高數下重點及試題答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y\gt0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x\gt0,y\gt0\)D.\(x\neq0,y\neq0\)2.設\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)3.交換二次積分\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy\)的積分次序為（）A.\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)B.\(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)C.\(\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)D.\(\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)4.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)當（）時收斂。A.\(p\leq1\)B.\(p\gt1\)C.\(p\lt1\)D.\(p\geq1\)5.向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)與\(\vec{b}=(-1,1,0)\)的夾角余弦為（）A.\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)B.\(-\frac{\sqrt{6}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)6.方程\(x^2+y^2-z^2=0\)表示的曲面是（）A.橢球面B.圓錐面C.拋物面D.柱面7.設\(z=e^{xy}\)，則\(dz\)=（）A.\(e^{xy}dx\)B.\(e^{xy}dy\)C.\(ye^{xy}dx+xe^{xy}dy\)D.\(xye^{xy}(dx+dy)\)8.曲線\(x=t,y=t^2,z=t^3\)在點\((1,1,1)\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\)C.\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}\)D.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)9.設\(D\)是由\(x=0,y=0,x+y=1\)所圍成的區域，則\(\iint_{D}dxdy\)=（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)10.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)的求法是（）A.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert\)B.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)C.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\)D.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是多元函數的基本概念（）A.極限B.連續C.偏導數D.全微分2.下列曲線積分與路徑無關的條件是（）A.\(P_y=Q_x\)B.區域\(D\)是單連通區域C.\(P_x=Q_y\)D.函數\(P(x,y),Q(x,y)\)在\(D\)內具有一階連續偏導數3.下列級數中，哪些是正項級數（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)4.空間曲線的表示形式有（）A.一般方程B.參數方程C.向量方程D.直角坐標方程5.下列哪些是曲面的方程（）A.\(z=x^2+y^2\)B.\(x^2+y^2=1\)C.\(x+y+z=1\)D.\(y=x\)6.關于偏導數，下列說法正確的是（）A.偏導數存在函數不一定連續B.函數連續偏導數一定存在C.偏導數連續函數一定可微D.函數可微偏導數一定連續7.計算二重積分時，常用的坐標變換有（）A.直角坐標B.極坐標C.柱坐標D.球坐標8.下列向量運算正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)B.\(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\)C.\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)D.\((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})\)9.冪級數的性質有（）A.冪級數在收斂區間內絕對收斂B.冪級數的和函數在收斂區間內連續C.冪級數在收斂區間內可逐項求導D.冪級數在收斂區間內可逐項積分10.下列哪些是格林公式的應用（）A.計算平面區域的面積B.將曲線積分轉化為二重積分C.計算空間曲線積分D.判斷曲線積分是否與路徑無關判斷題（每題2分，共10題）1.若函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的兩個偏導數都存在，則函數在該點一定連續。（）2.二重積分\(\iint_{D}f(x,y)dxdy\)的值與積分區域\(D\)的劃分方式無關。（）3.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。（）4.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與\(\vec{b}=(0,1,0)\)垂直。（）5.方程\(x^2+y^2=1\)在空間直角坐標系中表示圓柱面。（）6.若\(z=f(x,y)\)具有二階連續偏導數，則\(f_{xy}=f_{yx}\)。（）7.曲線積分\(\int_{L}Pdx+Qdy\)與路徑無關的充要條件是\(P_y=Q_x\)。（）8.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂區間一定是關于原點對稱的。（）9.對于正項級數\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)，若\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\lt1\)，則級數收斂。（）10.函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的全微分\(dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述多元函數可微的定義。答：設函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的某鄰域內有定義，如果函數在點\((x_0,y_0)\)處的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)，其中\(A,B\)與\(\Deltax,\Deltay\)無關，\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)，則稱函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)可微。2.簡述判斷正項級數斂散性的比較判別法。答：設\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)都是正項級數，且\(u_n\leqv_n(n=1,2,\cdots)\)。若\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)發散。3.簡述曲線積分與路徑無關的條件。答：設\(P(x,y),Q(x,y)\)在單連通區域\(D\)內具有一階連續偏導數，則曲線積分\(\int_{L}Pdx+Qdy\)在\(D\)內與路徑無關的充要條件是\(P_y=Q_x\)在\(D\)內恒成立。4.簡述冪級數收斂半徑的求法。答：對于冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，若\(\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert=\rho\)（\(\rho\)可以為\(0\)，\(+\infty\)），則收斂半徑\(R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0\\+\infty,&\rho=0\\0,&\rho=+\infty\end{cases}\)討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數的連續、偏導數存在與可微之間的關系。答：可微則函數連續且偏導數存在；偏導數連續能推出可微，但偏導數存在函數不一定連續，也不一定可微；函數連續推不出偏導數存在，也推不出可微。2.討論在計算二重積分時，如何選擇合適的坐標系。答：若積分區域是圓形、扇形、環形等，或者被積函數形如\(f(x^2+y^2)\)，通常選擇極坐標；若積分區域是矩形、三角形等規則區域，且被積函數在直角坐標下易于積分，則選擇直角坐標。3.討論冪級數在其收斂區間端點處的斂散性情況。答：冪級數在收斂區間端點處斂散性不確定。可能在一端收斂另一端發散，也可能兩端都收斂或都發散。需分別將端點值代入冪級數，用數項級數斂散性判別法判斷，如正項級數判別法、交錯級數判別法等。4.討論向量運算在空間幾何中的應用。答：向量運算可用于求空間直線的方向向量、平面的法向量，進而確定直線和平面的方程；可求點到直線、點到