傳遞函數(shù)方程的定義傳遞函數(shù)的定義對于線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)的輸入信號為\(r(t)\)，輸出信號為\(c(t)\)，其對應(yīng)的拉普拉斯變換分別為\(R(s)\)和\(C(s)\)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)\)可表示為：\[G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\]式中，\(s\)是復(fù)變量，\(s=\sigma+j\omega\)，\(\sigma\)為實部，\(\omega\)為虛部。從微分方程角度來看，對于一個\(n\)階線性時不變系統(tǒng)，其輸入\(r(t)\)和輸出\(c(t)\)滿足如下的線性常系數(shù)微分方程：\[a_{n}\frac{d^{n}c(t)}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}c(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}\frac{dc(t)}{dt}+a_{0}c(t)=b_{m}\frac{d^{m}r(t)}{dt^{m}}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}r(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_{1}\frac{dr(t)}{dt}+b_{0}r(t)\]其中\(zhòng)(a_{i}(i=0,1,\cdots,n)\)和\(b_{j}(j=0,1,\cdots,m)\)為常數(shù)，且\(a_{n}\neq0\)。在零初始條件下，對上述微分方程兩邊進行拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)\(L[\frac{d^{k}x(t)}{dt^{k}}]=s^{k}X(s)\)（\(x(t)\)為任意函數(shù)，\(X(s)\)為其拉普拉斯變換），可得：\[(a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0})C(s)=(b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0})R(s)\]則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：\[G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}}\]傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.只適用于線性時不變系統(tǒng)：傳遞函數(shù)是基于線性常系數(shù)微分方程推導(dǎo)出來的，因此只適用于滿足疊加原理的線性時不變系統(tǒng)。2.與系統(tǒng)的初始條件無關(guān)：傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，它反映的是系統(tǒng)本身的固有特性，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。3.反映系統(tǒng)的動態(tài)特性：傳遞函數(shù)的極點和零點決定了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。極點決定了系統(tǒng)自由運動的模態(tài)，零點則影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重。4.傳遞函數(shù)不唯一對應(yīng)系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)：不同的物理系統(tǒng)可能具有相同的傳遞函數(shù)，即傳遞函數(shù)只描述了系統(tǒng)輸入-輸出之間的關(guān)系，而不反映系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。試題1.已知某線性時不變系統(tǒng)的微分方程為\(\frac{dc(t)}{dt}+2c(t)=3r(t)\)，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.系統(tǒng)的微分方程為\(2\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+5\frac{dc(t)}{dt}+3c(t)=\frac{dr(t)}{dt}+r(t)\)，求其傳遞函數(shù)。3.若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{5}{s+3}\)，當輸入\(r(t)=2u(t)\)（\(u(t)\)為單位階躍函數(shù)）時，求輸出\(C(s)\)。4.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2s+2}\)，輸入\(r(t)=\delta(t)\)（\(\delta(t)\)為單位脈沖函數(shù)），求輸出\(C(s)\)。5.某系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+6s+8}\)，求該傳遞函數(shù)的零點和極點。6.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s-2}{s^{3}+3s^{2}+2s}\)，確定其零點和極點。7.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{2s+3}{s^{2}+4s+5}\)，當輸入\(r(t)=e^{-t}\)時，求輸出\(C(s)\)。8.系統(tǒng)的微分方程為\(3\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=2r(t)\)，若輸入\(r(t)=t\)，求輸出\(C(s)\)。9.求傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3s+1}{s^{2}-s-6}\)的零點和極點，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。10.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s^{2}+s+1}{s^{3}+2s^{2}+s}\)，分析其極點分布情況。11.某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{5}{s^{2}+4s+13}\)，求其阻尼比\(\zeta\)和無阻尼自然頻率\(\omega_{n}\)。12.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{2}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}\)，已知\(\omega_{n}=3\)，\(\zeta=0.5\)，求該傳遞函數(shù)。13.若系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3}{s^{2}+5s+6}\)，輸入\(r(t)=t^{2}\)，求輸出\(C(s)\)。14.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s+4}{s^{2}+3s+2}\)，求當輸入\(r(t)=3\sin(2t)\)時，輸出\(C(s)\)。15.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{6}{s^{3}+4s^{2}+5s+2}\)，求其極點。16.某系統(tǒng)的微分方程為\(4\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+8\frac{dc(t)}{dt}+4c(t)=r(t)\)，求傳遞函數(shù)。17.傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s^{2}+3s+2}{s^{3}+5s^{2}+6s}\)，求其零點和極點。18.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+2s+1}\)，輸入\(r(t)=u(t)\)，求輸出\(C(s)\)。19.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{5}{s^{2}+2s+5}\)，求其阻尼比和無阻尼自然頻率。20.若系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s-1}{s^{2}+3s+2}\)，輸入\(r(t)=\delta(t)\)，求輸出\(C(s)\)。21.已知某系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3s+2}{s^{2}+4s+3}\)，求其零點和極點，并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。22.系統(tǒng)的微分方程為\(\frac{d^{3}c(t)}{dt^{3}}+3\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+3\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)\)，求傳遞函數(shù)。23.傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s^{2}+4s+3}{s^{3}+6s^{2}+11s+6}\)，確定其零點和極點。24.若系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+2s+10}\)，輸入\(r(t)=4u(t)\)，求輸出\(C(s)\)。25.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s+3}{s^{2}+5s+6}\)，當輸入\(r(t)=t\)時，求輸出\(C(s)\)。26.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{2}{s^{2}+3s+2}\)，求其阻尼比和無阻尼自然頻率。27.某系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s-3}{s^{2}+4s+5}\)，輸入\(r(t)=\delta(t)\)，求輸出\(C(s)\)。28.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3s+4}{s^{2}+6s+9}\)，求其零點和極點。29.系統(tǒng)的微分方程為\(2\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+4\frac{dc(t)}{dt}+2c(t)=\frac{dr(t)}{dt}+r(t)\)，求傳遞函數(shù)。30.傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s^{2}+2s+1}{s^{3}+4s^{2}+5s+2}\)，分析其零點和極點情況。31.若系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{5}{s^{2}+8s+12}\)，輸入\(r(t)=3u(t)\)，求輸出\(C(s)\)。32.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s+2}{s^{2}+2s+1}\)，當輸入\(r(t)=e^{-2t}\)時，求輸出\(C(s)\)。33.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3}{s^{2}+4s+4}\)，求其阻尼比和無阻尼自然頻率。34.某系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s-4}{s^{2}+5s+6}\)，輸入\(r(t)=\delta(t)\)，求輸出\(C(s)\)。35.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{2s+5}{s^{2}+3s+3}\)，求其零點和極點。36.系統(tǒng)的微分方程為\(\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+4\frac{dc(t)}{dt}+4c(t)=2r(t)\)，求傳遞函數(shù)。37.傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s^{2}+3s+2}{s^{3}+5s^{2}+7s+3}\)，確定其零點和極點。38.若系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+6s+13}\)，輸入\(r(t)=2u(t)\)，求輸出\(C(s)\)。39.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2s+2}\)，當輸入\(r(t)=t^{2}\)時，求輸出\(C(s)\)。40.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{5}{s^{2}+2s+1}\)，求其阻尼比和無阻尼自然頻率。41.某系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s-3}{s^{2}+4s+4}\)，輸入\(r(t)=\delta(t)\)，求輸出\(C(s)\)。42.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3s+1}{s^{2}+5s+6}\)，求其零點和極點，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。43.系統(tǒng)的微分方程為\(3\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+6\frac{dc(t)}{dt}+3c(t)=\frac{dr(t)}{dt}+r(t)\)，求傳遞函數(shù)。44.傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s^{2}+4s+3}{s^{3}+6s^{2}+9s}\)，分析其零點和極點情況。45.若系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{2}{s^{2}+3s+2}\)，輸入\(r(t)=e^{-t}\)，求輸出\(C(s)\)。46.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4s+4}\)，當輸入\(r(t)=u(t)\)時，求輸出\(C(s)\)。47.系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+6s+8}\)，求其阻尼比和無阻尼自然頻率。48.某系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{s-1}{s^{2}+2s+1}\)，輸入\(r(t)=\delta(t)\)，求輸出\(C(s)\)。49.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{3s+2}{s^{2}+5s+5}\)，求其零點和極點。50.系統(tǒng)的微分方程為\(\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+2\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)\)，求傳遞函數(shù)。答案分析對于求解傳遞函數(shù)的題目，一般是對給定的微分方程在零初始條件下進行拉普拉斯變換，然后根據(jù)傳遞函數(shù)的定義\(G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\)得出結(jié)果。對于已知傳遞函數(shù)