§3.5導數與函數的最值課標要求1.理解函數最值與極值的關系.2.掌握利用導數研究函數最值的方法.3.會用導數研究生活中的最優化問題.1.函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.2.求y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的.

(2)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)連續函數f(x)在區間[a，b]上一定存在最值.()(2)函數f(x)在區間(a，b)上不存在最值.()(3)函數的極大值不一定是最大值，但一定不是最小值.()(4)有極值的函數一定有最值，但有最值的函數不一定有極值.()2.函數f(x)＝x3－3x＋1在區間[－3，0]上的最大值、最小值分別是()A.1，－1 B.1，－17C.3，－17 D.9，193.函數y＝lnxA.e－1 B.eC.e2 D.104.函數f(x)＝x3－x2－x＋a在區間[0，2]上的最大值是3，則a的值為.

解題時靈活應用以下幾個關鍵點(1)求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.(2)對于一般函數而言，函數的最值必在下列各點中取得：導數為零的點、導數不存在的點、端點.題型一利用導數求函數的最值例1已知函數f(x)＝(x－1)ex－12ax2(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值；(2)若a>0，求函數f(x)在[1，2]上的最小值.思維升華求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值.跟蹤訓練1已知函數f(x)＝x?ax－lnx(a∈R)，求f題型二已知函數的最值求參數例2(2024·淮安模擬)已知函數f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值為－2a，求a的取值范圍.思維升華含參數最值問題，關鍵是先討論函數的單調性，利用單調性畫出草圖，借助函數圖象，分類討論最值問題，由最值求參數的值時，要注意檢驗所求的值是否滿足分類討論的條件.跟蹤訓練2已知函數f(x)＝xlnx－(a＋1)x＋1(a>0)，若f(x)在1，e上的值域為1?2e，?2，求實數a的值.題型三生活中的優化問題例3我國是一個人口大國，產糧、儲糧是關系國計民生的大事.現某儲糧機構擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設計要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計，估算兩個糧倉最多能儲存稻谷(π取近似值3)()A.105000噸 B.68160噸C.157000噸 D.146500噸思維升華解決最優化問題，應從以下幾個方面入手(1)設出變量，找出函數關系式，確定定義域.(2)在實際應用問題中，若函數f(x)在定義域內只有一個極值點，則它就是最值點.跟蹤訓練3(2025·寧德模擬)為響應國家“鄉村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下擬建一個生產農機產品的小型加工廠.經過市場調研，生產該農機產品當年需投入固定成本10萬元，每年需另投入流動成本c(x)(單位：萬元)與lnx10成正比(其中x(單位：臺)表示產量)，并知當生產20臺該農機產品時，需要流動成本0.7萬元，每件產品的售價p(x)(單位：萬元)與產量x(單位：臺)的函數關系為p(x)＝－x100＋10x＋5150(其中x≥10).若生產的產品當年能全部售完，則該工廠的最大年利潤為萬元.(參考數據：取ln2為0.7，ln3為1.1

答案精析落實主干知識2.(1)極值(2)f(a)，f(b)自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C[f

'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f

'(x)>0，得x>1或x<－1，令f

'(x)<0，得－1<x<1，故f(x)在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值，且f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，所以函數f(x)＝x3－3x＋1在區間[－3，0]上的最大值、最小值分別是3，－17.]3.A[由題意得函數定義域為(0，＋∞)，令y'＝1?lnxx2＝0當x>e時，y'<0；當0<x<e時，y'>0，所以函數在x＝e處取得極大值為e－1，因為在定義域內只有一個極值，所以ymax＝e－1.]4.1解析由題意可知，f

