§8.6橢圓課標(biāo)要求1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用.1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的.注意：(1)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝常數(shù)>|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡為橢圓；(2)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝常數(shù)＝|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點(diǎn)的線段；(3)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝常數(shù)<|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡不存在.2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2(a>b>0)y2a2(a>b>0)范圍頂點(diǎn)軸長短軸長為，長軸長為

焦點(diǎn)焦距|F1F2|＝

對稱性對稱軸：，對稱中心：

離心率a，b，c的關(guān)系1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.()(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.()(3)y2m2+x2n2＝1(m≠n)表示焦點(diǎn)在(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()2.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)的距離之和為8，則動點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x216+y24＝1 B.C.x29+y25＝1 D.3.(2024·黔東南模擬)橢圓x25m+yA.105 B.35 C.224.若橢圓C：x24+y2橢圓中常見結(jié)論：P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)∠F1PF2＝θ，如圖所示.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時，θ最大，S△F1PF(2)|PF1|max＝a+c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|+(4)4c2＝|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a+c).題型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1(1)已知動圓M和圓C1：(x+1)2+y2＝36內(nèi)切，并和圓C2：(x－1)2+y2＝4外切，則動圓圓心M的軌跡是()A.直線B.圓C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(2)(2025·長沙模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓x29+y25＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，且|OF2|＝|OM|，則△PFA.15 B.152 C.37 D.4思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·惠州模擬)已知橢圓的方程為x29+y24＝1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則A.8 B.6+23 C.10 D.8+23(2)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x24+y2＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若PF1·PF2＝0，則△PF題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)過點(diǎn)P(2，2)且與橢圓x210+yA.x222+y2229＝1 C.y216+x27＝1 D.(2)已知橢圓C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(－3，－2)和B(－23，1)兩點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為x2a2+m+y2b2+m＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·九江模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且傾斜角為π6的直線交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段AF1的中點(diǎn)在y軸上，△AF1A.x23+y2＝1 B.x2C.x29+y23＝1 D.(2)(2025·開封模擬)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)P(3，0)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.題型三橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1離心率例3(2024·衡水模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2向圓x2+y2＝14b2引切線交橢圓于點(diǎn)P，A.12 B.32 C.53思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝ca求解(2)由a與b的關(guān)系，利用變形公式e＝1?b2(3)構(gòu)造a，c的方程.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)例4(多選)已知橢圓x216+y24＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，A.S△PB.|PF1|的取值范圍是[4－23，4+23]C.不存在點(diǎn)P使PF1⊥PF2D.|PB|的最大值為25思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).(3)利用不等式，尤其是基本不等式.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知橢圓x29+y2b2＝1(0<b<3)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓于AA.橢圓的短軸長為6B.|AF2|+|BF2|的最大值為8C.離心率為3D.橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝π(2)(2024·湛江模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P滿足|PF1|＝3|PF2|，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

