河北省張家口京源高級中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1 D．i2．下列命題正確的有（

）①鈍角是第二象限角②若為銳角，則是第一或第二象限角③終邊落在直線上的角的集合可表示為④若為鈍角，則A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．已知，則（

）A． B． C． D．34．已知平面向量，若，則（

）A． B．-2 C．2 D．125．已知三棱錐中，，作平面ABC，垂足為，則為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心6．某時間段公路上車速的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A． B．車速的眾數(shù)估計值是70C．車速的平均數(shù)估計值大于其中位數(shù)的估計值 D．車速的中位數(shù)估計值是62.57．若分別以銳角三邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)得到幾何體的體積分別是，且，則最大內(nèi)角的余弦值為（

）A．624 B． C． D．8．已知圓錐的頂點為，母線長為1，其側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，設(shè)該圓錐外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的有（

）A．一組數(shù)據(jù)分別是82，84，86，88，95，96，94，則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是96B．對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件C．不可能事件與任意事件相互獨立D．若事件A，B獨立，則10．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如下圖，則（

）A．可能為 B．若將函數(shù)圖象向右平移得到，則為偶函數(shù)C．的解析式可能為 D．在上的值域為11．已知A，B，C，D是八分之一球表面上的不同四點，M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，四邊形CMNK為矩形，，記，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知，關(guān)于的方程的一個虛根為，則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的根為.13．為了解某高中學(xué)校暑假學(xué)生學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣對該校高中三個年級學(xué)生平均每天學(xué)習(xí)時間（單位：小時）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本數(shù)據(jù)如下：年級抽樣人數(shù)樣本平均值樣本方差高一3031.5高二3042高三4053.5根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該校三個年級學(xué)生平均每天學(xué)習(xí)時間的方差為．14．在銳角中，角的對邊分別是，若，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，是邊BC的中點，是邊AC上靠近點的三等分點，AM與BN交于點.(1)求；(2)求的余弦值.16．已知函數(shù)的最小正周期．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，討論方程根的個數(shù)．17．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，點是正方形的中心，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA四邊的中點．現(xiàn)在以為起點，再從A，E，B，F(xiàn)，C，G，D，H中任取兩點分別為終點得到兩個向量，不妨分別記為和．(1)請直接寫出的所有可能值組成的集合；(2)在的所有值中，你覺得哪一個值發(fā)生的可能性最大，并說明理由．18．記的內(nèi)角所對的邊分別是，且滿足．(1)證明：；(2)若為銳角，點為邊BC上一點，AM平分，且，，求的值．19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.(1)證明：；(2)證明：平面；(3)當(dāng)MA為何值時，二面角的余弦值為．

