函數(shù)單調(diào)性測(cè)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=2x+1\)在\(R\)上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增2.函數(shù)\(y=-x^2\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,0]\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.無3.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上（）A.單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增C.先增后減D.先減后增4.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常函數(shù)D.無法確定5.已知函數(shù)\(f(x)\)在\([1,3]\)上單調(diào)遞增，若\(f(1)<f(x)\)，則\(x\)的取值范圍是（）A.\((1,3]\)B.\([1,3]\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,3]\)6.函數(shù)\(y=x^3\)的單調(diào)區(qū)間是（）A.增區(qū)間為\((-\infty,+\infty)\)B.減區(qū)間為\((-\infty,+\infty)\)C.增區(qū)間為\((0,+\infty)\)，減區(qū)間為\((-\infty,0)\)D.無單調(diào)區(qū)間7.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上滿足\(x_1<x_2\)時(shí)，\(f(x_1)>f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.不單調(diào)D.無法判斷8.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,0]\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)9.若函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=2x-4\)，則\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,2)\)B.\((2,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\((0,2)\)10.函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=3x\)B.\(y=x^2\)（\(x\geq0\)）C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_2x\)（\(x>0\)）2.函數(shù)\(y=x^2-2x\)的單調(diào)區(qū)間說法正確的是（）A.單調(diào)遞增區(qū)間是\([1,+\infty)\)B.單調(diào)遞增區(qū)間是\((-\infty,1]\)C.單調(diào)遞減區(qū)間是\([1,+\infty)\)D.單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,1]\)3.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)和\((b,c)\)上都單調(diào)遞增，則（）A.\(f(x)\)在\((a,c)\)上單調(diào)遞增B.\(f(x)\)在\((a,c)\)上不一定單調(diào)遞增C.\(f(x)\)在\(x=b\)處可能不連續(xù)D.\(f(x)\)在\((a,c)\)上單調(diào)性不確定4.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減的有（）A.\(y=-x+1\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)C.\(y=\sqrt{1-x}\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)5.函數(shù)\(y=\cosx\)的單調(diào)遞增區(qū)間可能是（）A.\([-\pi,0]\)B.\([0,\pi]\)C.\([2\pi,3\pi]\)D.\([\pi,2\pi]\)6.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系正確的是（）A.\(f^\prime(x)>0\)時(shí)，\(f(x)\)單調(diào)遞增B.\(f(x)\)單調(diào)遞增時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)C.\(f^\prime(x)<0\)時(shí)，\(f(x)\)單調(diào)遞減D.\(f(x)\)單調(diào)遞減時(shí)，\(f^\prime(x)<0\)7.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([m,n]\)上單調(diào)，且\(f(m)f(n)<0\)，則（）A.\(f(x)\)在\((m,n)\)上有零點(diǎn)B.\(f(x)\)在\((m,n)\)上可能無零點(diǎn)C.\(f(x)\)在\((m,n)\)上零點(diǎn)唯一D.\(f(x)\)在\((m,n)\)上零點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定8.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)區(qū)間為（）A.單調(diào)遞增區(qū)間是\((-\infty,-1)\)B.單調(diào)遞增區(qū)間是\((1,+\infty)\)C.單調(diào)遞減區(qū)間是\((-1,1)\)D.單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,-1)\)9.以下函數(shù)中，是單調(diào)函數(shù)的有（）A.\(y=5\)B.\(y=x+2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）D.\(y=x^3+1\)10.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(A\)上單調(diào)遞增，在區(qū)間\(B\)上單調(diào)遞減，則（）A.\(A\)與\(B\)可能有交集B.\(A\)與\(B\)一定無交集C.\(f(x)\)在\(A\cupB\)上不單調(diào)D.\(f(x)\)在\(A\capB\)上無定義三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=5\)是單調(diào)函數(shù)。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有\(zhòng)(f^\prime(x)\geq0\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\(R\)上單調(diào)遞增。（）4.單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)。（）5.函數(shù)\(y=\log_3x\)在定義域上單調(diào)遞增。（）6.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞增，\(g(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞減，則\(f(x)-g(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)。（）8.函數(shù)\(y=|x|\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。（）9.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(M\)和\(N\)上都單調(diào)遞減，那么\(f(x)\)在\(M\cupN\)上也單調(diào)遞減。（）10.函數(shù)\(y=e^x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((0,+\infty)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述判斷函數(shù)單調(diào)性的定義法步驟。-答案：設(shè)\(x_1\)，\(x_2\)是給定區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，且\(x_1<x_2\)，計(jì)算\(f(x_1)-f(x_2)\)，對(duì)其進(jìn)行變形，判斷\(f(x_1)-f(x_2)\)與\(0\)的大小關(guān)系，若\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，則函數(shù)單調(diào)遞增；若\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，則函數(shù)單調(diào)遞減。2.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime>0\)，即\(2x-4>0\)，解得\(x>2\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\((2,+\infty)\)；令\(y^\prime<0\)，即\(2x-4<0\)，解得\(x<2\)，所以單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,2)\)。3.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上單調(diào)遞增，且\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)，說明\(f(x)\)在\([a,b]\)上零點(diǎn)情況。-答案：因?yàn)閈(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增，且\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。4.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上的單調(diào)性？-答案：先求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)，若在區(qū)間\((a,b)\)上\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的單調(diào)性與\(a\)的取值關(guān)系。-答案：當(dāng)\(a>1\)時(shí)，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<a<1\)時(shí)，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞減。這是由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)決定，\(a\)越大，函數(shù)值增長(zhǎng)越快（\(a>1\)）；\(a\)越小，函數(shù)值減小越快（\(0<a<1\)）。2.舉例說明函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，但導(dǎo)數(shù)不一定恒大于\(0\)。-答案：例如\(y=x^3\)，其導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)，在\(R\)上單調(diào)遞增。但當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y^\prime=0\)，并非恒大于\(0\)。即函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，導(dǎo)數(shù)可以在個(gè)別點(diǎn)處為\(0\)，只要在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)不恒為\(0\)且大部分滿足導(dǎo)數(shù)大于等于\(0\)即可。3.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在不同區(qū)間上單調(diào)性與函數(shù)圖象的關(guān)系。-答案：\(y=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。從圖象看，其圖象在這兩個(gè)區(qū)間分別位于第二、四象限，在各自區(qū)間內(nèi)，隨著\(x\)增大，\(y\)值減小，直觀體現(xiàn)了單調(diào)性，且在\(x=0\)處不連續(xù)，這也影響了其單調(diào)性區(qū)間的劃分。4.對(duì)于復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)，如何討論其單調(diào)性？-答案：先確定函數(shù)定義域，再分別分析內(nèi)函數(shù)\(g(x)\)和外函數(shù)\(f(u)\)（\(u=g(x)\)）的單調(diào)性。根據(jù)“同增異減”原則，若\(g(x)\)與\(f(u)\)在相應(yīng)區(qū)間單調(diào)性相同，則\(y=f(g(x))\)單調(diào)遞增；若