§7.7向量法求空間角(一)課標要求能用向量法解決異面直線所成角、直線與平面所成角的問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用.1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝.2.直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝u·n|1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()(3)兩異面直線所成角的范圍是0，π2，直線與平面所成角的范圍是0，(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ＝cos〈u，n〉.()2.若直線l的一個方向向量u＝(1，0，1)，平面α的一個法向量n＝(0，－1，1)，則l與α所成角的大小為()A.π6 B.C.π3或2π3 D.π3.已知直線l1的方向向量s1＝(1，0，1)與直線l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，則直線l1和l2所成的角為()A.π6 B.π4 C.π34.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為.1.斜線與平面所成的角是斜線與平面內直線所成角中的最小角.2.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|.題型一異面直線所成的角例1(1)如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，D為弧AB的中點，E，F分別為母線BC，AC的中點，則異面直線BF和DE所成角的大小為()A.π4 B.π3 C.π2(2)(2024·吉安模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，G為線段B1D1上的動點，則異面直線AG與EF所成角的最大值為()A.π6 B.π4 C.π3思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系.(2)用坐標表示異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)注意異面直線所成角的范圍是0，π跟蹤訓練1(1)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為()A.36 B.63 C.13(2)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2.E，F分別是BC，A1C1的中點.設D是線段B1C1上的(包括兩個端點)動點，當直線BD與EF所成角的余弦值為104時，線段BD的長為題型二直線與平面所成的角例2(2024·沈陽模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，底面三角形ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面AA1C1C是邊長為2的菱形，且∠A1AC＝60°.(1)求點A1到平面ABC的距離；(2)求直線A1B與平面AB1C所成角的余弦值.思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟跟蹤訓練2(2024·北京海淀區模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，直線AB∥CD，∠ABC＝90°，∠DAB＝∠PCB＝60°，CD＝1，AB＝3，PC＝23，平面PCB⊥平面ABCD，F為線段BC的中點，E為線段PF上一點.(1)證明：PF⊥AD；(2)求當EF為何值時，直線BE與平面PAD所成角的正弦值為74

答案精析落實主干知識1.|2.|u自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.A[設l與α所成角為θ0≤因為直線l的一個方向向量u＝(1，0，1)，平面α的一個法向量n＝(0，－1，1)，所以sinθ＝|cos〈u，n〉|＝12因為0≤θ≤π2，所以θ＝π63.B[設直線l1與l2所成的角為θ，因為s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝s1又θ∈0，π2，所以θ＝4.30解析建立如圖所示的空間直角坐標系.設BC＝CA＝CC1＝2，則A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2).設BM與AN所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈BM，AN〉|＝|＝36所以BM與AN所成角的余弦值為3010探究核心題型例1(1)C[取AB的中點O，連接OC，OD，如圖，以OD，OB，OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設AB＝2，則B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，3)，A(0，－1，0)，又E，F分別為母線BC，AC的中點，所以E0，F0，則BF＝DE＝設異面直線BF和DE所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈BF，DE〉|＝|BF·又θ∈0，π2，所以θ＝(2)C[以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，G(a，a，2)，a∈[0，2]，∵E，F分別為AB，BC的中點，則A(2，0，0)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，故AG＝(a－2，a，2)，EF＝(－1，1，0)，設兩異面直線所成的角為α，其中α∈0，故cosα＝|＝2＝1(∵a∈[0，2]，則當a＝0或a＝2時，cosα取得最小值，最小值為12又∵y＝cosα在0，π2上單調遞減，則α的最大值為跟蹤訓練1(1)A[連接AC與BD交于點O，連接PO，由題意得AC⊥BD，且PO⊥平面ABCD，以O點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設四棱錐P－ABCD各棱長均為2，則AO＝BO＝CO＝2，PO＝2，可得A(2，0，0)，E0，C(－2，0，0)，P(0，0，2)，則AE＝PC＝(－2，0，－2)，設異面直線AE與PC所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈AE，PC〉|＝|＝(?2)(2)22解析如圖，以E為坐標原點建立空間直角坐標系，則E(0，0，0)，F32B(0，－1，0)，設D(0，t，2)(－1≤t≤1)，則EF＝BD＝(0，t+1，2)，設直線BD與EF所成的角為θ，所以cosθ＝|EFt+1即23t2+14t－37＝0，解得t＝1或t＝－3723所以|BD|＝02+2例2解(1)取AC的中點D，連接A1C，A1D，因為側面AA1C1C為菱形，且∠A1AC＝60°，所以△AA1C為等邊三角形，所以A1D⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，A1D?