'(x)＝3x2－2x－1，令f

'(x)＝0，解得x＝1或x＝－13(舍去)當0≤x<1時，f

'(x)<0；當1<x≤2時，f'(x)>0，所以函數f(x)在[0，1]上單調遞減，在(1，2]上單調遞增.又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，則f(2)最大，所以當x＝2時，函數f(x)在區間[0，2]上的最大值為f(2)＝a＋2＝3，解得a＝1.探究核心題型例1解函數f(x)＝(x－1)ex－12ax2求導得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a).(1)∵a＝e，∴f(x)＝(x－1)ex－12ex2f'(x)＝x(ex－e)，當x∈[0，2]時，令f'(x)＝0，得x＝1(舍去x＝0)，∵f(1)＝－12ef(0)＝－1，f(2)＝e2－2e，∴f(x)min＝f(1)＝－12ef(x)max＝f(2)＝e2－2e.(2)若a>0，則①當lna≥2，即a≥e2時，ex－a≤0，f'(x)≤0，函數f(x)在[1，2]上單調遞減，因此函數f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)＝e2－2a；②當1<lna<2，即e<a<e2時，函數f(x)在[1，lna)上單調遞減，在(lna，2]上單調遞增，因此函數f(x)的最小值為f(lna)＝a(lna－1)－12a(lna)2③當lna≤1，即0<a≤e時，ex－a≥0，f'(x)≥0，函數f(x)在[1，2]上單調遞增，因此函數f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)＝－12a綜上，當a≥e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為e2－2a；當e<a<e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為a(lna－1)－12a(lna)2當0<a≤e時，f(x)在[1，2]上的最小值為－12a跟蹤訓練1解函數f(x)＝x?ax－lnx(a∈R)的定義域為(0，則f'(x)＝ax2－當a≤0時，對任意的x>0，f'(x)<0恒成立，此時函數f(x)的單調遞減區間為(0，＋∞)，所以f(x)在(0，e]上單調遞減，故f(x)在(0，e]上無最大值.當a>0時，由f'(x)>0，可得0<x<a，由f'(x)<0，可得x>a.此時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，a)，單調遞減區間為(a，＋∞).當a≥e時，函數f(x)在(0，e]上單調遞增，所以f(x)max＝f(e)＝－ae當0<a<e時，函數f(x)在(0，a)上單調遞增，在(a，e]上單調遞減，所以f(x)max＝f(a)＝－lna.綜上，當a≤0時，f(x)在(0，e]上無最大值；當0<a<e時，f(x)在(0，e]上的最大值為－lna；當a≥e時，f(x)在(0，e]上的最大值為－ae例2解函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝2x－(2a＋1)＋a＝2＝(2x①當a≤1時，x∈[1，e]，f'(x)>0，所以f(x)在[1，e]上單調遞增，f(x)的最小值為f(1)＝－2a，滿足題意；②當1<a<e時，令f'(x)>0，則x>a或0<x<12令f'(x)<0，則12<x<a所以f(x)在[1，a]上單調遞減，在[a，e]上單調遞增，此時，f(x)的最小值為f(a)<f(1)＝－2a，不滿足題意；③當a≥e時，x∈[1，e]，f'(x)<0，所以f(x)在[1，e]上單調遞減，f(x)的最小值為f(e)<f(1)＝－2a，不滿足題意.綜上可知，實數a的取值范圍是(－∞，1].跟蹤訓練2解f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋x·1x－(a＋1)＝lnx－a當0<x<ea時，f'(x)<0，當x>ea時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，ea)上單調遞減，在(ea，＋∞)上單調遞增.因為a>0，則ea>1，當ea≤e，即0<a≤1時，則f(x)min＝f(ea)＝ealnea－(a＋1)ea＋1＝1－ea＝1－2e，解得a＝1＋ln2(舍去)；當ea>e，即a>1時，f(x)在[1，e]上單調遞減，所以f(1)＝－a＝－2，f(e)＝1－ae＝1－2e，解得a＝2，符合題意.綜上所述，a＝2.例3A[由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，設糧倉頂部圓錐形的高為x米，底面直徑為10x米，圓柱的高為(50－x)米，兩座糧倉總的容積為V(x)＝2π(5＝100π3x2(75－x)若靠矩形長邊建造，則20所以0<x≤5；若靠矩形寬邊建造，則20所以0<x≤4.因為V'(x)＝100π(50x－x2)，當0<x≤5時，V'(x)>0，V(x)在(0，5]上單調遞增，所以當x＝5時，V(x)取得最大值175000π3兩個糧倉最多能儲存稻谷175000π3×0.6≈105000(噸).跟蹤訓練324.4解析記當年銷售該產品x臺獲得的利潤為f(x)(單位：萬元).依題設，c(x)＝klnx10，k>0當生產20臺該農機產品時，需要流動成本0.7萬元得，0.7＝kln2010，可得k＝1，∴c(x)＝lnx∴f(x)＝p(x)x－c(x)－10＝?x100＋10x＝－1100x2＋5150x－lnx＋ln10(x≥10∴f'(x)＝－150x＋＝－(x∵x≥10，∴當x∈[10，50)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，當x∈(50，＋∞)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，∴當x＝50時，f(x)取得極大值也是最大值，f(50)＝－1100×502＋5150×50－ln50＋ln∴當年產量為50臺時，利潤f(x)最大，最大利潤是24.4萬元.

