφ＋sin3π4sin＝－22×35＋2跟蹤訓(xùn)練2(1)A[因為3sinα＋cosα＝3sin2α－cos2α，所以32sinα＋12cos＝32sin2α－12cos2所以sinα＋π6所以α＋π6＝2α－π6＋2kπ，k∈Z或α＋π6＋2α－π6＝2kπ＋π，又α∈(0，π)，所以α＝π3所以sinα?π＝sinπ4＝(2)[10，＋∞)解析f(x)＝sinx－3cosx＝10sin(x－φ)(其中tanφ＝3)，10sin(x－φ)∈[－10，10]，所以f(x)∈[－10，10]，故a≥10.例3(1)D[α∈π4故α＋π3∈7π所以cosα＋π又sinα＋故cosα＋π3sin＝sinα＋π3－cosα＋π3＝35×22－?(2)C[由cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝13結(jié)合cosαcos(α＋β)＝14可得sin(α＋β)sinα＝13所以cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)＝14－跟蹤訓(xùn)練3(1)A[由α∈π4，π2，得α＋則cosα＝－1?sin2αcosα＝cosα＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4·sinπ4(2)C[因為α∈π2，π，β∈0，π2，sin(α＋β)cosβ＝33，所以α＋β∈π則sinβ＝1?coscos(α＋β)＝－1?si＝－22所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝13×33－

4.3兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課標要求1.會推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用.1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β)：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；

(2)公式C(α+β)：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

(3)公式S(α-β)：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ；

(4)公式S(α+β)：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；

(5)公式T(α-β)：tan(α-β)=tanα(6)公式T(α+β)：tan(α+β)=tanα2.輔助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)，其中sinφ=ba21.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(√)(2)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(√)(3)公式tan(α+β)=tanα+tanβ1?tanαtanβ對任意角α，β(4)公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值與a，b的值無關(guān).(2.12sinπ12-32cosπ12A.0 B.-22 C.1 D.答案B解析12sinπ12-32cosπ12=cosπ3sinπ12-sinπ3cosπ3.若2cosα-sinα=0，則tanα?π4等于A.-13 B.13 C.-3 D答案B解析因為2cosα-sinα=0，則sinα=2cosα，故tanα=2，因此，tanα?π4=tanα?tan4.若tanα=13，tan(α+β)=12，則tanβ=答案1解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)?tanα謹防兩個易誤點(1)運用公式時要注意公式成立的條件；(2)在求角的三角函數(shù)值時，往往要估計角的范圍后再求值.特別是在(0，π)內(nèi)，正弦值對應(yīng)的角不唯一.題型一兩角和與差的三角函數(shù)公式例1(1)若cosπ4+αcosπ4?A.-3 B.-13 C.13 D答案C解析由題意，得22(cosα?sinα)22(cosα則tanα+π4=tanα+1(2)(2024·新課標全國Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2，則cos(α-β)等于()A.-3m B.-m3 C.m3 答案A解析由cos(α+β)=m得cosαcosβ-sinαsinβ=m.①由tanαtanβ=2得sinαsinβ由①②得cos所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知sinα+π3=sinα?π6，則A.3 B.2+3 C.6 D.6+3答案B解析因為sinα+π3=sinα?π6，所以12sinα+32cosα=32sinα-12cosα，所以(3+1)cosα=(3-1)sin(2)(2024·新課標全國Ⅱ)已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，則sin(α+β)=.