平面AA1C1C，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，所以A1D⊥平面ABC，所以A1D的長即為點A1到平面ABC的距離，又A1D＝AA1sin∠A1AC＝AA1sin60°＝3，故點A1到平面ABC的距離為3.(2)連接DB，因為AB＝BC，所以DB⊥AC，則DB，DC，DA1兩兩垂直.以D為坐標原點，DB，DC，DA1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題可知D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(0，－1，0)，A1(0，0，3)，則A1B＝(1，0，－AB＝(1，1，0).由A1B1＝AB，得B1(1，設平面AB1C的法向量為n＝(x，y，z)，CB1＝(1，0，3)，DC＝(0，1，則n取z＝3，得n＝(－3，0，3).設直線A1B與平面AB1C所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈A1B，n|A所以cosθ＝1?sin即直線A1B與平面AB1C所成角的余弦值為12跟蹤訓練2(1)證明過點D作DM⊥AB，垂足為M，由題意知，四邊形BCDM為矩形，因為∠DAB＝60°，AB＝3，CD＝1，可得AM＝2，BC＝DM＝AMtan60°＝23，由PC＝BC＝23，∠PCB＝60°，則△PBC為等邊三角形，因為F為線段BC的中點，則PF⊥BC，又因為平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD＝BC，PF?平面PCB，可得PF⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PF⊥AD.(2)解取線段AD的中點N，連接NF，則NF∥AB，NF＝2，又因為AB⊥BC，可知NF⊥BC，以F為坐標原點，FN，FB，FP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(3，3，0)，D(1，－3，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，因為E為線段PF上一點，設E(0，0，a)，a∈[0，3]，可得DA＝(2，23，0)，DP＝(－1，3，3)，BE＝(0，－3，a)，設平面PAD的法向量為n＝(x，y，z)，則n令x＝－3，則y＝3，z＝－2，可得n＝(－3，3，－2)，由題意可得，|cos〈n，BE〉|＝|n整理得a2－4a+4＝0，解得a＝2，所以當EF＝2時，直線BE與平面PAD所成角的正弦值為74

7.7向量法求空間角(一)課標要求能用向量法解決異面直線所成角、直線與平面所成角的問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用.1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ=|cos〈u，v〉|=|u2.直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ=|cos〈u，n〉|=u·n|1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(×)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(×)(3)兩異面直線所成角的范圍是0，π2，直線與平面所成角的范圍是0，(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ=cos〈u，n〉.(×)2.若直線l的一個方向向量u=(1，0，1)，平面α的一個法向量n=(0，-1，1)，則l與α所成角的大小為()A.π6 B.C.π3或2π3 D.π答案A解析設l與α所成角為θ0≤因為直線l的一個方向向量u=(1，0，1)，平面α的一個法向量n=(0，-1，1)，所以sinθ=|cos〈u，n〉|=12×2因為0≤θ≤π2，所以θ=π3.已知直線l1的方向向量s1=(1，0，1)與直線l2的方向向量s2=(-1，2，-2)，則直線l1和l2所成的角為()A.π6 B.π4 C.π3答案B解析設直線l1與l2所成的角為θ，因為s1=(1，0，1)，s2=(-1，2，-2)，所以cosθ=|cos〈s1，s2〉|=|s1·s2又θ∈0，π2，所以θ4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與AN所成角的余弦值為.

答案30解析建立如圖所示的空間直角坐標系.設BC=CA=CC1=2，則A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM=(1，-1，2)，AN=(-1，0，2).設BM與AN所成的角為θ，則cosθ=|cos〈BM，AN〉|=|=36×5所以BM與AN所成角的余弦值為30101.斜線與平面所成的角是斜線與平面內直線所成角中的最小角.2.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ=|cos〈a，n〉|.題型一異面直線所成的角例1(1)如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，D為弧AB的中點，E，F分別為母線BC，AC的中點，則異面直線BF和DE所成角的大小為()A.π4 B.π3 C.π2答案C解析取AB的中點O，連接OC，OD，如圖，以OD，OB，OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設AB=2，則B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，3)，A(0，-1，0)，又E，F分別為母線BC，AC的中點，所以E0，12，則BF=0，?32，設異面直線BF和DE所成的角為θ，則cosθ=|cos〈BF，DE〉|=|BF·DE||BF||DE|=?3(2)(2024·吉安模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，G為線段B1D1上的動點，則異面直線AG與EF所成角的最大值為()A.