（1）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；（2）當時，試比較與1的大?。籮(x)=(x-1)2+?mnxj(x)=(x-1)2+?mnxb(Ⅰ)當f(x)時，判斷函數在定義域上的單調性；f(x)(Ⅱ)若函數的有極值點，求的取值范圍及的極值點；(Ⅲ)當且時，求證：．xcy3、在平面直角坐標系中，已知橢圓xcy.如圖所示，斜率為且不過原線.于點線.兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直(Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)若i）求證：直線過定點；（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.二、計算題二、計算題評卷人得分4、設函數的圖象在點(x,(x處的切線的斜率為，且函數為偶函數．若函數滿足下列條件：①;②對一切實數，不等式恒成立．(Ⅰ)求函數的表達式；(Ⅱ)求證y=(x)(2,產2（2）若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為y=(x)(2,產2時，函數時，函數：．6、已知函數f(x)=，.使得成立.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；y=F(x)(Ⅲ)給出如下定義：對于函數圖象上任意不同的兩點y=F(x)y=F(x)總能使得于函數圖象上的點y=F(x)總能使得是不是具成立，則稱函數具備性質“”，試判斷函數是不是具備性質“”，并說明理由.7、已知函數(Ⅰ)若函數是定義域上的單調函數，求實數的最小值；(Ⅱ)方程有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍；(Ⅲ)在函數的圖象上是否存在不同兩點，線段AB的中點的橫坐標為，有成立？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．⑵若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為45o，對于任意的，函數在區間上總不是單調函數，求m的取值范圍；9、已知正方形的中心在原點，四個頂點都在函數f(x)=ax2+bx(a>0)圖象上．9、已知正方形（1）若正方形的一個頂點為，求，的值，并求出此時函數的單調增區間；（2）若正方形唯一確定，試求出的值．y=(x)y=(x)x+2y-3=0x+2y-3=011、設函數f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅱ)求函數f(x)的極值點；(Ⅲ)證明對任意的正整數n,不等式ln)都成立.截12、如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長。(Ⅰ)求，的方程；(Ⅱ)設交與D,E.與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB(Ⅱ)設交與D,E.(i)證明：MD⊥ME;(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是,.問：是否存在直線l,使得=?(2)直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上)，分別過A、B點作直線的垂線，對應的垂足分別為MN，試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況)；使成立．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．進一步思考問題：若上述問題中直線、點、曲線C：,則使等式成立的的值仍保持不變．請給出或證明)．14、如圖，在x軸上方有一段曲線弧r，其端點、在x軸上（但不屬于r對r上任一點P及點滿足直線AP，BP分別交直線:x=a(a>于R，r兩點．（2）求的最小值（用a表示r上是否存點P，使APRT為正三角形？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說(對=ax(對=ax?+bx2-q2x(a>0)f(x)(Ⅰ)求函數的單調區間；f(x)恒成立，求實數的取值范圍．17、已知函數y=f(?在x=1和x=3（1）若曲線處的切線平行，求a的值；y=f(?在x=1和x=3g(x)=x2-2x,（3）設是否存在實數a，對g(x)=x2-2x,均成立；若存在，求a的取值范圍；若不存在，18、已知函數圖象的對稱中心為且f),（1）求fr)的解析式；（2）設T()=f+m，若有三個零點，求實數m的取值范圍；（3）是否存在實數，當時，使函數在定義域[a,b]上的值域恰為[a,b]，若存在，求出k的范圍；若不存在，說明理由.f(x)=2lnx-x2(x>0)f(x)=2lnx-x2(x>0)（1）若方程在區間內有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍；（2）如果函數的圖像與x軸交于兩點，且20、已知函數f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．（1）當a＞1時，求證：函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增；21、已知函數處取得極小值，其圖象過點A（0，1），且在點A處切線的斜率為—1。(Ⅱ)設函數上的值域也是,則稱區間[%,]為函數gx)的“保值區間”。證明：當x>時,函數"(對不存在“保22、已知函數（1）求證函數上的單調遞增；（3）對恒成立，求a的取值范圍。