高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項：1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由得，故，故選：B2.已知事件A，B滿足：，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：.3.在三棱錐中，D是的中點，E是的中點，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，.故選：C4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，在上單調(diào)遞減，所以在恒成立，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為，所以的最小值為.故選：B.5.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，則直線與平面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取中點為，連接，，，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，底面，，，，連接，則.如圖，以為原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)平面的法向量為，則，可取，，設(shè)直線與平面所成角為，，，直線與平面所成角的正切值為.故選：.6.某觀影平臺對新近上映的某部影片的觀眾評價情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（單位：人）：作出評價不作評價男3015女4510附：，0.100.050.01k2.7063.8416.635則下列說法正確的是（）A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否作出觀影評價與性別有關(guān)B.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可以認(rèn)為是否作出觀影評價與性別有關(guān)C.沒有95%的把握認(rèn)為是否作出觀影評價與性別有關(guān)D.有99%的把握認(rèn)為是否作出觀影評價與性別有關(guān)【答案】C【解析】由題意知，，所以沒有的把握認(rèn)為是否作出觀影評價與性別有關(guān).故選：C7.已知，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，因為，所以等式兩邊取對數(shù)化解得，令，所以，當(dāng)時，即，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，在單調(diào)遞減；因為，且，所以，所以.故選：D.8.已知隨機變量所有可能的取值為x，y，且，，則下列說法正確的是（）A.存在， B.對任意，C.存在， D.對任意，【答案】D【解析】由題意可得：，且，即，對A、B：由題意可得：，∵開口向下，對稱軸，，則，故，即，不存在，，A錯誤；例如，則，即存在，，，B錯誤；對C：，則，故對任意，，則，C錯誤；對D：令，則圖象開口向下，對稱軸，且，故，即，對任意，，D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某校學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則（）A.越大，測試成績在概率越大B.無論取何值，測試成績落在與落在的概率相等C.若隨機變量滿足，則D.若隨機變量滿足，且，則【答案】BC【解析】對于A：因為，則，越大，則數(shù)據(jù)越分散，所以測試成績在的概率越小，故A錯誤；對于B：因為，，所以根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知，無論取何值，測試成績落在與落在的概率相等，故B正確；對于C：因為，，則，所以，故C正確；對于D：因為，，則，又，即，所以，即，所以，故D錯誤.故選：BC10.已知正方體棱長為1，動點M滿足，則（）A.當(dāng)，時，直線⊥平面B.當(dāng)，，時，點M到直線的距離為C.當(dāng)，，時，的值可能為D.當(dāng)且時，點M的軌跡長度為【答案】BD【解析】A選項，當(dāng)，，此時點為的中點，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由于，，故，故與不垂直，故直線與平面不垂直，A錯誤；B選項，當(dāng)，，時，，設(shè)，則，解得，故，，又，故，故點M到直線的距離為，B正確；C選項，當(dāng)，，時，，設(shè)，則，解得，故，其中，故，故，如圖所示，，顯然當(dāng)三點共線時，取得最小值，最小值為，則的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的值不可能為，C錯誤；D選項，當(dāng)時，，故，即，故點在平面上，連接，交平面于點，則，因為，，故⊥，且⊥，又，平面，所以⊥平面，且，又，故，故點M的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故軌跡長度為，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)有兩個零點，，且，則（）A.當(dāng)時，在處的切線與y軸垂直B.實數(shù)a的取值范圍是C.D.【答案】ABD【解析】當(dāng)時，，，所以A項正確；由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)有兩個零點且，則，且，所以，解得，所以B項正確；由，得，，則，設(shè)，則由和解得，故，由變形得，令，可知，即在遞增，所以，即，所以C項不正確；，令，則，即在(1,+∞)遞減，所以，所以，即D項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在一個不透明的密封盒子中裝有8只昆蟲，其中蜜蜂和蝴蝶的數(shù)量各占一半.現(xiàn)在盒子上開一小孔，每次只能飛出一只昆蟲，且任意一只昆蟲都等可能地飛出.則“從盒子中任意飛出2只昆蟲，至少有1只是蝴蝶”的概率是_______.【答案】【解析】“從盒子中任意飛出2只昆蟲，至少有1只是蝴蝶”為事件A，則.故答案為：13.已知函數(shù)，則的最小值是_______.【答案】【解析】因為，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，又，所以時，，即，則單調(diào)遞減，所以時，，即，則單調(diào)遞增，所以.