2022年1月廣東省普通高中學業水平合格性考試數學仿真卷C(考試時間：60分鐘滿分100分)一.選擇題：本大題共15題，每小題6分，共90分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．如果a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a－d＞b－c B.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd1．【答案】C【解析】可利用不等式的基本性質一一驗證．由已知及不等式的性質可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正確；由c＞d＞0，得eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)，即B正確；顯然D正確．2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，則A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}2.【答案】C【解析】借助數軸可得{x|2＜x＜3}．3．定義域為R的四個函數y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函數的個數是()A．4B．3C．2D．13.【答案】C【解析】函數y＝x3，y＝2sinx為奇函數，y＝2x為非奇非偶函數，y＝x2＋1為偶函數，故奇函數的個數是2，故選C.4．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0,2x，x≤0))，若f(a)＝eq\f(1,2)，則a的值是()A．－1或eq\r(2) B．－1或eq\f(1,2)C．－1 D．eq\r(2)4.【答案】A【解析】當log2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\r(2)，當2x＝eq\f(1,2)，解得x＝－1．5．設向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列結論中正確的是()A．|a|＝|b| B．a·b＝0C．a∥b D．(a－b)⊥b5.【答案】D【解析】a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.6．已知點A(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋16．【答案】C【解析】由點到直線的距離公式知d＝eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1，得a＝－1±eq\r(2).又∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1.7．在等比數列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()A．4 B．8C．16 D．327.【答案】C【解析】由于aeq\o\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16.8．在一個袋子中裝有分別標注數字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同．現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,12)8．【答案】A【解析】隨機取出2個小球得到的結果數有10種，取出的小球標注的數字之和為3或6的結果為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，共3種，故所求答案為A.9．已知α為第二象限角，sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，則cos2α＝()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),9)C．eq\f(\r(5),9)D．eq\f(\r(5),3)9.【答案】A【解析】利用同角三角函數的基本關系及二倍角公式求解．∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,3)，∵2sinαcosα＝－eq\f(2,3)，即sin2α＝－eq\f(2,3).又∵α為第二象限角且sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)＞0，∴2kα＋eq\f(α,2)＜α＜2kα＋eq\f(3,4)α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋eq\f(3,2)α(k∈Z)，∴2α為第三象限角，∴cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\f(\r(5),3).10．如圖是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，據圖可知()A.甲運動員的成績好于乙運動員B．乙運動員的成績好于甲運動員C．甲、乙兩名運動員的成績沒有明顯的差異D．甲運動員的最低得分為0分10．【答案】A【解析】由莖葉圖可以看出甲的成績都集中在30～50分，且高分較多．而乙的成績只有一個高分52分，其他成績比較低，故甲運動員的成績好于乙運動員的成績．11．已知圓C1：x2＋y2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，則圓C1與圓C2的位置關系是()A．內含 B．外離C．相交 D．相切11.【答案】B【解析】兩圓的圓心距|C1C2|＝eq\r(3－02＋4－02)＝5>4＝r1＋r2，所以兩圓外離．12．設函數y＝2sin2x－1的最小正周期為T，最大值為M，則()A．T＝π，M＝1 B．T＝2π，M＝1C．T＝π，M＝2 D．T＝2π，M＝212.【答案】A【解析】由于三角函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期T＝eq\f(2α,ω)，最大值為A＋B；∴函數y＝2sin2x－1的最小正周期T＝eq\f(2α,2)＝α，最大值M＝2－1＝1.13．將函數y＝cosx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數y＝f(x)的圖象，則下列說法正確的是()A．y＝f(x)的最小正周期為πB．y＝f(x)是偶函數C．y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱D．y＝f(x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是減函數13.【答案】D【解析】將函數y＝cosx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數y＝f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－sinx的圖象，再結合正弦函數的圖象特征，可知A，B，C錯誤，D正確．故選D．14．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n14.【答案】C【解析】∵n⊥β，且α，β交于直線l.l?β，∴n⊥l.15．設a，b為實數，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值為()A．6 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．815.【答案】B【解析】∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2).二、填空題：共4題，每題6分，共24分16．某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為________．16.【答案】15【解析】由題意知，青年職工人數∶中年職工人數∶老年職工人數＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由樣本中青年職工為7人得樣本容量為15.17．已知直線l1：ax＋y－3＝0和直線l2：3x－2y＋3＝0垂直，則a＝___________．17．【答案】eq\f(2,3)【解析】由題意可知eq\f(3,2)×(－a)＝－1，∴a＝eq\f(2,3).18．《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為________．18．【答案】eq\f(67,66)升【解析】設最上面一節的容積為a1，公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝eq\f(67,66)，故第5節的容積為eq\f(67,66)升．19．若點A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點共線，則a的值為________．19.【答案】4【解析】∵A，B，C三點共線，∴eq\f(a－3,5－4)＝eq\f(5－3,6－4)，∴a＝4.三、解答題：本大題共3小題，第20小題8分，第21小題14分，第22小題14分，共36分，解答必修寫出文字說明，證明過程和演算步驟。20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面積S＝10eq\r(3)，c＝7.(1)求角C；(2)求a，b的值．20．解：(1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA．∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)>0，又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)absinC＝10eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)得ab＝40.①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)))，∴72＝(a＋b)2－2×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2))).∴a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.21．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA＝PB＝PC＝2，E是AC的中點，點F在線段PC上．(1)證明：PB⊥AC；(2)若PA∥平面BEF，求四棱錐B-APFE的體積．(參考公式：錐體的體積公式為V＝eq\f(1,3)Sh，其中S是底面積，h是高．)21.解(1)∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC∩PA＝P，∴PB⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴PB⊥AC．(2)∵PA∥平面BEF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EF，∴EF∥PA，∴四邊形PAEF為梯形，又∵PA⊥PC，∴四邊形PAEF為直角梯形，又∵E是AC的中點，∴F為PC的中點，∴PF＝eq\f(1,2)PC＝1，EF＝eq\f(1,2)PA＝1，∴直角梯形APFE的面積S＝eq\f(AP＋EF,2)×PF＝eq\f(3,2).由(1)知PB⊥平面APFE.∴四棱錐B-APFE的體積V＝eq\f(1,3)S·PB＝1.22.已知公差不為零的等差數列{an}滿足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若Sn表示數列{an}的前n項和，求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n項和Tn．22.解：(1)設數列{an}的公差為d(d≠0)，由題可知a1·a13＝aeq\o\al(2,4)，即3(3＋12d)＝(3＋3d)2，解得d＝2，則an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1．(2)由上述推理知Sn＝n(n＋2)，則Tn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,