高數(shù)a2試題講解及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的全微分\(dz\)是（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(4dx+4dy\)D.\(2dx+dy\)答案：A2.下列級數(shù)中收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)答案：B3.曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在點(diǎn)\((1,1,1)\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}\)C.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)D.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2}\)答案：A4.設(shè)\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處具有偏導(dǎo)數(shù)，則\(f(x,y)\)在該點(diǎn)沿\(x\)軸正方向的方向?qū)?shù)為（）A.\(f_x(x_0,y_0)\)B.\(f_y(x_0,y_0)\)C.\(\sqrt{f_x^2(x_0,y_0)+f_y^2(x_0,y_0)}\)D.\(0\)答案：A5.\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}e^{x^2}dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}(e-1)\)B.\(e-1\)C.\(\frac{1}{2}e\)D.\(e\)答案：A6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)的收斂半徑為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(+\infty\)D.\(2\)答案：C7.設(shè)\(z=\ln(x+y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(1,1)}\)=（）A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：B8.二重積分\(\iint_{D}d\sigma\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所圍成的區(qū)域，其值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：A9.已知向量\(\vec{a}=(1,1,0)\)，\(\vec{b}=(0,1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)=（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：B10.空間曲線\(x^2+y^2+z^2=4\)與\(z=1\)的交線在\(xOy\)面上的投影曲線方程是（）A.\(x^2+y^2=3\)B.\(x^2+y^2=4\)C.\(x^2+y^2=1\)D.\(x^2+y^2=2\)答案：A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的說法正確的有（）A.若\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x,y)\)，\(f_y(x,y)\)是分別關(guān)于\(x\)，\(y\)的變化率C.偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件D.二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無關(guān)答案：BCD2.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinn}{n^2}\)答案：ACD3.曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)與路徑無關(guān)的條件有（）A.區(qū)域\(D\)是單連通區(qū)域B.\(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\)在\(D\)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)C.\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)在\(D\)內(nèi)處處成立D.\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)答案：ABC4.下列關(guān)于向量運(yùn)算的說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)B.\(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\)C.\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)D.\((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})\)答案：ABC5.關(guān)于冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，以下正確的是（）A.其收斂區(qū)間一定是\((-R,R)\)形式，\(R\)為收斂半徑B.在收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂C.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)D.可以對其逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分答案：BCD6.設(shè)\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)為（）A.\(\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}\)B.\(\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)C.\(\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)D.\(f_1'\varphi_1'+f_2'\psi_1'\)答案：CD7.以下哪些是二階常系數(shù)線性齊次微分方程\(y''+py'+qy=0\)（\(p,q\)為常數(shù)）的解的情況（）A.當(dāng)\(p^2-4q>0\)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根\(r_1,r_2\)，通解為\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)B.當(dāng)\(p^2-4q=0\)時(shí)，有二重實(shí)根\(r\)，通解為\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\)C.當(dāng)\(p^2-4q<0\)時(shí)，有共軛復(fù)根\(r_{1,2}=\alpha\pmi\beta\)，通解為\(y=e^{\alphax}(C_1\cos\betax+C_2\sin\betax)\)D.一定存在兩個(gè)線性無關(guān)的特解答案：ABCD8.關(guān)于多元函數(shù)的極值，下列說法正確的是（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)C.用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時(shí)，需用到\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)，當(dāng)\(AC-B^2>0\)且\(A>0\)時(shí)，駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)D.函數(shù)在邊界點(diǎn)也可能取得最值答案：BCD9.以下積分運(yùn)算正確的有（）A.\(\intx\sinxdx=-x\cosx+\sinx+C\)B.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)C.\(\int\frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C\)D.\(\int_{0}^{1}e^{-x}dx=1-\frac{1}{e}\)答案：ABCD10.若向量\(\vec{a}=(1,m,n)\)，\(\vec{b}=(p,q,r)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)垂直的充要條件是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)B.\(1\timesp+m\timesq+n\timesr=0\)C.\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)D.\(\frac{1}{p}=\frac{m}{q}=\frac{n}{r}\)答案：AB判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微，則在該點(diǎn)一定連續(xù)。（√）2.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)，反之也成立。（×）3.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)\(f_{xy}(x,y)\)與\(f_{yx}(x,y)\)一定相等。（×）4.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，則在區(qū)間\((-R,R)\)內(nèi)一定絕對收斂。（√）5.曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)的值與路徑\(L\)的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑形狀無關(guān)。（×）6.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec{b}=(2,4,6)\)平行。（√）7.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得極小值。（√）8.二重積分\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)中，\(d\sigma=dxdy\)。（√）9.一階線性微分方程\(y'+P(x)y=Q(x)\)的通解為\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)。（√）10.已知\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)上連續(xù)，則\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\iint_{D}f(y,x)d\sigma\)。（×）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的方法答案：可利用正項(xiàng)級數(shù)判別法，如比較判別法（與已知斂散性的級數(shù)比較）、比值判別法（求\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\)）、根值判別法（求\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}\)）。對于交錯(cuò)級數(shù)，用萊布尼茨判別法（\(u_n\)單調(diào)遞減且\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)）。還可根據(jù)級數(shù)定義，判斷部分和數(shù)列極限是否存在。2.求函數(shù)\(z=x^2y+3xy^2\)的二階偏導(dǎo)數(shù)答案：先求一階偏導(dǎo)數(shù)，\(z_x=2xy+3y^2\)，\(z_y=x^2+6xy\)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，\(z_{xx}=2y\)，\(z_{xy}=2x+6y\)，\(z_{yx}=2x+6y\)，\(z_{yy}=6x\)。3.簡述格林公式及其適用條件答案：格林公式為\(\oint_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})d\sigma\)。適用條件：\(L\)為平面閉區(qū)域\(D\)的正向邊界曲線，\(P(x,y)\)、\(Q(x,y)\)在\(D\)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。4.如何求空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線方程答案：先聯(lián)立空間曲線方程，消