3.5導數與函數的最值課標要求1.理解函數最值與極值的關系.2.掌握利用導數研究函數最值的方法.3.會用導數研究生活中的最優化問題.1.函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件如果在區間[a，b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.2.求y=f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求函數y=f(x)在區間(a，b)內的極值.(2)將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)連續函數f(x)在區間[a，b]上一定存在最值.(√)(2)函數f(x)在區間(a，b)上不存在最值.(×)(3)函數的極大值不一定是最大值，但一定不是最小值.(√)(4)有極值的函數一定有最值，但有最值的函數不一定有極值.(×)2.函數f(x)=x3-3x+1在區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是()A.1，-1 B.1，-17C.3，-17 D.9，19答案C解析f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)>0，得x>1或x<-1，令f'(x)<0，得-1<x<1，故f(x)在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值，且f(-1)=-1+3+1=3，f(-3)=-27+9+1=-17，f(0)=1，所以函數f(x)=x3-3x+1在區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是3，-17.3.函數y=lnxx的最大值為(A.e-1 B.e C.e2 D.10答案A解析由題意得函數定義域為(0，+∞)，令y'=1?lnxx2=0?當x>e時，y'<0；當0<x<e時，y'>0，所以函數在x=e處取得極大值為e-1，因為在定義域內只有一個極值，所以ymax=e-1.4.函數f(x)=x3-x2-x+a在區間[0，2]上的最大值是3，則a的值為.

