貴州省黔西南州2023?2024學年高一下學期期末教學質量監測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則（

）A． B．3 C．4 D．53．已知球的半徑為，且該球的表面積與體積的數值之比為，則的值為（

）A．3 B． C．2 D．14．已知函數，則取最小值時x的取值為（

）A．1 B． C．2 D．5．興義市峰林布依景區在春節期間，迎來眾多游客，其中某天接受了一個小型的旅行團，他們的年齡（單位：歲）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，則這組數據的第75百分位數是（

）A．34.5 B．46 C．49 D．526．中國古代數學著作主要有《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《四元玉鑒》，《張邱建算經》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術》的概率為（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A．6 B．4 C．3 D．28．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內一動點（含邊界），則下列說法中錯誤的是（

）A．平面截正方體所得截面為等腰梯形B．若∥平面，則直線CQ不可能垂直于直線C．若，則點Q的軌跡長度為D．三棱錐的外接球的半徑為二、多選題（本大題共4小題）9．已知i是虛數單位，下列說法正確的是（

）A．若復數，則B．若復數，則C．若復數為純虛數，則D．10．已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則的充分條件是（

）A．， B．，C．， D．，，11．對于任意的兩個非零向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若且與不共線，則與的夾角等于與的夾角C．D．若，，則12．為了強化學校體育，增強學生體質，狠抓校園足球工作，全面推動校園足球高質量發展，2023年10月22日，第七屆“金州杯”校園足球聯賽在普安舉行．在去年的足球聯賽上，甲隊每場比賽平均失球數是1.5，全年比賽失球個數的標準差為1.1；乙隊每場比賽平均失球數是2.1，全年比賽失球個數的標準差為0.4，則下列說法正確的是（

）A．平均說來乙隊比甲隊的防守技術好B．乙隊比甲隊技術水平更穩定C．甲隊防守中有時防守表現較差，有時表現又非常好D．乙隊很少不失球三、填空題（本大題共4小題）13．已知A，B兩個事件相互獨立，且，，則．14．在正方體中，平面與平面ABCD所成銳二面角的大小為．15．在中，角的對邊分別為，，且是關于x的方程的兩個不等實數根，則．16．中國南北朝時期數學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作經驗，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為3的正四棱臺與一個不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知向量，．(1)當時，求的值；(2)若向量，的夾角為銳角，求的取值范圍．18．如圖，在正方體中．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面．19．已知e是自然對數的底數，若函數，且是偶函數．(1)求實數a的值；(2)判斷函數的單調性（不用證明），并求不等式的解集．20．為了了解學生軀干、腰、髖等部位關節韌帶和肌肉的伸展性、彈性等，某學校對在校1500名學生進行了一次坐位體前屈測試，采用按學生性別比例分配的分層隨機抽樣抽取75人，已知這1500名學生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數和方差分別為和，女生的平均數和方差分別為和．(1)求樣本中男生和女生應分別抽取多少人；(2)求抽取的總樣本的平均數，并估計全體學生的坐位體前屈成績的方差．21．2023年8月5日-9日，首屆貴州科技節在貴陽召開，為了了解活動成效，從參會人員中隨機抽取50人進行調查并統計其滿意度評分（分數均在內），將所得分數分成5組：，，，，，制成頻率分布直方圖如圖所示，其中滿意度評分在的參會人數為18．(1)求頻率分布直方圖中a，b的值；(2)從抽取的50名參會人員中滿意度評分在及的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取2人，求這2人中恰有1人的滿意度評分在的概率．22．如圖，若內一點P滿足，則稱P為的布羅卡爾點．若設，則稱為布羅卡爾角．(1)若是邊長為2的等邊三角形，其布羅卡爾點是的內心（內心是三角形三個內角角平分線的交點），求的外接圓的半徑；(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，記的面積為S，的布羅卡爾角為，且．證明：；(3)在中，記的布羅卡爾角為，若，求證：．