π6 B.π4 C.π3答案C解析以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，G(a，a，2)，a∈[0，2]，∵E，F分別為AB，BC的中點，則A(2，0，0)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，故AG=(a-2，a，2)，EF=(-1，1，0)，設兩異面直線所成的角為α，其中α∈0，故cosα=|AG·EF||∵a∈[0，2]，則當a=0或a=2時，cosα取得最小值，最小值為12又∵y=cosα在0，則α的最大值為π3思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系.(2)用坐標表示異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)注意異面直線所成角的范圍是0，π跟蹤訓練1(1)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為()A.36 B.63 C.13答案A解析連接AC與BD交于點O，連接PO，由題意得AC⊥BD，且PO⊥平面ABCD，以O點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設四棱錐P-ABCD各棱長均為2，則AO=BO=CO=2，PO=2，可得A(2，0，0)，E0，22，22，C(-2，0，0)，P(則AE=?2，22，22，PC=(-設異面直線AE與PC所成的角為θ，則cosθ=|cos〈AE，PC〉|=|AE·PC||(2)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2.E，F分別是BC，A1C1的中點.設D是線段B1C1上的(包括兩個端點)動點，當直線BD與EF所成角的余弦值為104時，線段BD的長為.答案22解析如圖，以E為坐標原點建立空間直角坐標系，則E(0，0，0)，F32，12，2，B(設D(0，t，2)(-1≤t≤1)，則EF=32，12，2，BD=(0設直線BD與EF所成的角為θ，所以cosθ=|EF·BD||即23t2+14t-37=0，解得t=1或t=-3723所以|BD|=02+2題型二直線與平面所成的角例2(2024·沈陽模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，底面三角形ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面AA1C1C是邊長為2的菱形，且∠A1AC=60°.(1)求點A1到平面ABC的距離；(2)求直線A1B與平面AB1C所成角的余弦值.解(1)取AC的中點D，連接A1C，A1D，因為側面AA1C1C為菱形，且∠A1AC=60°，所以△AA1C為等邊三角形，所以A1D⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，A1D?平面AA1C1C，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，所以A1D⊥平面ABC，所以A1D的長即為點A1到平面ABC的距離，又A1D=AA1sin∠A1AC=AA1sin60°=3，故點A1到平面ABC的距離為3.(2)連接DB，因為AB=BC，所以DB⊥AC，則DB，DC，DA1兩兩垂直.以D為坐標原點，DB，DC，DA1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題可知D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，3)，則A1B=(1，0，-3)，AB=(1，1，0由A1B1得B1(1，1，3).設平面AB1C的法向量為n=(x，y，z)，CB1=(1，0，3)，DC=(0，1，則n取z=3，得n=(-3，0，3).設直線A1B與平面AB1C所成的角為θ，則sinθ=|cos〈A1B，n〉|=|A1B所以cosθ=1?sin2θ即直線A1B與平面AB1C所成角的余弦值為12思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟跟蹤訓練2(2024·北京海淀區模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，直線AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=∠PCB=60°，CD=1，AB=3，PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F為線段BC的中點，E為線段PF上一點.(1)證明：PF⊥AD；(2)求當EF為何值時，直線BE與平面PAD所成角的正弦值為74(1)證明過點D作DM⊥AB，垂足為M，由題意知，四邊形BCDM為矩形，因為∠DAB=60°，AB=3，CD=1，可得AM=2，BC=DM=AMtan60°=23，由PC=BC=23，∠PCB=60°，則△PBC為等邊三角形，因為F為線段BC的中點，則PF⊥BC，又因為平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD=BC，PF?平面PCB，可得PF⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PF⊥AD.(2)解取線段AD的中點N，連接NF，則NF∥AB，NF=2，又因為AB⊥BC，可知NF⊥BC，以F為坐標原點，FN，FB，FP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(3，3，0)，D(1，-3，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，因為E為線段PF上一點，設E(0，0，a)，a∈[0，3]，可得DA=(2，23，0)，DP=(-1，3，3)，BE=(0，-3，a)，設平面PAD的法向量為n=(x，y，z)，則n令x=-3，則y=3，z=-2，可得n=(-3，3，-2)，由題意可得，|cos〈n，BE〉|=|n·BE||整理得a2-4a+4=0，解得a=2，所以當EF=2時，直線BE與平面PAD所成角的正弦值為74課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于130°，則直線l與平面α的所成的角等于()A.40° B.50°C.130° D.以上均錯答案A解析因為直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于130°，所以直線l與平面α的所成的角等于130°-90°=40°.2.