課時規范練32平面向量基本定理及向量坐標運算基礎鞏固練1.(2025·八省聯考,4)已知向量a=(0,1),b=(1,0),則a·(a-b)=()A.2 B.1 C.0 D.-12.(2024·江蘇蘇州期中)已知D是△ABC的邊BC上的點,且BC=3BD,則AD=()A.AB?AC C.23AB+3.(2024·廣東期中)已知向量a=(-1,2),b=(2,1-m),且a∥b,則m=()A.0 B.-2 C.-3 D.54.(2024·江蘇南京寧海中學校考)已知非零向量e1,e2不共線,如果AB=e1+e2,AC=-3e1+7e2,AD=2e1-3e2,則四點A,B,C,D()A.一定共線B.恰是空間四邊形的四個頂點C.一定共面D.肯定不共面5.已知向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示,用基底a,b表示c,則(A.c=2a-3b B.c=-2a-3bC.c=-3a+2b D.c=3a-2b6.(多選題)用下列e1,e2能表示向量a=(3,2)的是()A.e1=(6,4),e2=(9,6)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)7.(2024·山東濟寧模擬)已知平面向量a=(-1,2),b=(m,-3),若a+2b與a共線,則m=.8.已知在平面直角坐標系中,點P1(0,1),P2(2,5),當P是線段P1P2靠近P1的一個四等分點時,點P的坐標為.9.如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC和OB的交點P的坐標是.

10.(13分)(2024·北京期中)設e1,e2是兩個不共線的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求證:A,B,D三點共線;(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三點共線,求k的值.綜合提升練11.(2024·廣東珠海模擬)古希臘數學家帕波斯在其著作《數學匯編》的第五卷序言中,提到了蜂巢,稱蜜蜂將它們的蜂巢結構設計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結構,從而儲存更多的蜂蜜,提升了空間利用率,體現了動物的智慧,得到世人的認可.已知蜂巢結構的平面圖形如圖所示,則AB=()A.-32CE+5C.-23CE+512.(多選題)(2024·廣東佛山檢測)一個平行四邊形的三個頂點坐標分別是(5,7),(-3,5),(3,4),則第四個頂點的坐標可能是()A.(-1,8) B.(-5,2)C.(11,6) D.(5,2)13.(多選題)(2024·廣東中山期中)如圖,在△ABC中,D為BC的中點,AE=2EC,AD與BE交于點F,若CF=xAB+yAC,則下面對于x,y的描述正確的是()A.2x+3y=-1 B.2x-3y=1C.x-y=1 D.x+y=-114.(2024·四川自貢期末)如圖,在平面四邊形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC,點E在線段BC上滿足BE=12EC,若AC=λAD+μAE(λ,μ∈R),則15.(2024·江西贛州模擬)在平行四邊形ABCD中,點E,F分別滿足DC=2DE=4EFBC=2BG,若AF=λAE+μAG,則λ+μ=.16.(13分)(2024·江西南昌模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F,G是AD,BC的三等分點.其中AF=23AD,BG=23BC,設AB=a,AD=(1)用a,b表示EF,(2)如果|a|=43|b|,用向量的方法證明:EF⊥EG創新應用練17.(多選題)(2024·河北保定期末)設Ox,Oy是平面內相交的兩條數軸,其中∠xOy=θ(0<θ<π且θ≠π2),e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若平面向量a滿足a=xe1+ye2,則有序數對(x,y)稱為向量a在“仿射”坐標系xOy下的“仿射”坐標,記作a=(x,y)θ,則下列命題中是真命題的是(A.已知a=(2,3)π3,則|a|=B.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,則a+b=(x1+x2,y1+y2)θC.已知a=(-1,2)π3,b=(2,1)π3,則a·bD.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,若a∥b,則x2·y1=x1·y2答案：1.B解析∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故選B.2.C解析因為BC=3BD,所以AC?AB=3(所以AD3.D解析向量a=(-1,2),b=(2,1-m),且a∥b,則有-1×(1-m)=2×2,解得m=5.故選D.4.C解析因為非零向量e1,e2不共線,所以AC+2AD=(-3e1+7e2)+2(2e1-3e2)=e1+e2=AB,由平面向量基本定理可知,四點A,B,C,D共面.5.D解析建立如圖所示的平面直角坐標系,設正方形網格的邊長為1,則A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),所以a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3).