參考答案1．【答案】C【分析】利用交集運算法則即可求得結果.【詳解】由集合，，根據交集運算法則可得.故選C.2．【答案】D【分析】由題意可知：，根據共軛復數的概念以及乘法運算求解.【詳解】由題意可知：，所以.故選D.3．【答案】A【分析】根據球的表面積公式和體積公式得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得或0（舍去）.故選A.4．【答案】B【分析】由函數表達式并利用基本不等式等號成立的條件即可求得結果.【詳解】根據題意由可知，所以；利用基本不等式可得，當且僅當時，即時，等號成立，此時取最小值2；因此取最小值時x的取值為.故選B.5．【答案】C【分析】根據題意結合百分位數的定義運算求解.【詳解】因為，所以這組數據的第75百分位數是第9位數和第10位數的中位數.故選C.6．【答案】D【分析】根據題意利用列舉法結合古典概型運算求解.【詳解】用分別表示《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《四元玉鑒》，《張邱建算經》，從上述5部書籍中任意抽取2部，則樣本空間為，可知，設抽到《九章算術》為事件M，則，可知，所以.故選D.7．【答案】A【分析】弦化切代入即可得到答案.【詳解】.故選A.8．【答案】B【分析】作出平面截正方體的截面可判斷A；連接交為Q，則，進而說明存在點Q，∥平面時，直線可能垂直于直線，判斷B；確定Q點的軌跡，從而可求得其長度，判斷C；確定三棱錐的外接球的外接球球心位置，求得外接球半徑，即可判斷D.【詳解】對于A，取的中點為,連接,則，而，即四邊形為平行四邊形，故，所以，且，則四邊形為平面截正方體的截面，為梯形，而，,即，即四邊形為等腰梯形，A正確；對于B，連接交為Q，則，即，而，平面，平面，故∥平面，即當∥平面時，直線可能垂直于直線，B錯誤；對于C，因為平面，平面，故，由得，即點的軌跡為以為圓心，半徑為的四分之一圓，其軌跡長度為，C正確；對于D，三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，設三棱錐的外接球半徑為R，的外接圓半徑為r，,故，則，故，因為平面，故三棱錐的外接球球心在過的外接圓圓心和平行的直線上，則，即，故三棱錐的外接球的半徑為，D正確.故選B.【關鍵點撥】解答本題的難點在于求三棱錐的外接球的表面積，解答時要發揮空間想象能力，確定外接球球心大致位置，求出外接球半徑，即可求解.9．【答案】BCD【分析】利用復數概念可判斷A錯誤，根據模長公式可知B正確，由純虛數概念解方程可得C正確，由復數乘方計算可得D正確.【詳解】對于A，根據虛數概念可得復數無法比較大小，即A錯誤；對于B，由，可得，即B正確；對于C，若復數為純虛數，可知，解得，可知C正確；對于D，易知，即D正確.故選BCD.10．【答案】AB【分析】由線面、面面位置關系即可逐一判斷各個選項并求解.【詳解】對于A，若，，由面面垂直的判定定理可知，故A正確；對于B，若，則存在，使得，因為，所以，又因為，所以，故B正確；對于C，若，，則平行或相交，故C錯誤；對于D，若，，，則只能說明相交但不一定垂直，故D錯誤.故選AB.11．【答案】ABC【分析】利用向量垂直的數量積可得，即A正確，由向量夾角公式代入計算可得B正確，根據向量的三角不等式可得C正確，由向量的坐標表示以及模長公式可得D錯誤.【詳解】對于A，若可得，所以，，因此可得，即A正確；對于B，易知與的夾角為，與的夾角為，又因為且與不共線，所以，即B正確；對于C，由向量的三角不等式可得，當與同向時滿足，因此可得，即C正確；對于D，由，可得，所以，即D錯誤.故選ABC.12．【答案】BCD【分析】根據兩個隊伍的平均數和方差，進行比較，結合平均數以及方差的意義逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，可知平均說來甲隊比乙隊的防守技術好，故A錯誤；對于選項BC：因為，可知乙隊比甲隊技術水平更穩定，即甲隊防守中有時防守表現較差，有時表現又非常好，故B、C正確；對于選項D：因為乙隊每場比賽平均失球數是2.1，且標準差為0.4，結合選項B可知：乙隊平均失球數多，且乙隊防守技術水平更穩定，即乙隊很少不失球，故D正確；故選BCD.13．