答案精析落實(shí)主干知識1.常數(shù)焦點(diǎn)焦距2.－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aA1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2aF1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)2cx軸和y軸原點(diǎn)e＝ca(0<e<1)a2＝b2+c自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.B[因?yàn)槠矫鎯?nèi)一動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)的距離之和為8，且8>|F1F2|＝4，所以動點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓，設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，焦距為2c(故動點(diǎn)P的軌跡方程為x216+y23.A[由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a2＝5m，b2＝3m，所以離心率e＝c＝25＝4.3解析由題意知a＝2，b＝3，所以c＝1，則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c＝3.探究核心題型例1(1)C[設(shè)動圓的圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，因?yàn)閯訄AM與圓C1：(x+1)2+y2＝36內(nèi)切，且與圓C2：(x－1)2+y2＝4外切，可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r+2，所以|MC1|+|MC2|＝8>|C1C2|＝2，根據(jù)橢圓的定義知，動點(diǎn)M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝8，2c＝2，可得a＝4，c＝1，則b＝a2所以動點(diǎn)M的軌跡方程為x216+y所以其軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.](2)A[由題意可得a＝3，b＝5，c＝9?5＝2.如圖，因?yàn)镺，M分別是F1F2和PF1的中點(diǎn)，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，根據(jù)橢圓定義，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因?yàn)閨F1F2|＝2c＝4，所以△PF1F2為等腰三角形，且F2到PF1的距離為h＝PF故△PF1F2的面積為12|PF1|·h＝15.跟蹤訓(xùn)練1(1)C[橢圓的方程為x29+y24＝1，則a＝3設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，BF1，如圖.則由橢圓的中心對稱性可知|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，可知四邊形AF1BF2為平行四邊形，則|BF2|＝|AF1|，可得△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|＝|AF2|+|AF1|+|AB|＝2a+|AB|，當(dāng)A，B分別位于短軸的端點(diǎn)時，|AB|取最小值，最小值為2b＝4，所以周長為2a+|AB|≥6+4＝10.](2)1解析因?yàn)闄E圓C：x24+y2所以a＝2，b＝1，c＝3，又因?yàn)镻F1·P所以PF1⊥PF2，即PF1設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝4，①且m2+n2＝(23)2由①2－②得到2mn＝4，即mn＝2，所以S△PF例2(1)B[方法一依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，∴2a＝|PF1|+|PF2|＝(2+3+(2?3＝43，∴a＝23，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝3，∴所求橢圓的方程為x212+y方法二橢圓x210+y2＝1的焦點(diǎn)為(±3，∴設(shè)與橢圓x210+y2＝1共焦點(diǎn)的橢圓的方程為x2a2+y2代入點(diǎn)(2，2)得4a2+2解得a2＝12(a2＝3舍去)，故所求橢圓的方程為x212+y2(2)x215+解析設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，將A和B的坐標(biāo)代入方程得3m+4則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x215+y跟蹤訓(xùn)練2(1)D[如圖，∵O為線段F1F2的中點(diǎn)，B為線段AF1的中點(diǎn)，∴OB∥AF2，又OB⊥x軸，∴AF2⊥x軸.在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝π6設(shè)|AF2|＝t(t>0)，則|AF1|＝2t，|F1F2|＝3t.∵△AF1F2的面積為23，∴12×3t×t＝23，t＝2∴2a＝|AF1|+|AF2|＝3t＝6，a＝3，2c＝|F1F2|＝3t＝23，c＝3，b2＝a2－c2＝6，則橢圓C的方程為x29+y2(2)x29+y2＝1或y2解析當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2＝1由題可知2a＝6則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b2＝1由題可知2a＝6則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y281+x例3C[由橢圓的對稱性，設(shè)P位于x軸上方，畫出圖形如圖，設(shè)切點(diǎn)為M，連接PF1，OM，由已知|OP|＝|OF2|＝|OF1|，∴PF1⊥PF2，∵OM⊥PF2，∴OM∥PF1，又O是F1F2的中點(diǎn)，圓x2+y2＝14b2的半徑為12則|PF1|＝2|OM|＝b，|PF2|＝2a－b，∴b2+(2a－b)2＝4c2＝4(a2－b2)，即2a＝3b，得ba故e＝c＝1?ba例4AB[對于A，依題意知a＝4，b＝2，c＝23，當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時，(S△PF1F2)max＝12×2c對于B，由橢圓的性質(zhì)知|PF1|的取值范圍是[a－c，a+c]，即[4－23，4+23]，故B正確；對于C，sin∠F2BO＝ca所以∠F2BO＝π3，所以∠F1BF2＝2π3，即∠F1PF2的最大值為最小值為0，所以存在點(diǎn)P使PF1⊥PF2，故C錯誤；對于D，設(shè)P(x0，y0)，所以|PB|＝x02+(y0?2所以x02＝16－4所以|PB|＝16?4＝?3y0+232+643，又－2≤y0≤2，故當(dāng)y0＝－23時，|跟蹤訓(xùn)練3(1)BD[易知當(dāng)AB⊥x軸時，即線段AB為通徑時，|AB|最短，∴|AB|＝2b23＝4，解得b∴橢圓方程為x29+y對于A，橢圓的短軸長為2b＝26，故A錯誤；對于B，∵△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，∴(＝12－|AB|min＝8，故B正確；對于C，∵c＝a2?b2＝3，a＝3，∴離心率e＝ca＝33，故C錯誤；對于此時|PF1|＝|PF2|＝a＝3，|F1F2|＝2c＝23，∴cos∠F1PF2＝a2+a2?