高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省2025年第一次普通高中學業水平合格性考試數學仿真模擬卷01一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合的真子集的個數是（

）A．64 B．63 C．32 D．31【答案】D【解析】由，解得，即，所以集合的真子集有個.故選：D.2．已知實數，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，得，設，，則，，當且僅當，即，，時取等號.故選：C.3．把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，可以得到函數y＝（）的圖象A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以把圖象上所有的點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象，故選：D.4．已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】A選項，缺條件，結論不成立；B選項，直線與直線可能平行可能異面，結論不成立；C選項，由直線與平面垂直的定義可知，結論正確D選項，直線可能與平行，可能在內，也可能與相交，不一定滿足垂直，結論不成立.故選：C.5．已知一組數據為：，，，，，，，，，，則這組數據（

）A．中位數為 B．眾數為 C．百分位數為3 D．平均數為【答案】C【解析】將數據從小到大排列為：，，，，，，，，，，共個數，中位數為，A選項錯誤，出現最多的是和，均出現次，故眾數為2和3，B選項錯誤，，故分位數為，C選項正確，平均數為，D選項錯誤；故選：C.6．已知函數，若，實數（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，，解得.故選：D.7．直線與函數的圖象的交點個數是（

）A． B． C． D．無數個【答案】A〖祥解〗利用余弦函數的有界性可得結論.【解析】因為，故直線與函數的圖象沒有公共點，故選：A.8．設平面向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，所以.故選：B.9．若從1至9的9個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數的和是3的倍數的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從1至9的9個整數中隨機取2個不同的數，基本事件總數，這2個數的和為3的倍數包含的基本事件為，，，，，，，，，，，，共12個，即，則這2個數的和是3的倍數的概率是.故選：C.10．若，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，即，，即，，即，又，所以，即，所以.故選：D.11．柜子里有3雙不同的鞋，從中隨機地取出2只，記事件“取出的鞋不成雙”，事件“取出的鞋都是一只腳的”，事件“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”.則有（

）A． B．與相互獨立 C． D．A與互斥【答案】C【解析】記三雙不同的鞋為：白1，白2，紅1，紅2，黑1，黑2，從中隨機取出2只共有：白1白2，白1紅1，白1紅2，白1黑1，白1黑2，白2紅1，白2紅2，白2黑1，白2黑2，紅1紅2，紅1黑1，紅1黑2，紅2黑1，紅2黑2，黑1黑2，共15種情況，事件包含：白1紅1，白1紅2，白1黑1，白1黑2，白2紅1，白2紅2，白2黑1，白2黑2，紅1黑1，紅1黑2，紅2黑1，紅2黑2，12個基本事假，事件包含：白1紅1，白1黑1，白2紅2，白2黑2，紅1黑1，紅2黑2，6個基本事件，事件包含：白1紅2，白1黑2，白2紅1，白2黑1，紅1黑2，紅2黑1，6個基本事件，事件包含：0個基本事件，顯然：，A錯誤；，，，，B錯誤；對于C：由列舉可知，所以，正確；對于D，由列舉可知A與不互斥，故錯誤.故選：C.12．已知函數（其中，為常數，且），若的圖象如圖所示，則函數的圖象是（

） B．C． D．【答案】A【解析】由圖可得，則有，且該函數為單調遞減函數，故B、C、D錯誤，A正確.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13．已知復數滿足，則.【答案】【解析】由題意：.所以.14．已知是定義域為的奇函數，且當時，，則.【答案】【解析】由是定義域為的奇函數，所以，得，，所以.15．長方體的所有頂點都在一個球面上，長、寬、高分別為2，1，1，那么這個球的表面積是．【答案】【解析】由題意，長方體的對角線的長度即外接球的直徑，為，故這個球的表面積是.16．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，且終邊經過點，則．【答案】【解析】根據正切函數的定義知：.17．已知函數是偶函數，其定義域為，則.【答案】【解析】因為函數是定義域為的偶函數，所以①，且，即，解得,代入①，可得，所以.故答案為:.18．有一批產品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，現用按比例分層隨機抽樣的方法從這批產品中抽出16件進行質量分析，則抽取的一等品有件.【答案】【解析】抽取的一等品的件數為.三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，證明過程和演算步驟.19．在中，角，，的對應邊分別為a，b，c，，且.(1)求邊的長；(2)求角大小及的面積.解：（1）由正弦定理，得.（2）由余弦定理，所以，.20．有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙：9

5

7

8

7

6

8

6

7

7設甲、乙兩名運動員射擊平均環數分別記為和，方差分別記為和.(1)求，，，；(2)如果你是教練，你如何對這次射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？解：（1），，，.（2）由（1）知，甲乙射擊的平均成績一樣，但乙比甲射擊的成績更穩定，所以選擇乙.21．某手作特產店擬舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量萬份與年促銷投入費用萬元滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件.已知店內生產該產品的固定投入（設備等）為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入4萬元，店家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（每件產品年平均成本按元來計算），按需生產，生產出的產品恰好被全部售出.(1)將該產品的年利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；(2)該店家的促銷投入費用為多少萬元時，利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）由已知得，當時，，則，得，故.

故每件產品的銷售價格為，故利潤.（2）因為當時，，所以，

當且僅當，即時等號成立.即促銷投入費用為1萬元時，店家獲得最大利潤