答案1解析由題意可知，f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，解得x=1或x=-13(舍去)當0≤x<1時，f'(x)<0；當1<x≤2時，f'(x)>0，所以函數f(x)在[0，1]上單調遞減，在(1，2]上單調遞增.又f(0)=a，f(1)=a-1，f(2)=a+2，則f(2)最大，所以當x=2時，函數f(x)在區間[0，2]上的最大值為f(2)=a+2=3，解得a=1.解題時靈活應用以下幾個關鍵點(1)求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.(2)對于一般函數而言，函數的最值必在下列各點中取得：導數為零的點、導數不存在的點、端點.題型一利用導數求函數的最值例1已知函數f(x)=(x-1)ex-12ax2(1)若a=e，求f(x)在[0，2]上的最值；(2)若a>0，求函數f(x)在[1，2]上的最小值.解函數f(x)=(x-1)ex-12ax2求導得f'(x)=xex-ax=x(ex-a).(1)∵a=e，∴f(x)=(x-1)ex-12ex2，f'(x)=x(ex-e當x∈[0，2]時，令f'(x)=0，得x=1(舍去x=0)，∵f(1)=-12ef(0)=-1，f(2)=e2-2e，∴f(x)min=f(1)=-12ef(x)max=f(2)=e2-2e.(2)若a>0，則①當lna≥2，即a≥e2時，ex-a≤0，f'(x)≤0，函數f(x)在[1，2]上單調遞減，因此函數f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)=e2-2a；②當1<lna<2，即e<a<e2時，函數f(x)在[1，lna)上單調遞減，在(lna，2]上單調遞增，因此函數f(x)的最小值為f(lna)=a(lna-1)-12a(lna)2③當lna≤1，即0<a≤e時，ex-a≥0，f'(x)≥0，函數f(x)在[1，2]上單調遞增，因此函數f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)=-12綜上，當a≥e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為e2-2a；當e<a<e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為a(lna-1)-12a(lna)2當0<a≤e時，f(x)在[1，2]上的最小值為-12思維升華求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值.跟蹤訓練1已知函數f(x)=x?ax-lnx(a∈R)，求f(x)在(0，解函數f(x)=x?ax-lnx(a∈R)的定義域為(0，則f'(x)=ax2-1x當a≤0時，對任意的x>0，f'(x)<0恒成立，此時函數f(x)的單調遞減區間為(0，+∞)，所以f(x)在(0，e]上單調遞減，故f(x)在(0，e]上無最大值.當a>0時，由f'(x)>0，可得0<x<a，由f'(x)<0，可得x>a.此時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，a)，單調遞減區間為(a，+∞).當a≥e時，函數f(x)在(0，e]上單調遞增，所以f(x)max=f(e)=-ae當0<a<e時，函數f(x)在(0，a)上單調遞增，在(a，e]上單調遞減，所以f(x)max=f(a)=-lna.綜上，當a≤0時，f(x)在(0，e]上無最大值；當0<a<e時，f(x)在(0，e]上的最大值為-lna；當a≥e時，f(x)在(0，e]上的最大值為-ae題型二已知函數的最值求參數例2(2024·淮安模擬)已知函數f(x)=x2-(2a+1)x+alnx，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值為-2a，求a的取值范圍.解函數f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=2x-(2a+1)+ax=2x2①當a≤1時，x∈[1，e]，f'(x)>0，所以f(x)在[1，e]上單調遞增，f(x)的最小值為f(1)=-2a，滿足題意；②當1<a<e時，令f'(x)>0，則x>a或0<x<12令f'(x)<0，則12<x<a所以f(x)在[1，a]上單調遞減，在[a，e]上單調遞增，此時，f(x)的最小值為f(a)<f(1)=-2a，不滿足題意；③當a≥e時，x∈[1，e]，f'(x)<0，所以f(x)在[1，e]上單調遞減，f(x)的最小值為f(e)<f(1)=-2a，不滿足題意.綜上可知，實數a的取值范圍是(-∞，1].思維升華含參數最值問題，關鍵是先討論函數的單調性，利用單調性畫出草圖，借助函數圖象，分類討論最值問題，由最值求參數的值時，要注意檢驗所求的值是否滿足分類討論的條件.跟蹤訓練2已知函數f(x)=xlnx-(a+1)x+1(a>0)，若f(x)在1，e上的值域為1?2e，?2，求實數a的值.解f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=lnx+x·1x-(a+1)=lnx-a當0<x<ea時，f'(x)<0，當x>ea時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，ea)上單調遞減，在(ea，+∞)上單調遞增.因為a>0，則ea>1，當ea≤e，即0<a≤1時，則f(x)min=f(ea)=ealnea-(a+1)ea+1=1-ea=1-2e，解得a=1+ln2(舍去)；當ea>e，即a>1時，f(x)在[1，e]上單調遞減，所以f(1)=-a=-2，f(e)=1-ae=1-2e，解得a=2，符合題意.綜上所述，a=2.題型三生活中的優化問題例3我國是一個人口大國，產糧、儲糧是關系國計民生的大事.現某儲糧機構擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設計要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計，估算兩個糧倉最多能儲存稻谷(π取近似值3)()A.105000噸 B.68160噸C.157000噸 D.146500噸答案A解析由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，設糧倉頂部圓錐形的高為x米，底面直徑為10x米，圓柱的高為(50-x)米，兩座糧倉總的容積為V(x)=2π(5=100π3x2(75-x)若靠矩形長邊建造，則20所以0<x≤5；若靠矩形寬邊建造，則20所以0<x≤4.因為V'(x)=100π(50x-x2)，當0<x≤5時，V'(x)>0，V(x)在(0，5]上單調遞增，所以當x=5時，V(x)取得最大值175000π3兩個糧倉最多能儲存稻谷175000π3×0.6≈105000(噸)思維升華解決最優化問題，應從以下幾個方面入手(1)設出變量，找出函數關系式，確定定義域.