(2c)22a2＝13>0，又∠F1PF2為三角形內(nèi)角，∴∠F1PF2∈故D正確.](2)1解析因?yàn)閨PF1|＝3|PF2|，則2a＝|PF1|+|PF2|＝4|PF2|，解得|PF2|＝a2又因?yàn)閨PF2|＝a2∈[a－c，a+c則e＝ca≥1又0<e<1，所以橢圓C的離心率的取值范圍是12

8.6橢圓課標(biāo)要求1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用.1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.注意：(1)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=常數(shù)>|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡為橢圓；(2)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=常數(shù)=|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點(diǎn)的線段；(3)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=常數(shù)<|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡不存在.2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2(a>b>0)y2a2(a>b>0)范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0)軸長短軸長為2b，長軸長為2a焦點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|=2c對稱性對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點(diǎn)離心率e=ca(0<ea，b，c的關(guān)系a2=b2+c21.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(×)(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.(√)(3)y2m2+x2n2=1(m≠n)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(×)2.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)的距離之和為8，則動點(diǎn)P的軌跡方程為()A.x216+y24=1 B.C.x29+y25=1 D.答案B解析因?yàn)槠矫鎯?nèi)一動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)的距離之和為8，且8>|F1F2|=4，所以動點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓，設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距為2c(故動點(diǎn)P的軌跡方程為x216+3.(2024·黔東南模擬)橢圓x25m+y23A.105 B.35 C.22答案A解析由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a2=5m，b2=3m，所以離心率e=ca=1?b=25=104.若橢圓C：x24+y23答案3解析由題意知a=2，b=3，所以c=1，則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c=3.橢圓中常見結(jié)論：P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)∠F1PF2=θ，如圖所示.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時，θ最大，S△F1PF(2)|PF1|max=a+c，|PF1|min=a-c.(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|+(4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a+c).題型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1(1)已知動圓M和圓C1：(x+1)2+y2=36內(nèi)切，并和圓C2：(x-1)2+y2=4外切，則動圓圓心M的軌跡是()A.直線B.圓C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓答案C解析設(shè)動圓的圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，因?yàn)閯訄AM與圓C1：(x+1)2+y2=36內(nèi)切，且與圓C2：(x-1)2+y2=4外切，可得|MC1|=6-r，|MC2|=r+2，所以|MC1|+|MC2|=8>|C1C2|=2，根據(jù)橢圓的定義知，動點(diǎn)M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=8，2c=2，可得a=4，c=1，則b=a2?c所以動點(diǎn)M的軌跡方程為x216+y所以其軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.(2)(2025·長沙模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，且|OF2|=|OM|，則△PFA.15 B.152 C.37 D.4答案A解析由題意可得a=3，b=5，c=9?5=2.如圖，因?yàn)镺，M分別是F1F2和PF1的中點(diǎn)，所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4，根據(jù)橢圓定義，可得|PF1|=2a-|PF2|=2，又因?yàn)閨F1F2|=2c=4，所以△PF1F2為等腰三角形，且F2到PF1的距離為h=PF2|故△PF1F2的面積為12|PF1|·h=15思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·惠州模擬)已知橢圓的方程為x29+y24=1，過橢圓中心的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則A.8 B.6+23C.10 D.8+23答案C解析橢圓的方程為x29+y則a=3，b=2，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，BF1，如圖.