答案-2解析由題意得tan(α+β)=tanα+tanβ1?tanα因為α∈2kβ∈2mπ+π，2mπ+3π2，則α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因為tan(α+β)=-22<0，則α+β∈((2m+2k)π+3π2，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z則sin(α+β)<0，則sin(α+β聯(lián)立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-22題型二兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與輔助角公式例2(1)在△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，則C的值為()A.π6 B.π4 C.π3 答案C解析由已知可得tanA+tanB=3(tanAtanB-1)，∴tan(A+B)=tanA+tanB又0<A+B<π，∴A+B=2π3∴C=π3(2)(2024·南充模擬)已知函數(shù)f(x)=3sinx+4cosx.若x=θ時，f(x)取得最大值，則cosθ+π4等于A.7210 B.-7210 C.210答案C解析f(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，其中tanφ=43，sinφ=45，cosφ=∵當x=θ時，f(x)取得最大值，∴θ+φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=π2+2kπ-φ，k∈∴cosθ+π=cos3π4?φ=cos3π4cosφ+sin=-22×35+22×4思維升華(1)逆用公式應(yīng)準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.(2)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用.(3)對asinx+bcosx化簡時，要清楚如何求輔助角φ的值.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·柳州模擬)已知α∈(0，π)，若3sinα+cosα=3sin2α-cos2α，則sinα?π12等于A.22 B.C.6+24 答案A解析因為3sinα+cosα=3sin2α-cos2α，所以32sinα+12cosα=32sin2α-1所以sinα+π6所以α+π6=2α-π6+2kπ，k∈Z或α+π6+2α-π6=2kπ+π，又α∈(0，π)，所以α=π3所以sinα?π12=sinπ3?π(2)已知函數(shù)f(x)=sinx-3cosx，不等式f(x)≤a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案[10，+∞)解析f(x)=sinx-3cosx=10sin(x-φ)(其中tanφ=3)，10sin(x-φ)∈[-10，所以f(x)∈[-10，故a≥10.題型三角的變換問題例3(1)(2024·南寧模擬)已知sinα+π3=35，α∈π4，πA.-210 B.-C.210 D.答案D解析α∈π4故α+π3∈7π12，5π6又sinα+π3=35，故cossin=sinα+π3cosπ4-cos=35×22-?45×(2)(2024·徐州模擬)已知角α，β滿足cosβ=13，cosαcos(α+β)=14，則cos(2α+β)等于(A.13 B.14 C.16答案C解析由cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=13結(jié)合cosαcos(α+β)=14，可得sin(α+β)sinα=13-14所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cosαcos(α+β)-sinαsin(α+β)=14-112=思維升華(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當“已知角”有一個時，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(3)常見的角的變換：2α=(α+β)+(α-β)，α=α+β2+α?β2，π3+α=π2-π6?α，α=(α+β)-β=(α跟蹤訓(xùn)練3(1)已知sinα+π4=45，α∈π4，πA.210 B.3210 C.22答案A解析由α∈π4，π2，得α+則cosα+π4=-1?sicosα=cosα+π4?π4=cosα+π4cosπ4+sinα+π4sin(2)(2024·杭州模擬)已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α+β)=13，cosβ=33，則A.63 B.39 C.539答案C解析因為α∈π2，π，β∈0，π2，sin(α+β)=13>0，cosβ=33，所以則sinβ=1?cos2βcos(α+β)=-1?sin2(所以sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=13×33-?223課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·晉城模擬)若sin18°=m，則sin63°等于()A.22(1?m2-m) BC.22(m+1?m2) D.3答案C解析因為sin18°=m，所以cos18°=1?m所以sin63°=sin(18°+45°)=22(sin18°+cos18°)=22(m+1?2.已知cosα+3sinα=85，則cosα?π3A.35 B.45 C.-35 D答案B解析由cosα+3sinα=85得2cosα?π3故cosα?π33.已知sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=13，則cos(α-β)的值等于(A.-712 B.-1718 C.-5972 答案C解析sinα+sinβ=12?sin2α+sin2β+2sinαsinβ=14cosα+cosβ=13?cos2α+cos2β+2cosαcosβ=19①+②得，2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1336?cos(α-β)=12×13364.定義運算abcd=ad-bc，若cosα=17，sinαsinβcosαcosβ=3314A.π12 B.π6 C.π4答案D解析由題意得，sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=33∵0<β<α<π2，∴0<α-β<π∴cos(α-β)=1314又∵cosα=17，∴sinα=4sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=437×1314-17×∴β=π3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列等式成立的有()A.tan15°=3-1B.sin75°cos15°+cos75°sin15°=1C.cos50°cos160°-cos40°sin160°=-3D.3sin15°+cos15°=1答案BC解析對于A，tan15°=tan(45°-30°)=tan45°?tan30°1+tan45°·tan30°=1?33對于B，sin75°cos15°+cos75°sin15°=sin(75°+15°)=sin90°=1，故B正確；對于C，cos50°cos160°-cos40°sin160°=cos50°cos160°-sin50°sin160°=cos(50°+160°)=cos210°=-cos30°=-32，故C對于D，3sin15°+cos15°=2sin(15°+30°)=2sin45°=2，故D錯誤.6.下列結(jié)論正確的是()A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=-cos(α-γ)B.15sinx+5cosx=5sinxC.f(x)=sinx2+cosx2D.tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1答案AD解析對于A，左邊=-[cos(α-β)cos(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]=-cos[(α-β)+(β-γ)]=-cos(α-γ)，故A正確；對于B，15sinx+5cosx=25=25sinx+π6對于C，f(x)=sinx2+cosx2=2sinx2+π4，所以f(對于D，tan12°+tan33°+tan12°tan33°=tan(12°+33°)(1-tan12°tan33°)+tan12°tan33°=1，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·西安模擬)已知sinx-2cosx=5sin(x+φ)，則sin2φ-2cos2φ=.

答案2解析sinx-2cosx=5sin(x+φ)=5sinxcosφ+5cosxsinφ，所以cosφ=55，sinφ=-2則sin2φ-2cos2φ=?2552-2×8.已知tan(α+β)，tan(α-β)是方程x2+5x+6=0的兩個根，則tan2α=.

答案1解析由題意可得tan(α+β)+tan(α-β)=-5，且tan(α+β)tan(α-β)=6，則tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(α+β)+tan(四、解答題(共28分)9.(13分)已知sin(α-β)=12，sin(α+β)=1(1)證明：tanα+5tanβ=0；(6分)(2)計算tan(α?β)?tanα(1)證明方法一由sin