四、機(jī)械能守恒定律圖8.1-1物體在力F的作用下發(fā)生位移lW=Flcosα圖8.1-2力做功的幾種情況(1)α=π2，力不做功，W(2)0≤α<π2，力做正功，W(3)π2<α≤π，力做負(fù)功，W圖8.1-4汽車上坡時必須使用低速擋根據(jù)P=Fv，汽車上坡要使用低速擋提高牽引力。圖8.2-7重力所做的功為WG=mgl1cos(π2-θ1)=mgl1sinθ1=mgh同理可證，在傾角為θ2、θ3的斜面上，重力所做的功都等于mgh，故重力做的功與斜面傾角無關(guān)。圖8.2-4研究物體沿曲線運(yùn)動時重力做的功WG=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+…=mg(Δh1+Δh2+Δh3+…)=mgΔh=mgh1-mgh2即物體通過整個路徑時重力做的功，等于重力在每小段上做的功的代數(shù)和。圖8.2-5重力勢能與參考平面的選取有關(guān)對選定的參考平面而言，上方物體的高度是正值，重力勢能也是正值；下方物體的高度是負(fù)值，重力勢能也是負(fù)值。負(fù)值的重力勢能，表示物體在這個位置具有的重力勢能要比在參考平面上具有的重力勢能小。說明：選擇不同的參考平面對重力勢能變化量沒有影響。圖8.3-1物體在恒力作用下運(yùn)動質(zhì)量為m的某物體在光滑水平面上運(yùn)動，在與運(yùn)動方向相同的恒力F的作用下發(fā)生一段位移l，速度由v1增加到v2。恒力F做的功W=Fl，根據(jù)牛頓第二定律，有F=ma結(jié)合l=v可得F做的功W=12mv22-W=Ek2-Ek1力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。這個結(jié)論叫作動能定理。說明：動能定理也適用于變力做功和曲線運(yùn)動的情況圖8.4-3物體沿光滑曲面滑下由動能定理知W=12mv22-另一方面，W=mgh1-mgh2聯(lián)立可得mgh1-mgh2=12mv22-移項(xiàng)后得到12mv22+mgh2=12m在只有重力或彈力做功的系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。這叫作機(jī)械能守恒定律。圖8.4-8A球質(zhì)量為3m，B球質(zhì)量為m，用手托住B球，輕繩剛好被拉緊時，B離地面高度為h，從釋放B球到B球剛好落地，系統(tǒng)減小的重力勢能為ΔEp=3mgh-mgh=2mghA、B兩球速度相等，系統(tǒng)增加的動能為ΔEk=12(m+3m)v2=2mv由機(jī)械能守恒ΔEp=ΔEk，得2mgh=2mv2解得v=gh。圖8.4-9小球由位置A至位置B(此時彈簧正好處于自由狀態(tài))過程中，在到達(dá)最大速度之前彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球的動能和重力勢能，當(dāng)彈簧對小球向上的彈力大小與重力大小相等時，小球的動能最大。之后，彈性勢能和小球的動能轉(zhuǎn)化為小球的重力勢能，當(dāng)彈簧恢復(fù)到自然長度時，彈性勢能為0。小球由位置B至位置C時，彈簧的彈性勢能為0，小球與彈簧沒有能量轉(zhuǎn)化。圖8-4(1)單位時間內(nèi)沖擊風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片圓面的氣流的體積：V=πr2vt(2)單位時間內(nèi)沖擊風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片圓面的氣流的動能Ek=12mv2=12(3)風(fēng)力發(fā)電機(jī)能把10%空氣動能轉(zhuǎn)化為電能此風(fēng)力發(fā)電機(jī)發(fā)電的功率P=10%E圖8-5斜面的高度為h。一小木塊從斜面的頂端由靜止開始滑下，滑到水平面上的A點(diǎn)停下。已知小木塊與斜面、水平面間的動摩擦因數(shù)為μ。設(shè)斜面底端到A點(diǎn)的距離為s，s=x-h則根據(jù)動能定理，有WG+Wf=0即mgh-(μmgs+μmgcosθhsinθ)兩式聯(lián)立，解得x=hμ，所以x與斜面傾角θ的大小無關(guān)圖8-7輕質(zhì)動滑輪下方懸掛重物A、輕質(zhì)定滑輪下方懸掛重物B，懸掛滑輪的輕質(zhì)細(xì)線豎直。開始時，重物A、B處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后A、B開始運(yùn)動。已知A、B的質(zhì)量相等，阻力均忽略不計(jì)。