則由橢圓的中心對稱性可知|OA|=|OB|，|OF1|=|OF2|，可知四邊形AF1BF2為平行四邊形，則|BF2|=|AF1|，可得△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|AF1|+|AB|=2a+|AB|，當(dāng)A，B分別位于短軸的端點(diǎn)時，|AB|取最小值，最小值為2b=4，所以周長為2a+|AB|≥6+4=10.(2)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x24+y2=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若PF1·PF2=0，則△PF1答案1解析因?yàn)闄E圓C：x24+y2所以a=2，b=1，c=3，又因?yàn)镻F1·P所以PF1⊥PF2，即PF1設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則m+n=4，①且m2+n2=(23)2由①2-②得到2mn=4，即mn=2，所以S△PF1題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)過點(diǎn)P(2，2)且與橢圓x210+yA.x222+y2229=1 C.y216+x27=1 D.答案B解析方法一依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(-3，0)，F(xiàn)2(3，0)，∴2a=|PF1|+|PF2|=(2+3)2=43，∴a=23，又c=3，∴b2=a2-c2=3，∴所求橢圓的方程為x212+方法二橢圓x210+y2=1的焦點(diǎn)為(±3，∴設(shè)與橢圓x210+y2=1共焦點(diǎn)的橢圓的方程為x2a2+y2代入點(diǎn)(2，2)得4a2+2解得a2=12(a2=3舍去)，故所求橢圓的方程為x212+(2)已知橢圓C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(-3，-2)和B(-23，1)兩點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案x215+解析設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，將A和B的坐標(biāo)代入方程得3m+4n則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x215+思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b1(a>b>0，m>-b2)；與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為x2a2+y2b2=λ或y2a跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·九江模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且傾斜角為π6的直線交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段AF1的中點(diǎn)在y軸上，△AF1A.x23+y2=1 B.x2C.x29+y23=1 D.答案D解析如圖，∵O為線段F1F2的中點(diǎn)，B為線段AF1的中點(diǎn)，∴OB∥AF2，又OB⊥x軸，∴AF2⊥x軸.在Rt△AF1F2中，∠AF1F2=π6設(shè)|AF2|=t(t>0)，則|AF1|=2t，|F1F2|=3t.∵△AF1F2的面積為23，∴12×3t×t=23，t∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6，a=3，2c=|F1F2|=3t=23，c=3，b2=a2-c2=6，則橢圓C的方程為x29+(2)(2025·開封模擬)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)P(3，0)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案x29+y2=1或y2解析當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1由題可知2a=6則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b2=1由題可知2a=6則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y281+題型三橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1離心率例3(2024·衡水模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2向圓x2+y2=14b2引切線交橢圓于點(diǎn)P，A.12 B.32 C.53答案C解析由橢圓的對稱性，設(shè)P位于x軸上方，畫出圖形如圖，設(shè)切點(diǎn)為M，連接PF1，OM，由已知|OP|=|OF2|=|OF1|，∴PF1⊥PF2，∵OM⊥PF2，∴OM∥PF1，又O是F1F2的中點(diǎn)，圓x2+y2=14b2的半徑為12則|PF1|=2|OM|=b，|PF2|=2a-b，∴b2+(2a-b)2=4c2=4(a2-b2)，即2a=3b，得ba=2故e=ca=a2?b2思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e=ca求解(2)由a與b的關(guān)系，利用變形公式e=1?b2(3)構(gòu)造a，c的方程.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)例4(多選)已知橢圓x216+y24=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，A.S△PB.|PF1|的取值范圍是[4-23，4+23]C.不存在點(diǎn)P使PF1⊥PF2D.|PB|的最大值為25答案AB解析對于A，依題意知a=4，b=2，c=23，當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時，(S△PF1F2)max=12×2c對于B，由橢圓的性質(zhì)知|PF1|的取值范圍是[a-c，a+c]，即[4-23，4+23]，故B正確；對于C，sin∠F2BO=ca=32，所以∠F2BO=π3，所以∠F1BF2=2π3，即∠F1PF2的最大值為2π3，最小值為0，所以存在點(diǎn)P使PF1⊥對于D，設(shè)P(x0，y0)，所以|PB|=x02+(y0?2)2，又x0216+y0=?3y0+232+643，又-2≤y0≤2，故當(dāng)y0=-23時，|PB思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).