(2024·呼和浩特模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB，則直線PC與平面PBD所成角的余弦值為()A.223 B.33 C.1答案A解析如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.設AB=1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，所以PB=(1，0，-1)，PD=(0，1，-1)，PC=(1，1，-1)，設平面PBD的法向量為n=(x，y，z)，則PB令x=1，則y=z=1，所以n=(1，1，1)，設直線PC與平面PBD所成的角為θ，sinθ=|cos〈PC，n〉|=|PC·n||又θ∈0，π2，所以cosθ3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，Q為上底面A1B1C1D1所在平面內的動點，當直線DQ與DA1所成的角為45°時，點Q的軌跡為()A.圓 B.直線 C.拋物線 D.橢圓答案C解析以點D為原點，DA，DC，DD1的方向分別為x，y，設正方體的棱長為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，設Q(x，y，1)，可得DQ=(x，y，1)，DA1=(1，0，因為直線DQ與DA1所成的角為45°，則cos45°=|DQ·DA1||DQ||D所以點Q的軌跡為拋物線.4.如圖，在四棱錐A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE=3，AB=CB=AC=2DE=2，則異面直線DC與AE所成角的余弦值為()A.13013 B.C.1313 D.答案A解析如圖所示，取BC的中點F，連接AF，DF，可得DF∥BE，因為BE⊥平面ABC，所以DF⊥平面ABC，又由AB=CB=AC且F為BC的中點，所以AF⊥BC，以F為坐標原點，AF，BF，DF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(3，0，0)，E(0，1，3)，C(0，-1，0)，D(0，0，3)，故CD=(0，1，3)，AE=(-3，1，3)，則cos〈CD，AE〉=CD·AE|CD||二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.在空間直角坐標系中，O為坐標原點，A(1，0，0)，B(1，2，-2)，C(0，0，-2)，則()A.OC·AB=4B.異面直線OC與AB所成角等于πC.平面AOC的一個法向量可以是(0，1，0)D.直線OB與平面AOC所成角的正弦值為2答案ACD解析∵A(1，0，0)，B(1，2，-2)，C(0，0，-2)，OC=(0，0，-2)，AB=(0，2，-2)，∴OC·AB=(-2)×(-2)=4，故A正確；設OC與AB所成的角為θ，則cosθ=|OC·AB||且θ∈0，π2，∴θ=π設平面AOC的法向量為n=(x，y，z)，∵OA=(1，0，0)，OC=(0，0，-2)，∴OA·n=0,OC∴n=(0，1，0)，故C正確；OB=(1，2，-2)，設直線OB與平面AOC所成的角為θ，則sinθ=|OB·n||OB||n6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，M，N分別為PB，CD的中點，E為棱AD上一動點.若∠MEN為鈍角，則AE的長可能為()A.13 B.12 C.1 答案AB解析由題意得△ABC為等邊三角形，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，F為BC的中點，則P(0，0，2)，F(3，0，0)，B(3，-1，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，∴M32，?1令AE=t(0≤t≤2)，∴E(0，t，0)，∴EM=32，?12依題意∠MEN=〈EM，EN〉為鈍角，∴EM·EN=34+?1解得0<t<1.三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·福州模擬)若異面直線l1，l2的方向向量分別是a=(0，-1，-2)，b=(4，0，2)，則異面直線l1與l2所成角的余弦值為.

答案2解析設l1與l2所成的角為θ，因為a=(0，-1，-2)，b=(4，0，2)，所以cosθ=|cos〈a，b〉|=|a·b||8.(2025·張家口模擬)在空間直角坐標系Oxyz中，經過點P(x0，y0，z0)且法向量為m=(A，B，C)的平面方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，經過點P(x0，y0，z0)且一個方向向量為n=(μ，v，ω)(μvω≠0)的直線l的方程為x?x0μ=y?y0v=z?z0ω，閱讀上面的材料并解決下面問題：現給出平面α的方程為2x+z-7=0，經過點(0，0，0)的直線l的方程為x答案3解析由題設知，平面α的法向量m=(2，0，1)，直線l的方向向量n=(3，2，-3)，且平面α與直線l相交，所以直線l與平面α所成角的正弦值為|cos〈m，n〉|=|m·n||四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·貴陽模擬)如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=4，A1C1=B1C1=CC1=2.(1)求異面直線A1B與B1C1所成角的余弦值；(6分)(2)求直線A1B與平面A1B1C所成角的正弦值.(7分)解(1)依題意，以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，在三棱臺ABC-A1B1C1中，因為A1C1=B1C1，所以AC=BC=4，所以C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，因為A1C1=B1C1=CC1=2，所以A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，所以A1B=(-2，4，-2)，B1C1=(0所以cos〈A1B，B1C1〉=A設異面直線A1B與B1C1所成的角為α，則α∈0，π2，所以cosα=|cos〈A1B，即異面直線A1B與B1C1所成角的余弦值是63(2)設直線A1B與平面A1B1C所成的角為β，則β∈0，設平面A1B1C的法向量為n=(x，y，z)，A1B1=(-2，2，0)，A1C=(-2所以n令x=1，則y=1，z=-1，所以n=(1，1，-1)，所以sinβ=|cos〈n，A1B〉|=|n·A即直線A1B與平面A1BC所成角的正弦