高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、班級(jí)和座號(hào).考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得.故選：C.2.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】隨機(jī)變量，由，得，解得，所以.故選：B3.“在上單調(diào)遞增”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，于是，顯然真包含于，所以“在上單調(diào)遞增”是“”的充分不必要條件.故選：A4.若，，則（）A.10 B.20 C.50 D.100【答案】B【解析】因?yàn)?，又因?yàn)榭傻?所以.故選：B.5.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，設(shè)，則（）X01PnA.5 B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，解得，，，而，所以.故選：A6.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，因此.故選：C7.將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的五個(gè)小球放入A，B，C三個(gè)盒子，每個(gè)小球只能放入一個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球．若標(biāo)有數(shù)字1和2的小球不放入同一個(gè)盒子，則不同方法有（）A.72種 B.42種 C.114種 D.36種【答案】C【解析】5個(gè)不同的小球，先分成3組，可分為1,1,3,或者是1,2,2，共種，將每一種分法放到3個(gè)盒子中，共有種不同方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：種.故選：C.8.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．若，且，則的最小值為（）A.4 B. C.3 D.2【答案】D【解析】設(shè)，則.顯然．，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào).，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào).兩式相乘，即，則.此時(shí)，前面都要成立，則，，則.的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則n的值可能為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】依題意，，因此，所以或.故選：BC10.已知函數(shù)（且）在R上為單調(diào)函數(shù)，，則（）A.實(shí)數(shù)a的取值范圍為B.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C.函數(shù)是周期函數(shù)D.函數(shù)與圖象之間關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)有無(wú)數(shù)多對(duì)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由函數(shù)在R上為單調(diào)函數(shù)，而在上為增函數(shù)，得，解得，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然，函數(shù)是周期函數(shù)，C正確；對(duì)于D，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)解析式，由，得，即，由，，得，又，因此函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象之間關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)有無(wú)數(shù)多對(duì)，D正確.故選：ACD11.A是輪子（半徑為0.5m）外邊沿上的一點(diǎn)，若輪子從圖中位置（A恰為輪子和地面的切點(diǎn)）向左勻速無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)滾動(dòng)的水平距離為xm（）時(shí)，點(diǎn)A距離地面的高度為，則（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A恰好位于輪子的最高點(diǎn)B.C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A距離地面的高度在下降D.若，，則的最小值為【答案】BCD【解析】由題意知，輪子的半徑為，則輪子滾動(dòng)一周的水平距離為，如圖所示，設(shè)輪子滾動(dòng)了后到達(dá)了點(diǎn)，即，可得過(guò)點(diǎn)作垂直地面，過(guò)點(diǎn)作，則，即，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確；對(duì)于B中，可得，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)，都可在上單調(diào)遞減，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，可得，所以，令且，且，則，且，當(dāng)時(shí)，可得的最小值為，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，若，則________．【答案】0.2【解析】如圖，畫出正態(tài)分布的曲線圖，，即，即紅色區(qū)域面積為.根據(jù)對(duì)稱性，知，則，故答案為：0.2.13.若，則________．【答案】【解析】由，得，解得，所以.故答案為：14.若存在實(shí)數(shù)x使得成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為________．【答案】1【解析】，，，，令，若存在使得不等式成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，，解得：，，實(shí)數(shù)的最大值為1，故答案為：1．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為64．（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）求展開式中含的項(xiàng)．解：（1）由的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為64，得，解得，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為.（2）展開式的通項(xiàng)公式，令，得，所以展開式中含的項(xiàng)為.16.某企業(yè)擁有甲、乙兩種生產(chǎn)工藝，用這兩種生產(chǎn)工藝共生產(chǎn)40件同一類型產(chǎn)品，所得合格品情況如表1，該企業(yè)對(duì)甲生產(chǎn)工藝研發(fā)投入x（億元）與總收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表2.表1：工藝合格情況合計(jì)合格品不合格品甲1820乙8合計(jì)40表2：研發(fā)投入x（億元）1234收益y（億元）6.5788.5（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品合格率與生產(chǎn)工藝有關(guān)？（2）用線性回歸方程預(yù)估當(dāng)對(duì)甲生產(chǎn)工藝研發(fā)投入10億元時(shí)，總收益將達(dá)到多少億元？附：①，.②臨界值表：α0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828③參考公式：，.解：（1）列聯(lián)表為：工藝合格情況合計(jì)合格品不合格品甲18220乙12820合計(jì)301040零假設(shè)：兩種工藝生產(chǎn)的配件與合格率無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為產(chǎn)品合格率與生產(chǎn)工藝有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.（2）顯然，，，則，，因此關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以預(yù)估研發(fā)投入10億元，收益將達(dá)到12.75億元.17.已知函數(shù)，為偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）寫出的單調(diào)區(qū)間（不需要說(shuō)明理由）；（3）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，由為偶函數(shù)，得，即，即，又不恒為0，所以.（2）函數(shù)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是R上的偶函數(shù)，因此在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3）由（2）知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，不等式，則，而，于是，依題意，對(duì)于任意恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.18.已知甲盒中裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙盒中裝有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．（1）若從兩個(gè)盒子中一次性各摸出2個(gè)球，用X表示摸出的4個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）若先從甲盒中一次性摸出2個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄忻鲆粋€(gè)球．（?。┯?jì)算在乙盒中摸出的是黑球的概率；（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，計(jì)算甲盒中恰剩一個(gè)黑球的概率．解：（1）依題意，的可能值為，，，，，，所以的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望.（2）（ⅰ）設(shè)事件“從甲盒中摸出2個(gè)白球”，事件“從甲盒中摸出1個(gè)白球和1個(gè)黑球”，事件“從甲盒中摸出2個(gè)黑球”，事件“從乙盒中摸出1個(gè)黑球”，顯然，且兩兩互斥，，，則，所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是.（ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一個(gè)黑球的事件是在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生，因此，所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一個(gè)黑球的概率為.19.函數(shù)的定義域?yàn)镽，若存在非零實(shí)數(shù)T，對(duì)，都有，則稱函數(shù)關(guān)于T可線性分解，已知（，）．（1）若關(guān)于T可線性分解，求，；（2）若，關(guān)于3可線性分解．（?。┣蠛瘮?shù)的零點(diǎn)；（ⅱ）對(duì)，，求m的取值范圍．解：（1）若關(guān)于可線