高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省滄衡八校聯盟2024-2025學年高二下學期期中模擬考試數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第三冊．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知是相互獨立事件，且，則（）A.0.1 B.0.12 C.0.18 D.0.28【答案】C【解析】由可得，又是相互獨立事件，所以.故選：C2.已知隨機變量的分布列如表-101P若，則（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】B【解析】由題意得，即①，，，又因為，所以②，聯立①，②，解得，所以，當時，；當時，，故，解得或.故選：B.3.某校高三學生的模考數學成績服從正態分布,按照，，，的比例將考試成績劃分為優秀、良好、合格和基本合格四個等級.若小張的數學成績為分，則他的等級是（）附：，，.A.優秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【答案】B【解析】由題得，，所以，，，，因為，，所以，根據比例成績大于分為優秀，因為，根據比例成績在到之間的為良好，，根據比例成績在到之間的為合格，，根據比例成績小于分為基本合格，因為小張的數學成績為分，則他的等級是良好.故選：B.4.某校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高x（單位：）167173175177178180181體重y（單位：）90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：由最小二乘法計算得到經驗回歸直線的方程為，其相關系數為；經過殘差分析，點對應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數據計算得到經驗回歸直線的方程為，相關系數為.則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】身高的平均數為，因為離群點的橫坐標167小于平均值176，縱坐標90相對過大，所以去掉后經驗回歸直線的截距變小而斜率變大，故，去掉后相關性更強，擬合效果也更好，且還是正相關，所以.故選：A5.若對恒成立，其中，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】，，即.故選：D6.勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.現提供5種顏色給如圖所示的勒洛三角形中的4個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，且相鄰區域顏色不同，則不同的涂色方案種數為（）A.120 B.240 C.300 D.320【答案】D【解析】先涂中間，有5種選色，再逐個涂旁邊部分，都有4種選色.由分步乘法計數原理得不同的涂色方案種數為.故選：D.7.若的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，，，第6項的系數最大，，則.故選：C.8.某樓梯有11級臺階（從下往上依次為第1級，第2級，，第11級），甲一步能上1級或2級臺階，最多可以一步上3級，且每一步上幾級臺階都是隨機的，則甲上這個樓梯沒踩過第6級臺階的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法—：記甲上到第級臺階共有種上法，則，上到第3級的方法為，每一步一級，或第一步一級第二步兩級，或第一步兩級第二步一級，或一步走三級，共四種上法，所以.當時，學生甲上到第級臺階，可以從第級或第級或第級上去，所以，于是，其中甲踩過第6級臺階的上臺階方法數，可分兩步計算，第一步，從第1級到第6級，共有種方法；第二步，從第7級到第11級，相當于從第1級到第5級的方法數，共有種方法；所以甲踩過第6級臺階的上臺階方法數有，則甲沒踩過第6級臺階的概率是.故選：D.法二：11級樓梯，甲一步能上1級或2級臺階，最多可以一步上3級，三步三級：走法為走法為.兩步三級：走法為，走法為，走法為；一步三級：走法為，走法為，走法為，走法為，走法為；零步三級：走法為，走法為，走法為，走法為，走法為，走法為；綜上，上11級臺階共有.同理，可得從第1級到第6級，共有24種方法；從第7級到第11級共有13種方法，則甲沒踩過第6級臺階的概率是.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.數據的上四分位數為9B.若，，且，則相互獨立C.根據一組樣本數據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若其中一個散點坐標為，則D.將兩個具有相關關系的變量的一組數據，，…，調整為，，…，，決定系數不變【答案】BD【解析】對于選項A：先把數據重新排列，得到.因為上四分位數是第百分位數，，所以數據的上四分位數為，故選項A錯誤；對于選項B，因為，,，所以，即相互獨立，故選項B正確，對于選項C，因為散點不一定在回歸直線上，所以散點不能直接代入直線方程，故選項C錯誤，對于選項D，由于，變成了，則，，從而，都不變，則，故選項D正確.故選：BD.（附：，，）10.下列命題中正確的是（）A.已知服從正態分布，且，則B.已知服從正態分布，且，則常數的值為3C.已知服從正態分布，若在內取值的概率為0.15，則在內取值的概率為0.25D.已知其中，則【答案】ABD【解析】對于A，，，A正確；對于B，，，，解得：，B正確；對于C，，，，，C錯誤；對于D，，，當時，，D正確.故選：ABD.11.從7名男生和3名女生中選出4人去參加一項創新大賽，則下列說法正確的有（）A.如果4人中男生女生各有2人，那么有63種不同選法B.如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，那么有28種不同的選法C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內，那么有140種不同的選法D.如果4人中必須既有男生又有女生，那么有184種不同的選法【答案】ABC【解析】對于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的選法有種，女生的選法有種，所以共有種不同的選法.故A正確.對于B，如果男生中的甲和女生中的乙必須在內，在剩下的8人中再選2人即可，有種不同的選法，故B正確.