課時規(guī)范練41空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固練1.若AB∥A'B',BC∥B'C',且∠ABC=45°,則∠A'B'C'等于()A.45° B.135°C.45°或135° D.不能確定2.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA與O'A'的方向相同,則OB與O'B'()A.一定平行且方向相同B.一定平行且方向相反C.一定不平行D.不一定平行3.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn).若CD=2AB,EF⊥AB,則EF與CD所成的角為()A.30° B.45°C.60° D.90°4.(多選題)(2024·江蘇蘇州模擬)下列圖象中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個點(diǎn)共面的是()5.(多選題)(2024·河北邯鄲模擬)如圖,在空間四邊形ABCD各邊AB,BC,CD,DA上分別取點(diǎn)E,F,G,H,若直線EH,GF相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)P必在平面ABD內(nèi)B.點(diǎn)P必在平面CBD內(nèi)C.點(diǎn)P必在直線BD上D.直線FG與直線BD為異面直線6.在三棱錐P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分別是AB,PA,AC的中點(diǎn),則∠DEF=.7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABC1D1與平面A1BCD1的交線是所在的直線.8.(13分)如圖,已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c,l共面.綜合提升練9.(2024·重慶模擬)如圖是棱長為1的正方體的平面展開圖,則在這個正方體中,與直線CN所成角為π3的直線是(A.DE B.AB C.BF D.BN10.(多選題)如圖,在四面體ABCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點(diǎn),則下列說法中正確的有()A.M,N,P,Q四點(diǎn)共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為梯形11.如圖所示,圓錐的底面直徑AB=4,高OC=22,D為底面圓周上的一點(diǎn),且∠AOD=120°,則直線AD與BC所成角的大小為.12.(13分)(2024·陜西咸陽模擬)如圖,在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,B1C1,AB,BC的中點(diǎn).證明:(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)多面體EFB1-GHB是三棱臺.創(chuàng)新應(yīng)用練13.(2025·北京名校一輪復(fù)習(xí))如圖,在正方體AC1中,O是BD的中點(diǎn),A1C與截面BDC1交于P,那么C1,P,O三點(diǎn)共線,其理由是.答案：1.C解析因為AB∥A'B',BC∥B'C',且∠ABC=45°,所以∠A'B'C'=45°或∠A'B'C'=135°.2.D解析如圖,若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA與O'A'的方向相同,OB與O'B'不一定平行.3.A解析取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH,可知EH∥CD,FH∥AB,且EH=12CD,FH=12AB,則∠FEH是EF與CD因為EF⊥AB,所以在△EFH中,∠EFH=90°.由CD=2AB,可得HE=2HF,則sin∠FEH=HFHE=12,所以4.ABD解析對于A,如圖,分別連接PS,QR,AB,由題可得AB∥QR,因為P,S為所在棱的中點(diǎn),故PS∥AB,則PS∥QR,所以P,S,R,Q四點(diǎn)共面,故A正確;對于B,如圖,設(shè)E,F為所在棱的中點(diǎn),分別連接PS,SR,RF,FQ,QE,EP,PF,由正方體性質(zhì)易知SR∥PF,所以S,R,F,P四點(diǎn)共面,同理,R,F,Q,S四點(diǎn)共面,所以P,S,R,F,Q五點(diǎn)共面,故B正確;對于C,PQ?平面PQS,S∈平面PQS,S?PQ,R?平面PQS,所以四點(diǎn)不共面,故C錯誤;對于D,如圖,連接PQ,SR,由P,Q為所在棱的中點(diǎn)可得PQ∥AB,同理RS∥AB,故PQ∥RS,所以P,S,R,Q四點(diǎn)共面,故D正確.故選ABD.5.ABC解析因為EH?平面ABD,且P∈EH,所以P∈平面ABD,故A正確;同理,FG?平面CBD,且P∈FG,所以P∈平面CBD,故B正確;因為平面ABD∩平面CBD=BD,由基本事實3,得P∈BD,故C正確;FG∩BD=P,故D不正確.故選ABC.6.90°解析如圖,由題意知,DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC,或∠DEF+∠PBC=180°,所以∠DEF=90°.7.BD1解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B∈平面ABC1D1,D1∈平面ABC1D1,且B∈直線BD1,D1∈直線BD1,因此直線BD1?平面ABC1D1,同理,直線BD1?平面A1BCD1,所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.8.證明因為a∥b,所以a和b確定一個平面α,所以A∈α,B∈α.因為l∩a=A,l∩b=B,故l?α.又a∥c,所以a和c確定一個平面β.同理可證l?β.即l和a既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi),且l與a相交,故平面α,β重合,即直線a,b,c,l共面.9.A解析正方體的平面展開圖所對應(yīng)的幾何體,如圖所示,其中點(diǎn)E,F重合,連接BD.BN與CN所成角為∠BNC,而cos∠BNC=CNBN=23≠12,即∠BNC≠π3,故D錯誤;AB∥CD,則AB與CN所成角為∠NCD=π4,故B錯誤;BF∥CN,故C錯誤;DE與CN所成角為∠BED,而BE=BD=DE=210.ABC解析由題圖可知,在△ABC中,M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),所以MN∥AC,且MN=12AC,同理,在△ADC中,QP∥AC,且QP=12AC,所以MN∥QP,MN=QP,所以四邊形MNPQ為平行四邊形,故D錯誤;所以M,N,P,Q四點(diǎn)共面,故A正確;在△ABC中,由中位線定理得ME∥BC,同理,在△ABD中,由中位線定理得MQ∥BD,又因為∠QME和∠DBC的兩邊方向相同,所以∠QME=∠DBC,故B正確;同理可得∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,所以△BCD∽△MEQ,故C正確.故選11.60°解析如圖,延長DO交底面圓于點(diǎn)E,連接BE,CE,易證△AOD≌△EOB,所以AD=BE,∠ADE=∠DEB,所以AD∥BE,所以∠CBE即為異面直線AD與BC所成的角(或其補(bǔ)角).在△AOD中,AD=2OAsin60°=23,在Rt△BOC中,BC=OB2+O所以CB=CE=BE,所以△CBE為正三角形,所以∠CBE=60°,即直線AD與BC所成的角為60°.12.證明(1)連接AC,A1C1,如圖所示,在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∥AC,∵E,F,G,H分別為棱A1B1,B1C1,AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥A1C1,GH∥AC,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)∵A1C1≠AC,∴EF≠GH,且EF∥GH,∴四邊形EFHG為梯形.延長GE,HF,則GE與HF必相交,不妨設(shè)EG∩FH=P,∵GE?平面AA1B1B,∴P∈平面AA1B1B,∵HF?平面BB1C1C,∴P∈平面BB1C1C,又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,∴P∈BB1,∴GE,FH,B1B交于一點(diǎn).又平面EFB1∥平面GHB,∴多面體EFB1-GHB是三棱臺.C1,P,O是平面A1ACC1和平面BDC1的公共點(diǎn),所以它們共平面A1ACC1與平面BDC1的交線解析因為O是BD中點(diǎn),則O是AC中點(diǎn),故O∈平面A1ACC1,A1C與截面BDC1交于P,故P∈A1C,所以P∈平面A1ACC1,又