(2)在實際應用問題中，若函數f(x)在定義域內只有一個極值點，則它就是最值點.跟蹤訓練3(2025·寧德模擬)為響應國家“鄉村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下擬建一個生產農機產品的小型加工廠.經過市場調研，生產該農機產品當年需投入固定成本10萬元，每年需另投入流動成本c(x)(單位：萬元)與lnx10成正比(其中x(單位：臺)表示產量)，并知當生產20臺該農機產品時，需要流動成本0.7萬元，每件產品的售價p(x)(單位：萬元)與產量x(單位：臺)的函數關系為p(x)=-x100+10x+5150(其中x≥10).若生產的產品當年能全部售完，則該工廠的最大年利潤為萬元.(參考數據：取ln2為0.7，ln3為1.1，ln5為答案24.4解析記當年銷售該產品x臺獲得的利潤為f(x)(單位：萬元).依題設，c(x)=klnx10，k>0當生產20臺該農機產品時，需要流動成本0.7萬元得，0.7=kln2010，可得k=1，∴c(x)=lnx∴f(x)=p(x)x-c(x)-10=?x100+10x=-1100x2+5150x-lnx+ln10(x≥10∴f'(x)=-150x+5150-1x∵x≥10，∴當x∈[10，50)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，當x∈(50，+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，∴當x=50時，f(x)取得極大值也是最大值，f(50)=-1100×502+5150×50-ln50+ln10=24.∴當年產量為50臺時，利潤f(x)最大，最大利潤是24.4萬元.課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知函數f(x)=-x+2sinx，x∈[0，π]，則函數f(x)的最大值為()A.0 B.2-πC.3-π3 D.3-答案C解析f(x)=-x+2sinx，x∈[0，π]，∴f'(x)=-1+2cosx，令f'(x)=0，得x=π3∴fπ3=3-π又f(0)=0，f(π)=-π，∴f(x)max=fπ3=3-π2.函數f(x)=(3x-1)e2x的最小值為()A.-3e?43 B.-32e答案B解析由f(x)=(3x-1)e2x，得f'(x)=6x+1e2令f'(x)<0，得x<-16；令f'(x)>0，得x>-16，所以函數f(x)在?∞所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值為f?16=?13.已知函數f(x)=lnx+ax在(0，1)上有最大值，則a的取值范圍是()A.(0，+∞) B.(0，1)C.(-∞，-1) D.(-1，0)答案C解析因為f'(x)=1x+a，x>0所以當a≥0時，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上單調遞增，不存在最大值；當a<0時，令f'(x)=0，得x=-1a所以當x∈0，?1a時，f'(x)>0，函數f(x)單調遞增，當x∈?1a，+∞時，f'(x)<0，函數f(x)單調遞減，所以f(x所以0<-1a<1，解得a<-14.某海上油田A到海岸線(近似直線)的垂直距離為10海里，垂足為B，海岸線上距離B處100海里有一原油廠C，現計劃在BC之間建一石油管道中轉站M.已知海上修建石油管道的單位長度費用是陸地上的3倍，要使從油田A處到原油廠C修建管道的費用最低，則中轉站M到B處的距離應為()A.52海里 B.522C.32海里 D.102海里答案B解析設BM=x(0<x<100)，并設陸地上修建石油管道的單位長度費用為1，則AM=100+x2，MC=100-所以總費用為f(x)=3100+x2+100-x(0<x<100)，則f'(x)=3令f'(x)>0，則522<x即f(x)在52令f'(x)<0，則0<x<52即f(x)在0，5所以當x=522時，f(x二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f'(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A.f(a)<f(b)<f(c)B.函數f(x)在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值C.函數f(x)在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值D.函數f(x)的最小值為f(d)答案AC解析由題圖可知，當x≤c時，f'(x)≥0，所以函數f(x)在(-∞，c]上單調遞增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A正確；因為f'(c)=0，f'(e)=0，且當x<c時，f'(x)>0；當c<x<e時，f'(x)<0；當x>e時，f'(x)>0.所以函數f(x)在x=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x=e處取得極小值，但不一定是最小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當d≤x≤e時，f'(x)≤0，所以函數f(x)在[d，e]上單調遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確.6.(2025·莆田模擬)已知函數f(x)=(x2-3x+1)ex，則下列說法中正確的是()A.f(x)在R上有兩個極值點B.f(x)無最大值、無最小值C.f(x)有最小值、無最大值D.函數f(x)在R上有三個零點答案AC解析∵f(x)的定義域為R，f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex，∴當x∈(-∞，-1)∪(2，+∞)時，f'(x)>0；當x∈(-1，2)時，f'(x)<0，∴f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上單調遞增，在(-1，2)上單調遞減，∴f(x)的極大值為f(-1)=5e，極小值為f(2)=-e2當x<0時，x2-3x+1>0，ex>0，∴f(x)>0在(-∞，0)上恒成立，可作出f(x)的圖象如圖所示，對于A，f(x)的極大值點為-1，極小值點為2，A正確；對于B，C，f(-1)不是f(x)的最大值，f(2)是f(x)的最小值，B錯誤，C正確；對于D，由圖象可知，f(x)在R上有且僅有兩個零點，D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數y=(x+a)ex的最小值為-1，則實數a=.

