PAGEPAGE12.2.4平面與平面平行的性質A級基礎鞏固一、選擇題1．若AB、BC、CD是不在同一平面內的三條線段，則過它們中點的平面和直線AC的位置關系是(A)A．平行 B．相交C．AC在此平面內 D．平行或相交[解析]利用中位線性質定理得線線平行，進而得直線與平面平行．2．已知平面α∥平面β，P?α，P?β，過點P的兩直線分別交α、β于A、B和C、D四點，A、C∈α，B、D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，則AC之長為(C)A．10或18 B．9C．18或9 D．6[解析]由PA＝6，AB＝2知，P點不行能在α與β之間，∴點P在兩平行平面所夾空間外面，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD)或eq\f(PB,PA)＝eq\f(BD,AC)，∴AC＝9或AC＝18，∴選C．3．若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，過點B的全部直線中(D)A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數條與a平行的直線D．有且只有一條與a平行的直線[解析]∵α∥β，B∈β，a?α，∴B?a，∴點B與直線a確定一個平面γ，∵γ與β有一個公共點B，∴γ與β有且僅有一條經過點B的直線b，∵α∥β，∴a∥b．故選D．4．已知a、b表示直線，α、β、γ表示平面，則下列推理正確的是(D)A．α∩β＝a，b?α?a∥bB．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b[解析]選項A中，α∩β＝a，b?α，則a，b可能平行也可能相交，故A不正確；選項B中，α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β內，故B不正確；選項C中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，依據面面平行的判定定理，再加上條件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正確；選項D為面面平行性質定理的符號語言，故選D．5．已知兩條直線m、n兩個平面α、β，給出下面四個結論：①α∩β＝m，n?α?m∥n或者m，n相交；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∩β＝m，m∥n?n∥β且n∥α．其中正確結論的序號是(A)A．① B．①④C．④ D．③④6．平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分別在α、β內，線段AA′、BB′、CC′共點于O，O在α、β之間．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OAOA′＝32，則△A′B′C′的面積為(C)A．eq\f(\r(3),9) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(2\r(3),3)[解析]如圖∵α∥β，∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，且由eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(3,2)知相像比為eq\f(3,2)，又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AB·(AC·sin60°)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△A′B′C′＝eq\f(2\r(3),9)．二、填空題7．如右圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形態為__平行四邊形__．[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG．同理EH∥FG，∴四邊形EFGH的形態是平行四邊形．三、解答題8．如圖，四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點．求證：CE∥平面PAD．[解析]解法一：如圖所示，取PA的中點H，連接EH、DH．因為E為PB的中點，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB．又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD．因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH．又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD．解法二：如圖所示，取AB的中點F，連接CF、EF，所以AF＝eq\f(1,2)AB．又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD．又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD．因為E，F分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA．又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD．因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD．9．如圖所示，已知異面直線AB、CD都平行于平面α，且AB、CD在α的兩側，若AC、BD分別與α相交于M，N兩點，求證：eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)．[解析]如圖所示，連接AD，交平面α于點P，連接PM、PN．因為CD∥α，平面ACD∩α＝PM，所以CD∥PM，所以在△ACD中，有eq\f(AM,MC)＝eq\f(AP,PD)．同理，在△DAB中，有eq\f(AP,PD)＝eq\f(BN,ND)，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)．B級素養提升一、選擇題1．已知直線a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，則a與b(B)A．相交 B．平行C．異面 D．共面或異面[解析]∵直線a∥α，a∥β，∴在平面α、β中必分別有始終線平行于a，不妨設為m、n，∴a∥m，a∥n，∴m∥n.又α、β相交，m在平面α內，n在平面β內，∴m∥β，∴m∥b，∴a∥b.故選B．2．如圖，在多面體ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則(A)A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABEDC．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF[解析]取DG的中點為M，連接AM、FM，如圖所示．則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形∴DE綊FM．∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM．又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，即BF∥AM．又BF?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故選A．3．設平面α∥平面β，點A∈α，點B∈β，C是AB的中點，當點A、B分別在平面α、β內運動時，那么全部的動點C(B)A．不共面B．不論A、B如何移動，都共面C．當且僅當A、B分別在兩直線上移動時時才共面D．當且僅當A、B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面[解析]如圖，不論點A、B如何移動，點C都共面，且所在平面與平面α、平面β平行．4．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，若a∥α，b∥β，α∥β，則a與b位置關系是(D)A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交[解析]如圖(1)，(2)，(3)所示，a與b的關系分別是平行、異面或相交．二、填空題5．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形態肯定是平行四邊形．[解析]∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可證CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可證AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．6．棱柱ABC－A1B1C1中，側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥面B1CD，則A1DDC1的值為__1__．[解析]設BC1∩B1C＝O，連OD，∵A1B∥面B1CD且平面A1BC1∩面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四邊形BCC1B1是菱形，∴O為BC1中點，∴D為A1C1中點，則A1DDC1＝1．三、解答題7．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M為OA的中點，N為BC的中點．證明：直線MN∥平面OCD．[解析]解法一：如圖(1)，取OB的中點G，連接GN、GM．∵M為OA的中點，∴MG∥AB．∵AB∥CD，∴MG∥CD．∵MG?平面OCD，CD?平面OCD，∴MG∥平面OCD．又∵G、N分別為OB、BC的中點，∴GN∥OC．∵GN?平面OCD，OC?平面OCD，∴GN∥平面OCD．又∵MG?平面MNG，GN?平面MNG，MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面OCD．∵MN?平面MNG，∴MN∥平面OCD．解法二：如圖(2)，取OD的中點P，連接MP、CP．∵M為OA的中點，∴MP綊eq\f(1,2)AD．∵N為BC的中點，∴CN綊eq\f(1,2)AD，∴MP綊CN，∴四邊形MNCP為平行四邊形，∴MN∥PC．又∵MN?平面OCD，PC?平面OCD，∴MN∥平面OCD．8．如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1