設向量c=ma+nb,m,n∈R,則c=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,-3),所以m-2n=7,m+3n=-3,解得m6.AB解析可用e1,e2能表示向量a=(3,2),有兩種可能:要么e1∥e2∥a,要么e1,e2不共線.A選項中,滿足e1∥e2∥a,正確;B選項中,(-1)×(-2)≠2×5,e1,e2不共線,能構成一組基底,所以能表示平面內包括a的任意向量;C,D選項中,都有e1∥e2,但都不與a平行,所以無法用e1,e2表示a.故選AB.7.32解析a=(-1,2),b=(m,-3),則a+2b=(-1+2m,-4),又(a+2b)∥a,故4=2(-1+2m),解得8.(12,2)解析因為P是線段P1P2靠近P1的一個四等分點,所以P設P(x,y),則有(x,y-1)=14(2,4)?x=14×9.(3,3)解析設P(x,y),則OP=(x,y),因為OB=(4,4),且OP與OB共線,所以x4=又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP與AC共線,則得(x-4)·6-y·(-2)=0,解得x=y=3,所以點P的坐標為10.(1)證明由已知得BD=CD?CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD.又∵AB與BD有公共點B,∴A,B,(2)解由(1)可知BD=e1-4e2,∵BF=3e1-ke2,且B,D,F三點共線∴BF=λBD(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,即λ=3,11.B解析以D為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系.不妨設AD=2,則A(-1,3),B(5,53),D(0,0),E(9,3),C(0,43),故AB=(6,43),CE=(9,-33),DE=(9,3).設AB=xCE+yDE,則6=9解得x=-5612.ABC解析設點A(5,7),B(-3,5),C(3,4),設第四個頂點為D(x,y),分以下三種情況討論:①若四邊形ABDC為平行四邊形,則AC=BD,即(-2,-3)=(x+3,y-5),即x+3=-2,y-5=-3,解得x=-5,y=2,此時,點D的坐標為(-5,2);②若四邊形ABCD是平行四邊形,則AD=BC,則(x-5,y-7)=(6,-1),即x-5=6,y-7=-1,解得x=11,y=6,此時,點D的坐標為(11,6);③若四邊形ACBD為平行四邊形,則AD=CB,即13.AC解析CF=xAB+yAC=x(CB?CA)+yAC=xCB-(x+y因為AE=2EC,所以CA=3CE,即CF=xCB-3(x+y)CE,由F,B,E三點共線,所以x-3(x+y)=1,即2x+3y=-1,故A正確;又D為BC的中點,所以CB=2CD,即CF=2xCD-(x+y)CA,由F,D,A三點共線,所以2x-(x+y)=1,即x-y=1,故C正確;則由2x+3y=-1,x-y=1,解得x+y=-15,故D錯誤.故選AC14.334解析如圖,以A為坐標原點,以直線AB為x軸,以過點A垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系.不妨設AB=BC=2,則有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,23),AC=22,又∠ACD=30°,所以AD=ACtan過點D作DF垂直x軸于點F,易知∠DAF=45°,則DF=263sin45°=所以D(-233,233).則AC=(2,2),AD=(-233,因為AC=λAD+μAE,所以(2,2)=λ(-233,233所以-23則λμ的值為315.76解析以{AB,AD}為基底向量,則可得AF=AD+DF=34AB+AD,AE=AD+DE=12AB+AD,AG=AB+BG=AB+12AD.因為AF=λAE+μAG,即AF=λAE+μAG16.(1)解由題意得EF=AF?AE=23AD?12AB=-(2)證明由(1)得EF·EG=(-12a+23b)·(12a+23b)=-14a2+49b2=-14×(43|b|)217.BD解析對于A,a=(2,3)π3,則a=2e1+3e2,所以|a|=(2e1+3e2)2=4e12+9e22+12e1·e2=4+9+12×1×1×cosπ3=19,故A錯誤;對于B,已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,則a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b=(x1+x2)對于C,a=(-1,2)π3,b=(2,1)π3,則a=-e1+2e2,b=2e1+e2,所以a·b=(-e1+2e2)·(2e1+e2)=-2|e1|2+2|e2|2+3|e1|·|e2|cosπ3=-2+2+3×1×1×cosπ3=32,故C錯誤;對于D,a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,則a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2