答案-1解析y'=(x+a+1)ex，當x∈(-∞，-a-1)時，y'<0，函數單調遞減，當x∈(-a-1，+∞)時，y'>0，函數單調遞增，故當x=-a-1時，函數取得極小值，也是最小值，為-e-a-1，故-e-a-1=-1，所以a=-1.8.(2024·雅安模擬)已知f(x)=lnx，g(x)=x，若f(m)=g(n)，則m-n的最小值為.

答案1解析由題設f(m)=g(n)=t，則lnm=n=t，得m=et，n=t，則m-n=et-t，設h(x)=ex-x，h'(x)=ex-1，令h'(x)=0，得x=0，當x∈(-∞，0)時，h'(x)<0，h(x)單調遞減，當x∈(0，+∞)時，h'(x)>0，h(x)單調遞增，所以當x=0時，函數取得最小值，h(0)=1，所以m-n的最小值為1.四、解答題(共28分)9.(13分)小王大學畢業后決定利用所學專業進行自主創業，生產某小型電子產品.經過市場調研，生產該小型電子產品需投入年固定成本2萬元，當年產量為x萬件時，需另投入流動成本W(x)萬元.已知在年產量不足4萬件時，W(x)=13x3+2x，在年產量不小于4萬件時，W(x)=7x+64x-27.每件產品售價6元.(1)寫出年利潤P(x)(單位：萬元)關于年產量x(單位：萬件)的函數解析式；(年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本)(6分)(2)年產量為多少萬件時，小王在這一產品的生產中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？(7分)解(1)由題意，當0<x<4時，P(x)=6x-2-13x3+2x=-13當x≥4時，P(x)=6x-2-7x+64x?27所以P(x)=?(2)當0<x<4時，P'(x)=-x2+4，令P'(x)=0，解得x=2.易得P(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，4)上單調遞減，所以當0<x<4時，P(x)max=P(2)=103當x≥4時，P(x)=25-x+64x≤25-2x·64x=9，當且僅當x=64綜上，當年產量為8萬件時，所獲年利潤最大，最大年利潤是9萬元.