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第3課時利用導數研究函數的零點高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026考點一判斷函數零點或方程根的個數考向1

利用單調性和函數零點存在定理確定零點個數例1(2024·福建寧德模擬)已知函數f(x)=ex-4sinx,其中e為自然對數的底數.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)證明:f(x)在[0,+∞)上有兩個零點.(1)解

因為f(x)=ex-4sin

x,所以f'(x)=ex-4cos

x,則f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切線方程為y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.

(1)解

當a=e2-2時,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2.令f'(x)>0,得x>ln

2;令f'(x)<0,得x<ln

2,所以f(x)在[0,ln

2]上單調遞減,在[ln

2,2]上單調遞增,又f(0)=1,f(ln

2)=2-2ln

2,f(2)=e2-4>1,所以f(x)在[0,2]上的最小值為2-2ln

2,最大值為e2-4.

[對點訓練2](2024·重慶巴蜀期末)已知函數f(x)=ax-lnx-2.(1)當a=1時,求函數f(x)的極值;(2)討論函數f(x)的零點個數.

考點二已知函數零點個數求參數的取值范圍例3(12分)(2024·江蘇常州模擬)已知函數f(x)=1+lnx+2ax(a∈R).(1)討論函數f(x)的單調性;突破口:結合定義域對a分類討論.(2)若f(x)存在兩個零點,求a的取值范圍.關鍵點:先結合(1)中函數單調性得到最值,確定參數a的取值范圍,然后借助零點存在定理進行推理驗證.審題指導:(1)確定函數定義域,求導后,從x>0入手,分類討論f'(x)>0解的情況,從而確定函數單調性;(2)首先由(1)中函數的單調性得到函數最值,確定參數a的取值范圍,然后再尋找恰當的區間端點,根據零點存在定理確定參數的取值范圍.

[對點訓練3](12分)(2024·遼寧錦州模擬)已知函數f(x)=x3-alnx.(1)當a=1時,求函數f(x)的極值;(2)函數f(x)在區間(1,e]上存在兩個不同的零點,求實數a的取值范圍.

考點三可化為函數零點的參數問題例4(2023·北京,20)設函數f(x)=x-x3eax+b,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)設函數g(x)=f'(x),求g(x)的單調

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