參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡復(fù)數(shù)，從而得到其虛部.【詳解】因為，又，，，所以，所以，所以的虛部為.故選C.2．【答案】B【分析】對于①，根據(jù)鈍角的范圍即可判斷；對于②，舉特例即可判斷；對于③，根據(jù)終邊相同角的表示即可判斷；對于④，利用誘導(dǎo)公式即可判斷.【詳解】對于①：鈍角的范圍為，其為第二象限角，故①正確；對于②：當(dāng)，則，其既不是第一象限也不是第二象限角，故②錯誤；對于③：終邊在直線上的角的集合可表示，故③錯誤；對于④：，故④錯誤.綜上，正確的個數(shù)為1.故選B.3．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用正余弦齊次式法求解即得.【詳解】由，得，解得，所以.故選D.4．【答案】C【分析】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得.【詳解】因為，所以，解得，因為，所以，解得，所以.故選C.5．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定性質(zhì)推理即可得解.【詳解】連接，由平面，平面，得，又，平面，則平面，又平面，所以，同理，所以為的垂心.故選D.6．【答案】D【分析】利用頻率分布直方圖求出、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)判斷即得.【詳解】對于A：由，得，故A錯誤；對于B：車速在內(nèi)的頻率最大，車速的眾數(shù)估計值是65，故B錯誤；對于CD：車速的平均數(shù)為，車速的中位數(shù)，則，解得，故C錯誤，D正確.故選D.7．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，將幾何體的體積用三角形的面積及對應(yīng)邊表示出，再求出三邊的比，并利用余弦定理計算即得.【詳解】令銳角的角所對邊分別為，其面積為，邊上的高,以邊所在直線為軸得到的幾何體是以邊上的高為底面圓半徑的兩個圓錐組成，這兩個圓錐高的和為，于是，同理,，令則顯然，所以所以最大內(nèi)角的余弦值為.故選A.8．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐底面圓半徑，利用圓錐軸截面等腰三角形外接圓、內(nèi)切圓與圓錐外接球、內(nèi)切球大圓的關(guān)系求出即可得解.【詳解】依題意，設(shè)圓錐底面圓半徑，則，解得，所以圓錐的高，圓錐軸截面等腰三角形的外接圓即為圓錐外接球截面大圓，內(nèi)切圓即為圓錐內(nèi)切球截面大圓，令圓錐軸截面等腰三角形底角為，則，所以，即，圓錐軸截面等腰三角形面積，解得，所以.故選A.9．【答案】BC【分析】求出上四位分?jǐn)?shù)判斷A；利用互斥事件、對立事件、獨立事件的意義判斷BCD.【詳解】對于A：數(shù)據(jù)82，84，86，88，94，95，96，由，得該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是95，故A錯誤；對于B：由互斥事件、對立事件的關(guān)系知，對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件，故B正確；對于C：事件是不可能事件，是任意事件，則，，則事件與相互獨立，故C正確；對于D：事件A，B獨立，則，而，在時，不成立，故D錯誤.故選BC.10．【答案】BC【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點法”作圖求出的解析式，再逐項分析判斷即得.【詳解】對于A：觀察圖象，得，由，得，而，解得或，函數(shù)的最小正周期，而且，于是且，解得，又，且是函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間上的零點，則，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，無解，所以，，，故A錯誤；對于B：，，所以為偶函數(shù)，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：當(dāng)時，，，，故D錯誤.故選BC.11．【答案】ABD【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，，結(jié)合條件中，，從而在各直角三角形中得到的正余弦表示，對選項逐一分析判斷即可.【詳解】在矩形中，，又，，平面，則平面，又平面，所以，又，則，即，而，，，平面，則平面，而，則平面，又平面，所以，，對于A：在中，，在中，，又，且為的斜邊，即，所以，故A正確；對于B：在中，，在中，，在中，，則，故B正確；對于C：在中，，在中，，又，所以，而與不一定相等，故C錯誤；對于D：在中，，又，，，所以，所以，即，故D正確.故選ABD.【關(guān)鍵點撥】利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，，從而得到的正余弦表示，由此得解.12．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程即可.【詳解】由是方程的一個虛根，得該方程的另一個虛根為，則，，解得，所以方程為，即，解得，所以方程的根為.13．【答案】3.14【分析】分別由總樣本的平均數(shù)公式和總樣本方差公式求解即可.【詳解】由高中三個年級學(xué)生的總樣本平均數(shù)為.總樣本方差為.14．【答案】【分析】由已知式消去邊，整理成，利用角的范圍求得的范圍，設(shè)，將其整理成關(guān)于的一元二次不等式組，解得的范圍，最后由正弦定理即得.【詳解】由和余弦定理，可得,整理得，因為是銳角三角形，則,，即得，設(shè)，則，即，即，由①得，由②得或，又，綜上，可得，由正弦定理得，故得的取值范圍為.【思路導(dǎo)引】主要從待求式考慮，將已知式中的邊通過余弦定理轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系式，因為是銳角三角形，故可由的值域得到與待求式有關(guān)的不等式組，求解即得.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）取平面向量的一個基底，再利用向量的線性運算求出，利用數(shù)量積的運算律計算即得.（2）利用（1）的信息，利用向量夾角公式計算即得.【詳解】（1）在中，，則，，由是邊BC的中點，得，由是邊AC上靠近點的三等分點，得，所以；（2）由（1）知，，，所以的余弦值.16．【答案】(1)(2)答案見詳解【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，求出，進(jìn)而求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）探討函數(shù)在上的性質(zhì)，分離參數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合法求出直線與函數(shù)在上的圖象交點情況即可.【詳解】（1）依題意，，由，，得，，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，因為余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1減小到；在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到0，而方程，所以方程的根即直線與函數(shù)在上的圖象交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在上的圖象，觀察圖象知，當(dāng)或，即或時，直線與函數(shù)在上的圖象無交點；當(dāng)或，即或時，直線與函數(shù)在上的圖象有1個交點；當(dāng)，即時，直線與函數(shù)在上的圖象有2個交點，所以當(dāng)或時，方程根的個數(shù)為0；當(dāng)或時，方程根的個數(shù)為1；當(dāng)時，方程根的個數(shù)為2.17．【答案】(1)(2)，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，確定和的模的可能值，和的夾角的可能值，再利用數(shù)量的定義求解即得；（2）利用（1）的信息，求出取得各個值的種數(shù)，再比較即得.【詳解】（1）依題意，，，，，，，向量和的模是集合中元素，和的夾角，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，所以的所有可能值組成的集合是；（2）在的所有值中，發(fā)生的可能性最大，理由如下：由（1）知，的情況有8種，的情況有8種，的情況有10種，的情況有2種，所以的情況最多，所以在的所有值中，發(fā)生的可能性最大.18．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由，利用正弦定理、余弦定理可得，化簡可得，化簡證明結(jié)論；（2）設(shè)，由已知和（1）可得，由，可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可解得.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，又在中，，所以，所以，即；（2）

設(shè)，因為AM平分，且，則，由（1）知，，則，所以，因為，所以，則，又，則，則，，，在中，由正弦定理得，則，得，所以，在中，由正弦定理，得，解得.19．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)【分析】（1）利用線面平行的判定、性質(zhì)推理即得；（2）在平面內(nèi)過點作于，利用線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得；（3）過作于，連接，確定二面角的平面角，借助余弦定理求解即得.【詳解】（1）菱形中，，平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以；（2）在平面內(nèi)過點作于，平面