根據(jù)滑輪的特點(diǎn)，B的速度是A的速度的2倍，當(dāng)A上升h時，B下降2h，設(shè)這時A的速度為v，設(shè)A、B的質(zhì)量都是m。在這個過程中，系統(tǒng)減小的重力勢能為ΔEp=mgh，系統(tǒng)增加的動能為ΔEk=12mv2+12m(2v)2=5由機(jī)械能守恒ΔEp=ΔEk，得mgh=52mv所以A的速度為v=2gh1.功的計(jì)算(1)功的定義式：W=Flcosα適用于求恒力做功。(2)變力做功的計(jì)算①用動能定理W=12mv22-1②用F-l圖像中圖線與橫軸所圍的面積求功。③用平均力求功(力與位移成線性關(guān)系，如彈簧的彈力)。④利用W=Pt求功。⑤用轉(zhuǎn)換法求功：將變力做功轉(zhuǎn)變?yōu)楹懔ψ龉Α?.功率的計(jì)算(1)P=Wt(2)P=Fvcosα，若v為瞬時速度，則P為瞬時功率；若v為平均速度，則P為平均功率。3.機(jī)車啟動問題(1)兩種機(jī)車啟動方式比較兩種方式以恒定功率啟動以恒定加速度啟動P-t圖像和v-t圖像OA段過程分析v↑?F=P額v↓?a=F-F阻=ma?v=at運(yùn)動性質(zhì)加速度減小的加速直線運(yùn)動勻加速直線運(yùn)動，維持時間t0=vAB段過程分析F=F阻?a=0?vm=Pv↑?F=P額v↓?a=運(yùn)動性質(zhì)以vm做勻速直線運(yùn)動加速度減小的加速運(yùn)動BC段無F=F阻?a=0?以vm=P額(2)機(jī)車啟動類問題中的“臨界點(diǎn)”①全程最大速度的臨界點(diǎn)為：F阻=P額②在勻加速啟動過程中的某點(diǎn)有：P1v1-F阻=③勻加速運(yùn)動的最后臨界點(diǎn)P1v1m-F阻=ma1；此時瞬時功率P1等于額定功率④在變加速運(yùn)動過程中的某點(diǎn)有：P額v2-F阻=4.功能關(guān)系及應(yīng)用(1)常見的功能關(guān)系能量功能關(guān)系及表達(dá)式勢能(1)重力做功等于重力勢能減少量(2)彈力做功等于彈性勢能減少量(3)靜電力做功等于電勢能減少量(4)分子力做功等于分子勢能減少量W=Ep1-Ep2=-ΔEp動能合外力做功等于物體動能變化量W=Ek2-Ek1=12mv2-12機(jī)械能除重力和彈力之外的其他力做功等于機(jī)械能變化量W其他=E2-E1=ΔE摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能一對相互作用的滑動摩擦力做功之和的絕對值等于產(chǎn)生的內(nèi)能Q=Ff·s相對電能克服安培力做功等于電能增加量W克安=E2-E1=ΔE(2)功能關(guān)系與圖像的結(jié)合功能關(guān)系常涉及的幾種圖像①F-x圖像：F-x圖線與橫軸圍成的面積表示力F做的功。②Ek-x圖像：Ek-x圖線的斜率表示合外力。③E機(jī)-x圖像：E機(jī)-x圖線的斜率表示重力和彈力以外的其他力。④P-t圖像：P-t圖線與橫軸圍成的面積表示功。5.動能和動能定理(1)動能：Ek=12mv2(2)動能定理：W=12mv22-16.重力勢能和彈性勢能(1)重力勢能：Ep=mgh。(2)重力做功與重力勢能變化的關(guān)系：WG=Ep1-Ep2=-ΔEp。(3)彈性勢能：發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢能。(4)彈性勢能與彈力做功的關(guān)系：W彈=-ΔEp。①彈力做負(fù)功，彈性勢能增大，其他形式的能轉(zhuǎn)化為彈性勢能。②彈力做正功，彈性勢能減小，彈性勢能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。7.機(jī)械能守恒定律(1)機(jī)械能守恒定律的條件及表達(dá)式①研究對象：單個物體或系統(tǒng)。②守恒條件：a.只有重力或者彈力做功；b.物體(或系統(tǒng))只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化。(2)判斷機(jī)械能守恒的兩種方法①若只有物體重力和彈簧彈力做功，則物體和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。②若系統(tǒng)內(nèi)部只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，沒有其他形式的能(如內(nèi)能)與機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化，且系統(tǒng)與外部也沒有能量的轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(