對于C，在10人中任選4人，有種不同的選法，甲乙都不在其中的選法有，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內的選法有種，故C正確.對于D，在10人中任選4人，有種不同的選法，只有男生的選法有種，10人中任選4人不可能全是女生，故4人中必須既有男生又有女生的選法有種，故D錯誤.故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的展開式中所有項的系數和為1024，則含項的系數為_______.（用數字作答）【答案】300【解析】在中，令，得，解得，所以含項為，故答案為：300．13.將字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每個格子各放一個字母，則每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為______；若共有k行字母相同，則得k分，則所得分數的均值為______．【答案】；【解析】當每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時，第一列a，b，c三個字母全排列，有種方法，第二列剩下的a，b，c三個字母的排列方法有種，所以共有種排列方法，六個字母在的表格中進行排列，共有種排列方法，所以所求概率為．由題意知，分數的可能取值為0,1,3，，，，所以所得分數的均值為．故答案為：，.14.在某一天的幼兒園活動中，5名小朋友每人制作了一個小禮物，每人隨機拿一個禮物，則這5名小朋友都沒有拿到自己制作的禮物的概率為________________.【答案】【解析】5人分配5個禮物，基本事件總數，都沒有拿到自己制作的禮物所包含兩類情況，一是5人中有2人交換了禮物，此時有種情況，另外三人都沒有拿到自己制作的禮物情況有2種，故共有種情況；二是5人都沒有交換禮物，不妨設甲同學有4種選擇，若其拿到乙的禮物；對于乙來說有3種情況，若其拿到丙的禮物；對丙來說有2種情況，而余下兩人只有1種情況，故共有種情況，故基本事件總數，概率.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.流感病毒是一種病毒，大致分為甲型、乙型、丙型三種，其中甲流病毒傳染性最強，致死率最高，危害也最大．某藥品科技研發團隊針對甲流病毒的特點，研發出預防甲流藥品和治療甲流藥品，根據研發前期對動物試驗所獲得的相關有效數據作出統計，隨機選取其中的100個樣本數據，得到如下2×2列聯表：預防藥品甲流病毒合計感染未感染未使用242145使用163955合計4060100（1）根據的獨立性檢驗，分析預防藥品對預防甲流的有效性；（2）用頻率估計概率，從已經感染的動物中，采用隨機抽樣方式每次選出1只，用治療藥品對該動物進行治療，已知治療藥品的治愈數據如下：對未使用過預防藥品的動物的治愈率為0.5，對使用過預防藥品的動物的治愈率為0.75，若共選取3只已感染動物，每次選取的結果相互獨立，記選取的3只已感染動物中被治愈的動物只數為，求的分布列與數學期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）假設：使用預防藥品與對預防甲流無效果，由列聯表可知，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為使用預防藥品與對預防甲流有效果，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）設事件表示使用治療藥品并且治愈，事件表示未使用過預防藥品，事件表示使用過預防藥品，由題意可得，且，則，治療藥品的治愈概率，則，所以，，，，所以，隨機變量的分布列為0123.16.2024年3月22日是第三十二屆“世界水日”，3月22日-28日是第三十七屆“中國水周”.為了喚起孩子們的節約用水意識，加強水資源保護，某中學舉辦了關于“水資源”的問答比賽.比賽規則如下：盒中有5個紅球，4個白球，盒中有5個紅球，5個白球（兩盒中的球除顏色外其他都相同）.現隨機選擇一盒，然后從中隨機抽取2個球，若抽到球的顏色相同，則回答第一類問題，答對得2分，若抽到球的顏色不同，則回答第二類問題，答對得3分，兩類問題答錯均不得分.每位同學進行二輪比賽.（1）求甲同學在一輪比賽中回答第一類問題的概率；（2）已知甲同學二輪比賽后得分為4分，乙同學答對第一類問題的概率為，答對第二類問題的概率為，求乙同學二輪比賽后得分高于甲同學的概率.解：（1）設事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，則，“隨機抽取兩個球，顏色相同”，，，由全概率公式得，所以甲同學在一輪比賽中回答第一類問題的概率為；（2）由（1）知乙同學在一輪比賽中回答第一類問題的概率為，則回答第二類問題的概率為，設在一輪比賽中乙同學得分為，則的可能取值為，，，則，，，設二輪比賽后乙得分為，則，所以乙同學二輪比賽后得分高于甲同學的概率為.17.已知在的展開式中，第項與第項的二項式系數之比是．（1）求展開式中的常數項，并指出是第幾項；（2）求展開式中的所有有理項；（3）求展開式中系數絕對值最大的項．解：（1）依題意可得第項的二項式系數為，第項的二項式系數為，所以，即，則，∴或（舍去），所以展開式的通項為，令，解得，所以為常數項，所以常數項為，為第項.（2）由（1）知，令，則，，，，當時，當時，當時，當時，故有理項為，，，.（3）令，解得，又，∴，∴，即展開式中系數絕對值最大的項為.18.某學校派出6名同學參加省教育廳主辦的理科知識競賽，分為數學競賽，物理競賽和化學競賽，該校每名同學只能參加其中一個學科的競賽，且每個學科至少有一名學生參加.（1）求該校派出的6名學生總共有多少種不同的參賽方案？（2）若甲同學主攻數學方向，必須選擇數學競賽，乙同學主攻物理方向，必須選擇物理競賽，則這6名學生一共有多少種不同的參賽方案？解：（1）若參加三個學科的人數分別為1，1，4時，共有種參賽方案；若參加三個學科的人數分別為1，2，3時，共有種參賽方案；若參加三個學科的人數分別為2，2，2時，共有種參賽方案；該校派出的6名學生總共有種不同的參賽方案．（2）若有4人選擇化學競賽，則有1種參賽方案；若有3人選擇化學競賽，余下的一人有2種選法，則有種參賽方案；若有2人選擇化學競賽，余下的兩人各有2種選法，則有種參賽方案；若有1人選擇化學競賽，余下的三人各有2種選法，則有種參賽方案；所以總共有種不同的參賽方案．19.某景區的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務水平，現對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標為A，否則該組標為B，記詢問的某組被標為B的概率為p．