【答案】0.28【分析】根據相互獨立事件的定義計算即可.【詳解】因為相互獨立，所以.故答案為：.14．【答案】【分析】根據題意結合正方形的結構特征可知平面與平面ABCD所成二面角為，即可得結果.【詳解】因為平面，平面，可得，可知平面與平面ABCD所成銳二面角為，又因為為正方形，可得，所以平面與平面ABCD所成銳二面角的大小為.故答案為：.15．【答案】【分析】利用余弦定理，求得，根據題意，得到再由向量的數量積的運算公式，即可求解.【詳解】因為，由余弦定理得，又因為，所以，由是關于x的方程的兩個不等實數根，可得，所以.故答案為：.16．【答案】7【分析】利用臺體的體積公式求正四棱臺的體積，再根據祖暅原理即可得結果.【詳解】由題意可知：正四棱臺的體積為，根據祖暅原理可知該不規則幾何體的體積為7.故答案為：7.17．【答案】(1)；(2)且.【分析】（1）根據向量共線的坐標表示即可得到方程，解出即可；（2）分析得，且，不同向共線，解出不等式并結合（1）的答案即可.【詳解】（1）根據題意得，解得.（2）若向量，的夾角為銳角，則，且，不共線，即，解得，由（1）當時，，且此時兩向量同向，則且.18．【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.【分析】（1）根據題意可得∥，結合線面平行的判定定理分析證明；（2）連接，可得，，結合線面垂直的判定定理分析證明.【詳解】（1）因為為正方體，則∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）連接，因為為正方形，則，又因為平面，平面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得，同理可得：，且，平面，所以平面.19．【答案】(1)；(2)在上單調遞減，在上單調遞增；.【分析】（1）根據偶函數定義利用可求得；（2）根據復合函數單調性可判斷得出在上單調遞減，在上單調遞增，再利用偶函數性質解一元二次不等式可得結果.【詳解】（1）因為是偶函數，所以，即，可得，也即，又，不恒等于0，因此需滿足，解得；經檢驗當時，為偶函數，滿足題意；所以.（2）因為函數是偶函數，所以只需判斷上單調性即可；易知，當時，結合復合函數以及對勾函數單調性可知在上單調遞增，由偶函數性質可得在上單調遞減，因此可得在上單調遞減，在上單調遞增；所以對函數來說，距離其對稱軸軸越近，函數值越小，因此不等式等價于，也即，整理可得，解得或；所以不等式的解集為.20．【答案】(1)45；30；(2)平均數；方差16.【分析】（1）首先計算抽樣比，再計算男生和女生應抽取的人數；（2）代入總體平均數公式和方差公式，即可求解.【詳解】（1）總體容量1500，樣本容量75，則抽樣比為，所以樣本中男生數量，女生數量.（2）抽取的樣本中男生的平均數，方差，抽取的樣本中女生的平均數，方差，所以總體樣本的平均數為，總體樣本的方差.所以估計高三年級全體學生的坐位體前屈成績的方差為16.21．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據評分在的游客人數為18和總人數為50得到，利用頻率之和為1得到方程，求出；（2）根據分層抽樣的方法得到評分在的人數為2，設為，滿意度評分在的人數為3，設為，列舉出所有情況和2人中恰有1人的滿意度評分在的情況，求出概率.【詳解】（1）由題知，，因為，所以.（2）由題知，抽取的50名參會人員中滿意度評分在的人數為滿意度評分在的人數為所以抽取的5人中，滿意度評分在的人數為2，設為，滿意度評分在的人數為3，設為，所以從5人中隨機抽取2人的不同取法為，共有10種不同取法，設"2人中恰有1人的滿意度評分在"為事件，則事件包含的取法為,共有6種不同取法，22．【答案】(1)；(2)證明見