(3)利用不等式，尤其是基本不等式.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知橢圓x29+y2b2=1(0<b<3)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓于AA.橢圓的短軸長為6B.|AF2|+|BF2|的最大值為8C.離心率為3D.橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2=π答案BD解析易知當(dāng)AB⊥x軸時，即線段AB為通徑時，|AB|最短，∴|AB|=2b23=4，解得b2=6，∴橢圓方程為x對于A，橢圓的短軸長為2b=26，故A錯誤；對于B，∵△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12，且|AB|min=4，∴(AF2|+BF2對于C，∵c=a2?b2=3，a=3，∴離心率e=ca=33，故C錯誤；對于D，易知當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時，∠F1PF2最大，此時|PF1|=||F1F2|=2c=23，∴cos∠F1PF2=a2+a2?(2c)22a2=13>0，又∠F1PF2為三角形內(nèi)角，∴∠F1PF2∈0，π2，(2)(2024·湛江模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P滿足|PF1|=3|PF2|，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

答案1解析因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，則2a=|PF1|+|PF2|=4|PF2|，解得|PF2|=a2又因?yàn)閨PF2|=a2∈[a-c，a+c則e=ca又0<e<1，所以橢圓C的離心率的取值范圍是12課時精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)(-4，0)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x216+y28=1 B.C.x28+y216=1 D.答案B解析由題意得a=4，2c=6，則c=3，b2=a2-c2=7，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+2.(2025·哈爾濱模擬)已知F1是橢圓C：x22+y2=1的左焦點(diǎn)，直線x=1與C交于A，B兩點(diǎn)，則△F1A.2 B.3 C.22 D.42答案D解析由于2?1=1，故AB經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，故△F1AB的周長為4a=4×2=42.3.若橢圓x2a2+y23A.32 B.C.3或3 D.3或3答案D解析若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則離心率e=a2?3a=32，得a2=12，此時半焦距c若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則離心率e=c3=32，此時半焦距c=所以該橢圓的半焦距為3或324.(2024·廣州模擬)已知點(diǎn)F，A分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，B(0，A.2?32 C.3?12 答案B解析∵FB·AB=0，∴FB⊥AB，∴|FB|2+|AB|2=|AF|2，即b2+c2+a2+b2=(a+c)2，整理得ac-b2=0，即c2+ac-a2=0，等號兩邊同時除以a2，得c2a2+即e2+e-1=0，解得e=?1±5∵0<e<1，∴e=?1+5二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·汕頭模擬)已知橢圓C：x216+y212=1的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A.橢圓C的離心率為3B.|PF1|的最小值為2C.|PF1|·|PF2|的最大值為16D.可能存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2=65°答案BC解析橢圓C：x216+y212=1的長半軸長a=4，短半軸長b=23，半焦距c=a2?b2=2，則橢圓C的離心率因?yàn)閍-c≤|PF1|≤a+c，因此|PF1|min=a-c=2，B正確；|PF1|·|PF2|≤PF1|+PF2|22=a2=16，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時，∠F1PF2最大，此時sin∠F1PF22=ca=12，所以∠F1PF2=60°，因此∠F16.已知圓O：x2+y2=3經(jīng)過橢圓C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且A.橢圓C的焦距為3B.橢圓C的短軸長為2C.△PF1F2的周長為4+23D.點(diǎn)P的坐標(biāo)為3答案BCD解析因?yàn)閳AO：x2+y2=3經(jīng)過橢圓C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)所以c=3，故焦距為23，A錯誤；設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，因?yàn)镻在圓上，則∠F1PF2=π2則S△PF1F2=1又由勾股定理知m2+n2=(23)所以(m+n)2=m2+n2+2mn=16，所以m+n=4，即2a=4，a=2，所以b=a2?c2=1，所以短軸長為△PF1F2的周長為|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=4+23，C正確；又P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，則S△PF1F2=12|F1F2|·xP=1故xP=33代入圓的方程可得xP2+yP2=3，所以y故點(diǎn)P的坐標(biāo)為33，26三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知方程x2k?4+y28?k答案(4，6)∪(6，8)解析因?yàn)榉匠蘹2k?4+所以k?4>0,8?k>0,k?4≠8?k所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(4，6)∪(6，8).8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且PF1⊥PQ，|PF2|=2|QF2答案5解析設(shè)|QF2|=m(m>0)，則|PF2|=2m，|PQ|=3m，根據(jù)橢圓定義，|PF1|=2a-2m，|QF1|=2a-m，又因?yàn)镻F1⊥PQ，所以在Rt△PF1Q中，PF1|2+|PQ|即(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2，解得m=13a則|PF2|=23a，|PF1|=43則在Rt△PF1F2中，PF2|2+即23