x>Q,常數aER23、已知函數x>Q,常數aER(Ⅰ)若函數上有極值，求的取值范圍；(Ⅱ)若函數f(x)在[1,+co)有最大值（其中。為無理數，約為2．71828）,(Ⅲ)若函數有極大值24、已知函數。（1）若函數在區間上存在極值，其中a>0，求實數a的取值范圍；（2）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(Ⅰ)討論的單調性；gx)(Ⅱ)若在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；gx)(Ⅲ)設函數A(x)=x2-%x+4,當az2時，若，WXZE[1,2]，總有成立，求實數的取值范圍．（1）求函數f(x)的單調區間；（2）設m>0，求在[m，2m]上的最大值；（3）試證明：對任意N+，不等式＜恒成立．27、已知函數（2）設x>0，求證：；28、已知二次函數g(x)對YXER都滿足g(x-l)+g(1-對=x2-2x-1且g(0=-1，設函數g(x)(Ⅰ)求的表達式；g(x)3XE民(Ⅱ)若3XE民(Ⅲ)設求證：對于，恒有.29、已知函數(1)求(?在[0,1]上的極值;不等式求實數的取值范y=(x)+2x-在[Q,1]上恰有兩個不同的零點,y=(x)+2x-在[Q,1]上恰有兩個不同的零點,求實數b的取植范圍。30、已知函數(Ⅰ)若函數是定義域上的單調函數，求實數a的最小值；(Ⅱ)在函數的圖象上是否存在不同兩點，線段AB的中點的橫坐標為，直線AB的斜率為，有成立？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．31、已知函數(x?=ax+xlnx的圖象在點（為自然對數的底數）處的切線斜率為3．⑵若，且對任意恒成立，求的最大值；⑶當時，證明．32、已知函數在點的切線方程為.(Ⅰ)求函數的解析式；g(對=lnxg(對=lnx(Ⅲ)已知，求證：.f(x?=lnf(x?=lnx-x2-bx.（1）若，函數在其定義域內是增函數，求的取值范圍；f(x)f(x)參考答案一、綜合題,令i")-0，得函數re在、ee上單調遞增，在上單調遞減．……………4分,極小值是的極大值是,極小值是當gx)僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分,定義域為在上是增函在①當x>1時即；②當時即；③當f(x)=1時即．…………………9f(x)=1（3）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．……………14分,,即時命題成立．………………10分設當時，命題成立，即．.,即根據（2）的結論，當,即則有，即時命題也成立．……………13分…………14分因此，由數學歸納法可知不等式成立．………………14分（法三）如圖，根據定積分的定義，.分ln(2x+1)<ln(82+2x+1)ln(2x+1)<ln(82+2x+1).【說明】本題主要考查函數導數運算法則、查分類討論思想和數形結合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創新意識．2、解：（1）由題意知，的定義域為，當時函數在定義域上單調遞增．（2）①由(Ⅰ)得，當f(x)時，函數無極值點．f(x)②時，有兩個相同的解，時，函數在上無極值點．此時，隨x在定義域上的變化情況如下表：減增減增由此表可知：時，有惟一極小值點，增減增增減增由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點;當且僅當時有極值點;當時，有惟一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點b=-1f(x)=(x-1)2-mnb=-1f(x)=(x-1)2-mnx此時有惟一極小值點且?(x)=(x-1)-ln?(x)=(x-1)-lnx(x>)3、【解析】(Ⅰ)由題意:設直線,(1+3)x2+6?sx+32-3=0(1+3)x2+6?sx+32-3=0E,則由韋達定理得:=,即E,,所以中點E的坐標為,解E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即,解E得,所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.(Ⅱ)（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,又因為,,又由(Ⅰ)知:,即有,令,又由(Ⅰ)知:,即有,令得,y=0,與實數k無關,所以直線過定點(-1,0).（ii）假設點，關于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,由（i）知點G(,所以點B(,又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為，又因為，所以解得或6，又因為點B，關于X軸對稱,此時,圓半徑為，圓的方程為.綜上所述,的外接圓的方程為.二、計算題4、(Ⅰ)解：由已知得：k(x)=j"(?=zx2+bxk(x)=j"(?=zx2+bx+c由為偶函數，得為偶函數，顯然有. 2分 3分又因為對一切實數x恒成立，即對一切實數，不等式恒成立．…………4分顯然，當時，不符合題意．…………5分注意到，解得所以.………8分(Ⅱ)證明：因為，所以成立,要證不等式成立,.分………9分…………10所以.……………所以……………分),5、解1）分),當a<0時，的單調增區間為,減區間為(0,1]；…………3分當時，不是單調函數…………4分y=(x)2,產2（2）因為函數y=(x)2,產2所以，所以……………..…6分g'(?)=3x2+(4+%2)x-2…….……7分要使函數(2,在區間上總存在極值，所以只需(2,分解得………10分⑶令az-1此時式?