故答案為：14.已知直三棱柱，，，E為側(cè)棱中點，過E作平面與平面垂直，當(dāng)平面與該直三棱柱所成截面為三角形時，頂點與該截面構(gòu)成的三棱錐體積的最小值為_______.【答案】【解析】分別以所在直線為軸，軸，軸則，設(shè)平面的法向量，則，得，設(shè)平面，與平面交于點，則，點，由，得，即，當(dāng)平面經(jīng)過直線并繞著直線旋轉(zhuǎn)時，平面與平面的交線繞著點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)交線與線段，都相交時，與正方體所成截面為三角形，令平面與平面的交線交于點，交于點，設(shè)，，則，，由三點共線，得，，所以，因此，所以故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物交易額也快速提升，某網(wǎng)上交易平臺工作人員對2019年至2023年每年的交易額（取近似值）進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下表：年份20192020202120222023年份代碼（t）12345交易額y（單位：百億）1.523.5815（1）據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與t的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與t的線性相關(guān)性的強弱；（已知：，則認(rèn)為y與t線性相關(guān)性很強；，則認(rèn)為y與t線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與t線性相關(guān)性較弱.）（2）利用最小二乘法建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測2024年該平臺的交易額.參考數(shù)據(jù)：，，參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中，斜率和縱截距的最小二乘估計分別為，.解：（1）依題意，，，，故，所以線性相關(guān)性程度很強；（2），，則，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時，，所以預(yù)計2024年該平臺的交易額為15.9百億.16.如圖，已知平行四邊形，點E為的中點，，.將沿折起，使點D到達(dá)點P的位置，且與夾角的余弦值為.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）取中點，連結(jié)，，由于是中點，可知，所以為等邊三角形，即，又因為與夾角的余弦值為，，所以與的夾角就是，即，由余弦定理得：，所以，即，因為，所以，又因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）因為平面，所以，因為四邊形為平行四邊形，且為等邊三角形，所以．因為為的中點，則，所以為等腰三角形，可得，，即.取的中點，則，所以，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，可得，，設(shè)是平面的一個法向量，所以，即，取，又因為是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角為，所以.所以平面與平面所成角的余弦值為.17已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值點；（2）證明：.解：（1）定義域為，，其中，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值點是0.（2）等價于，即，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，則恒成立，故.18.手機芯片（以下簡稱“芯片”）是手機中的核心組件之一，負(fù)責(zé)處理和控制手機的各種功能和任務(wù).某大型企業(yè)準(zhǔn)備把芯片的生產(chǎn)任務(wù)交給甲工廠或乙工廠，經(jīng)過調(diào)研和抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批芯片的次品率為6%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批芯片的次品率為2%；若將這兩批芯片混合放在一起，則次品率為3%.（1）從混合放在一起的芯片中隨機抽取3顆，用頻率估計概率，記這3顆芯片中來自甲工廠的顆數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）為了獲得芯片的生產(chǎn)訂單，甲工廠通過采用最新的制造工藝，可以提高芯片的性能.記在甲工廠提高芯片性能的條件下，該大型企業(yè)把芯片交給甲工廠生產(chǎn)的概率為，在甲工廠不提高芯片性能的條件下，該大型企業(yè)把芯片交給甲工廠生產(chǎn)的概率為，已知.設(shè)事件“甲工廠提高了芯片性能”，事件“該大型企業(yè)把芯片交給甲工廠生產(chǎn)”，其中，證明：.解：（1）設(shè)事件“混合放在一起的芯片來自甲工廠”，事件“混合放在一起的芯片是次品”，設(shè)，則，所以，計算得．的可能取值為0，1，2，3，，.（2）依題意得：．即．因為，，所以．因為，，所以．即得，所以．即．又因為，，所以．因為，，所以．即得證．19.已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為.若存在實數(shù)a和函數(shù)，其中對任意都有，使得，則稱函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì).（參考數(shù)值：）（1）設(shè)函數(shù)，其中b為實數(shù).①證明：函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì)；②若，對任意，都成立，求實數(shù)b的取值范圍；（2）已知函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì)，給定，，對于兩個大于1的實數(shù)，，且,,使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）①，當(dāng)時，恒有，根據(jù)定義得函數(shù)具有優(yōu)化特質(zhì).②，令得，，當(dāng)時，，此