課時規范練54拋物線基礎鞏固練1.(2024·山東濰坊一模)已知拋物線C:x2=y上點M的縱坐標為1,則點M到C的焦點的距離為()A.1 B.54C.32 2.(2024·遼寧丹東一模)已知拋物線y=2ax2(a>0)的焦點到準線的距離為1,則a=()A.2 B.1 C.12 D.3.(2024·江蘇徐州一模)若拋物線y2=2px(p>0)上的動點到其焦點F的距離的最小值為1,則p=()A.1 B.3 C.2 D.44.(2022·全國乙,理5)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=()A.2 B.22 C.3 D.325.(2024·浙江金麗衢十二校模擬)已知直線l1:3x-4y-6=0和直線l2:y=-2,拋物線x2=4y上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.2 B.3 C.115 D.6.(2024·河北唐山一模)已知拋物線Γ:y2=4x的焦點為F,以F為圓心的圓與Γ交于A,B兩點,與Γ的準線交于C,D兩點,若|CD|=221,則|AB|=()A.3 B.4 C.6 D.87.(2024·湖南常德一模)已知拋物線方程為y2=16x,焦點為F.圓的方程為(x-5)2+(y-1)2=1,設P為拋物線上的點,Q為圓上的一點,則|PF|+|PQ|的最小值為()A.6 B.7 C.8 D.98.(2024·寧夏石嘴山三模)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點,交其準線于C,AE與準線垂直且垂足為E,若|BC|=2|BF|,|AE|=3,則此拋物線的方程為()A.y2=3x2 B.y2=C.y2=9x2 D.y2=9.(多選題)(2024·浙江金麗衢十二校一模)設P是曲線C:y2=8x(y>0)上的一動點,點F是C的焦點,A(4,4),則()A.F(2,0)B.若|PF|=4,則點P的坐標為(2,4)C.|AP|+|AF|的最小值為2+25D.滿足△PFA面積為92的點P10.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準線方程為.11.(2024·陜西西安模擬)設P為拋物線C:y2=4x上的動點,A(2,6)關于P的對稱點為B,記P到直線x=-1,x=-4的距離分別為d1,d2,則d1+d2+|AB|的最小值為.綜合提升練12.(2024·河北石家莊模擬)古希臘的幾何學家用一個不垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐,將所截得的不同的截口曲線統稱為圓錐曲線,如圖所示的圓錐中,AB為底面圓的直徑,M為PB中點,某同學用平行于母線PA且過點M的平面去截圓錐,所得截口曲線為拋物線.若該圓錐的高PO=2,底面半徑OA=2,則該拋物線焦點到準線的距離為()A.2 B.3 C.3 D.213.(2024·安徽合肥模擬)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點,線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點,若∠OAP=120°,則四邊形OAPB的周長為()A.643 B.64 C.803 D.8014.(2025·北京十一學校段考)已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑,清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中,也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x-2)2+(y+1)2=4的一條直徑與拋物線x2=2py(p>0)的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊,則p=()A.12 B.1C.2 D.415.(2024·浙江名校協作體聯考)寫出兩個與直線x+1=0相切且與圓x2+y2-4x+3=0外切的圓的圓心坐標.16.(15分)(2025·北京順義檢測)如圖,已知M是拋物線C:y2=2px(p>0)在第一象限上一點,F是拋物線C的焦點,以Fx為始邊,FM為終邊的∠xFM=60°,且|FM|=4,l為拋物線C的準線,O為原點.(1)求拋物線C的方程;(2)若直線FM與拋物線C交于另一個點N,過N作x軸的平行線與l相交于點E.求證:M,O,E三點共線.創新應用練17.如圖,在平面直角坐標系xOy中,O為矩形ABCD的邊CD的中點,且OC=CB=4,H為AB的中點.對于任意的n∈N*且n≥2,將線段AH和AD分成n等份,設AH,AD上的分點為Mk和Nk(k=1,2,…,n-1),過AH上的分點Mk作與HO平行的直線lk,lk與直線ONk交于點Ak,利用對稱性作出Ak關于OH對稱的另一半的點,用光滑曲線把它們連接起來,得到曲線E(過坐標原點O).設T(0,-3),P為曲線E上的一個動點,則|PT|的最小值為.答案：1.B解析拋物線C的準線方程為y=-14,又點M在拋物線上且縱坐標為1,所以點M到C的焦點的距離為1-(-14)2.D解析拋物線方程可化為x2=12ay(a>0),由拋物線的焦點到準線的距離為1,可得14a=3.C解析由題得F(p2,0),設點P(x,y)為拋物線上一點,則由拋物線的定義知,|PF|=x+p2≥p2,所以1=p4.B解析設點A(xA,yA),由題意知點F(1,0),則|BF|=2.由拋物線的定義知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以yA2=4.所以|AB|=(x5.B解析由題意可得,拋物線x2=4y的焦點F(0,1),準線l:y=-1.設動點P與直線l,l1,l2的距離分別為d,d1,d2,點F到直線l1的距離為d3=|3×0-4×1-6|32+(-4)2=2,則d2=d+1=|PF|+1,可得d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,當且僅當點P在點F到直線l1的垂線上且點P在F與6.D解析由拋物線方程知p2=1,所以F(1,0).