高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州三校2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若要，則需，所以解得，所以所以.故選：.2.給出下列命題，其中是正確命題的是（）A.兩個函數，表示的是同一函數B.函數的單調遞減區間是C.若函數的定義域為，則函數的定義域為D.命題“，”的否定是“，”【答案】C【解析】，，定義域不同,兩函數不是同一函數，故A錯誤；函數的單調遞減區間是和，故B錯誤；因為函數的定義域為，所以，解得，所以函數的定義域為，故C正確；命題“，”的否定是“，”，故D錯誤.故選：C3.近日，我國某生命科學研究所的生物研究小組成員通過大量的實驗和數據統計得出睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位時間內心跳的次數）與其自身體重滿足的函數模型.已知一只恒溫動物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經測量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（）A.350kg B.450kg C.500kg D.250kg【答案】D【解析】根據題意，當時，，則，當時，則，故.故選：D.4.已知，那么下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若且，則【答案】C【解析】．若，當時，，所以不成立；．若，當時，則，所以不成立；．若，，由，所以成立．若且，當時，則，所以，則不成立．故選：．5.關于的不等式的解集為，則下列說法正確的個數是（）.①；②關于的不等式的解集為；③；④關于的不等式的解集為.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為關于的不等式的解集為，所以且和是的解，所以說法①正確；由韋達定理得，，解得，所以即為，故，所以說法②錯誤；，所以說法③正確；不等式即為，即，解得，所以不等式的解集為，所以說法④正確.故選：C.6.已知函數為定義在上的奇函數，且在為減函數，在為增函數，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知，且在上單調遞增，在上單調遞減，如圖：當時，，故，此時；當時，滿足；當時，，，此時，則，所以，綜上，不等式的解集為.故選：B.7.已知是定義域為的函數，，若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為對任意的，都有成立，所以，所以成立，構造，所以由上述過程可得在單調遞增，(i)若，則對稱軸，解得；(ii)若，在單調遞增，滿足題意；(iii)若，則對稱軸恒成立；綜上，，故選：D8.若對于定義域內的每一個，都有，則稱函數為“雙倍函數”.已知函數是定義在上的“雙2倍函數”，且當時，，若函數恰有4個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，對，都有，設，則所以又，所以則因為函數恰有4個不同的零點，即方程有4個不同的實數根，記，則方程必有兩個不同的實數根為，且和都有兩個不同實數根，由圖可知，當時，有，且，此時和都有兩個不同實數根，滿足題意.所以，實數的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數滿足，下列選項中正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因為，所以，對于A選項，由，可得，故A項錯誤；對于B選項，，故B項正確；對于C選項，由，又，所以，則，故C項正確；對于D選項，因故D項正確.故選：BCD.10.已知，且，則下列正確的有（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是9 D.的最小值是【答案】AB【解析】因為，，，當且僅當時，等號成立，A正確；，當且僅當，即時等號成立，B正確．，當且僅當，即時等號成立，C錯誤；由得，所以，D錯；故選：AB．11.定義在上的函數滿足下列條件：（1）；（2）當時，，則（）A. B.當時，C. D.在上單調遞增【答案】ABD【解析】對于A項，由，取，得，，故A項正確；對于B項，由，取，因，故，即，當時，，則，故，即，故B項正確；對于C項，由，取，可得，，整理得，，因，，當且僅當時取等號，但因的符號不能確定，故不一定有，即不一定成立，故C項錯誤；對于D項，任取，則，依題意，，而，則，即，即在上是增函數.于是，對于，任取，因，則，即，即函數在上單調遞增，故D項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.__________.【答案】【解析】.故答案為：13.已知冪函數過點，若，則實數a的取值范圍是_________.【答案】【解析】設冪函數，因為函數圖象過點，則，解得，則，其定義域為，且在單調遞減.所以由，可得，解得.所以實數的取值范圍是.故答案為：.14.定義區間的長度均為，多個區間并集的長度為各區間長度之和，例如,的長度.用表示不超過的最大整數，記，其中.設，，當時,不等式解集區間的長度為，則的值為_______．【答案】7【解析】，即，當時,，上式可化為，∴；當時,，上式可化為，∴；當時,,上式可化為，∴當時,不等式解集區間的長度為；同理可得,當時,不等式解集區間的長度為；∵不等式解集區間的長度為5，∴，∴.故答案為7.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合.（1）若，求；（2）若存在正實數，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實數的取值范圍.解：（1），則.當時，，則.故；（2）.由題，則.又“”是“”成立的充分不必要條件，則是的真子集，則，又注意到滿足條件.則實數的取值范圍是16.設．（1）若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于的不等式．解：（1）由題設，即對一切實數恒成立，當時，不恒成立；當時，只需，可得；綜上，.（2）當時，，即，可得；解集為；當時，，若，則，若，即時，可得或，解集為；若，即時，可得，解集為；若，即時，可得或，解集為；若，則，可得，解集為.17.學習機是一種電子教學類產品，也統指對學習有輔助作用的所有電子教育器材．學習機較其他移動終端更注重學習資源和教學策略的應用，課堂同步輔導?全科輔學功能?多國語言學習?標準專業詞典以及內存自由擴充等功能成為學習機的主流競爭手段，越來越多的學習機產品全面兼容網絡學習?情境學習?隨身學習機外教?單詞聯想記憶?同步教材講解?互動全真題庫?權威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內存和SD/MMC卡內存自由擴充功能根據市場調查．某學習機公司生產學習機的年固定成本為20萬元，每生產1萬部還需另投入16萬元．設該公司一年內共生產該款學習機萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當該公司一年內共生產該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當該公司一年內共生產該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬部）的函數解析式；（2）當年產量為多少萬部時，公司在該款學習機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．解：（1）因為當生產該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元，所以，解得，當該公司一年內共生產該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元，所以，解得，當時，，當時，，綜上．（2）①當時，單調遞增，所以；②當時，，由于，當且僅當，即時取等號，所以此時的最大值為，綜合①②知，當時，取得最大值為3680萬元．18.雙曲函數是工程數學中一類重要的函數，它也是一類最重要的基本初等函數，它的性質非常豐富，常見的兩類雙曲函數為正余弦雙曲函數，解析式如下：雙曲正弦函數，雙曲余弦函數：（1）請選擇下列2個結論中的一個結論進行證明：選擇______（若兩個均選擇，則按照第一個計分）①

②（2）請證明雙曲正弦函數在上是增函數；（3）求函數在R上的值域．（1）解：若選擇①：由題意，，則若選擇②：.（2）證明：，且∵，∴，，∴，即所以在上是增函數．（3由（1）知，，則，令，則，當且僅當時取等，令，又函數在上單調遞增，故，故的值域為，即的值域為；19.已知函數的定義域為，為大于的常數，對任意，都滿足，則稱函數在上具有“性質”．（1）試判斷函數和函數是否具有“性質”（無需證明）；（2）若函數具有“性質”，且，求證：對任意，都有；（3）若函數的定義域為，且具有“性質”，試判斷下列命題的真假，并說明理由，①若在區間上是嚴格增函數，則此函數在上也是嚴格增函數；②若在區間上是嚴格減函數，則此函數在上也是嚴格減函數．（1）解：函數不具有“性質”，函數具有“性質”，理由如下：設，，對任意的，，所以，，所以，函數不具有“性質”，對任意的，，所以，，所以，函數具有“性質”.（2）證明：因為函數具有“性質”，對任意的，，