不妨設點A在第一象限,如圖所示直線CD與x軸交于點E,由|CD|=221,則|ED|=21,|EF|=2,所以圓的半徑r=(21)2+22=5,所以|AF|=5,由拋物線的定義可得xA+p2=5,所以xA=4,又因為點A在拋物線上,所以A(4,4),所以7.C解析由拋物線方程得焦點F(4,0),準線方程為x=-4,過點P作準線的垂線,垂足為N,因為點P在拋物線上,所以|PF|=|PN|,所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,當點Q固定不動時,P,Q,N三點共線,即QN垂直于準線時|PF|+|PQ|最小,即|QN|最小,又因為點Q在圓上運動,由圓的方程為(x-5)2+(y-1)2=1得圓心M(5,1),半徑r=1,所以當MN與準線垂直時,|QN|min=|MN|-r=8.8.D解析如圖所示,過點B作準線的垂線,垂足為D,設|BF|=a,則|BC|=2|BF|=2a,由拋物線的定義得|BD|=|BF|=a,在Rt△BCD中,可得sin∠BCD=|BD||BC|=12,所以∠BCD=30°,在Rt△ACE中,|AE|=3,可得|AC|=3+3a,由|AC|=2|AE|,所以3+3a=6,解得a=1.因為BD∥FG,所以1p=2a9.AB解析因為拋物線C:y2=8x(y>0)的焦點為F(2,0),所以A正確;由|PF|=4=xP+2,解得xP=2,所以yP=8xP=16=4,即點P的坐標為(2,4),取P(3,26),則|AP|+|AF|=1+(4-26)2+16+4=41-166+25,因為256×6-372=167>0,所以166>37,即40-166=(4因為直線AF的斜率為k=44-2=2,所以直線AF的方程為y=2(x-2),點P(x,y)到直線AF的距離為d=|2x-4-y|5,|AF|=16+4=25,若△PFA面積為92,則12×|2x-4-y|5×25=92,又2x=y24>0,所以14(y-2)2-5=92或14故選AB.10.x=-32解析∵PF⊥x軸,∴xP=xF=p2,將xP=p2代入y2=2px,得y=不妨設點P在x軸的上方,則Pp2,p,如圖,由條件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|11.237+3解析拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,如圖,因為d2=d1+3,且A(2,6)關于P的對稱點為B,所以|PA|=|PB|,所以d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3=2(|PF|+|PA|)+3≥2|AF|+3=2(2-1)2+62+3=237+3.當P為線段AF與拋物線的交點時,上式取等號,d1+d2+|AB|12.D解析因為M是PB的中點,O是AB的中點,所以AP∥OM,|OM|=12|AP|=2,截圓錐的平面平行于母線PA且過母線PB的中點M,故點O也在截面上,根據對稱性可知拋物線的對稱軸為OM,焦點在OM上,以M為原點,OM所在直線為x軸,截面上過點M的OM的垂線為y軸建立直角坐標系,設拋物線與底面的一個交點為E,則xE=|OM|=2,yE=|OA|=2.設拋物線方程為y2=2px(p>0),代入點E的坐標得4=2p×2,解得p=2,即該拋物線焦點(p2,0)到準線x=-13.A解析因為線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點,所以結合拋物線的對稱性可得AB與OP互相垂直平分,則四邊形OAPB為菱形.設點P(2t,0)且t>0,則直線l的方程為x=t,令l與x軸交于點H,又∠OAP=120°,則在Rt△OAH中,∠OAH=12∠OAP=60°,繼而可得|AH|=|OH|3=3t3,所以點A的坐標為(t,3t3),代入拋物線C:y2=8x,可得t23=8t,解得t=24,在Rt△OAH中,|OA|=2|AH|=214.C解析因為圓(x-2)2+(y+1)2=4的一條直徑與拋物線x2=2py(p>0)的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊,而拋物線x2=2py(p>0)的通徑與y軸垂直,所以圓(x-2)2+(y+1)2=4的這條直徑與x軸垂直,且圓的這條直徑的上端點就是拋物線通徑的右端點,因為圓(x-2)2+(y+1)2=4的圓心為(2,-1),半徑為2,所以該圓與x軸垂直的直徑的上端點為(2,1),即拋物線x2=2py(p>0)經過點(2,1),則4=2p,解得p=2.經檢驗p=2滿足題意.15.(0,0),(2,4)(答案不唯一,只要圓心坐標(a,b)滿足b2=8a即可)解析設所求圓心坐標為(a,b),圓x2+y2-4x+3=0化為(x-2)2+y2=1,其圓心為(2,0),半徑為1.由題意得,a+1=(a-2)2+b2-1,即a-(-2)=(a-2)2+b2,故圓心(a,b)到點(2,0)的距離和到直線x=-16.(1)解過點M作MA⊥l,垂足為A,連接FA,則|MA|=|FM|,因為∠xFM=60°,所以∠FMA=60°,△MFA為等邊三角形,故|FA|=|MA|=4.因為∠FAQ=30°,所以|FQ|=|FA|·sin30°=2,即p=2,故拋物線C的方程為y2=4x.(2)證明由(1)知拋物線C的焦點F(1,0),kFM=tan60°=3,直線FM的方程為y=3(x-1).由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,解得xM=3,xN=13,所以yM=23,yN=-233,點M坐標為(3,23),點E坐標為(-1,所以M,O,E三點共線.17.22解析由題意得D(-4,0),A(-4,-4),H(0,-4),Mn-1(-4n,-4),Nn-1(-4,-4n),