=-lhx+x-3，所以f()--2，由⑴知式?=-lhx+x-3在1,+)上單調遞增，∴當∵,則有，∴…………g'(x)=g*-g-*=g?*(1-x)g'(x)=g*-g-*=g?*(1-x):g(x)0,1][1,e)g(0)=0,g(l)=1,g(e)=g2-">0間上單調遞減,且[1,e)g(0)=0,g(l)=1,g(e)=g2-">0(0,1]的值域為………………3分(0,1]XE(Q,1]XE(Q,1]XE(Q,1]XE(Q,1][1,e]f(x)[1,e][1,e]f(x)[1,e]f(x)[1,e]f(x)[1,e]f(x)[1,e]f(x)[1,e]由上可得，此時必有的最小值小于等于0而由綜上，滿足條件的a不存在?！?.8分(Ⅲ)設函數具備性質“”，即在點處的切線斜率等于，不妨設，斜率為，故有………………10分,令，則上式化為，………………12分令，則由可得在上單調遞增，故，即方程f(x)無解，所以函數不具備性質f(x)“”.……14分7、解(Ⅰ)若函數fr)在上遞增，則成立，而當x>0時，對x>0恒成立，即對x>0恒若函數fr)在上遞減，則對x>0恒成立，即對x>0恒成立，這是不可能的．綜上，a21.a的最小值為(Ⅱ)解1、由令所以在所以要使與有兩個不同的交點，則有……………8分(Ⅲ)假設存在，不妨設分,即.>0．∴在上增函數，∴,∴（*）式不成立，與假設矛盾．∴因此，滿足條件的不存所以函數的圖象在點y=x-l處的切線方程為，…………2分y=x-l得,由,得得,由,得⑵因為，則只要解得b>2，所以b的取值范圍．………………8分⑶不妨設．因為函數在區間函數圖象的對稱軸為x=b，且b>1，(ⅰ)當時，函數在區間上是減函數，所以，時，函數所以等價于，等價于等價于等價于所以；………………………10分(ⅱ)當1<b<2時，函數在區間上是減函數，在上為增函數．等價于，等價于在區間上是增函數，等價于在區間上恒成立，所以1<b<2；……………12分等價于，等價于在區間上是增函數，所以，故．………………14分則存在，使恒成立；或存在，使恒成立．綜上，b的取值范圍是．……………………16分由于直線的斜率為,且過點，故即解(Ⅱ)由(Ⅰ)知，所以。,則考慮函數,則。,故,由知，當時，。而當x（1，+）時，h（x）<0，可得h（x）>0（ii）設0<k<1.由于當x（1時k-1x2+1）+2x>0，故)時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設（iii）設k1.此時（x）>0，而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾。解2）由（1）知．為去分母，故分x>1與0<x<1兩種情況討論：x(x-l}lnx+x2-1>x(x+l)lnx(x-l}lnx+x2-1>x(x+l)lnx即即需證1）由x>1得，所以在（1，+）上為減函數．又因g（1）=0所以當x>1時g（x）<0即（1）式成立．同理0<x<1時，需證（2）而由0<x<1得，所以在（0，1）上為增函數．又因g（1）=0所以當0<x<1時g（x）<0即（2）式成立．綜上所證，知要證不等式成立．點評：抓住基本思路，去分母化簡問題，不可死算．g(x)=2x2+2x+bgx)g(x)=2x2+2x+bgx)上遞增，在.在上恒成立.:f"(x)>0,f(x)f-1,+o)時,函數在定義域上單調遞增。f(x)f-1,+o)（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當時函數無極值點.時，函數在上無極值點。（3）當時，解得兩個不同解，.此時在(-1,co)上有唯一的極小值點.都大于0，s't在上小于0，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，st)在(-1,co)上有唯一的極小值點;時，有一個極大值點和一個極小值點;f(x)(-1,+o)時，函數在f(x)(-1,+o)j(x)=x2-ln(x+l).在時，恒有.上單調遞增，當在時，恒有.時，有ln(x+1)>x2-對任意正整數，取得依據題意，有化簡得.3分因此，動點P所在曲線C的方程是…………4分(2)點F在以MN為直徑的圓的外部．理由：由題意可知，當過點F的直線的斜率為0時，不合題-意，故可設直線如圖所示．5分聯立方程組，可化為(2+2)y2-2xgy-1=0，則點的坐標滿足點與圓的位置關系，可以比較點到圓心的距離與半徑的大小來判斷，也可以計算點與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來加以判斷．于是，為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外(3)依據(2)可算出，則.所以，，即存在實數使得結論成對進一步思考問題的判斷：正14、解：（1）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，.……………1分∴的方程為.……………3分（2）解法1：由（1）知，曲線的方程為，設，①………………4分A(-,,0)A(-,,0)AP,P,從而直線的方程為AP,PAPBP：……………5分;.分……②………7.當且僅當，即時，取等號．即的最小值是.……………9分同理，由三點共線得：…②…5分由①×②得：...即.…………7分當且僅當，即時，取等號．即的最小值是.………………9分（3）設，依題設，直線∥軸，若APRT為正三角形，則必有分,…………………10AP,PKZAP,PKZ分;……………于是有分∴不存在點P,使APR?為正三角形．……………14分注:如上各題若有其它解法，請評卷老師酌情給分.f"(x)=3ax2+x-q2(a>0)f"(x)=3ax2+x-q2(a>0)解得．∴f(x)=5x?-9x2-36x．-------------------4分(2)∵是函數的兩個極值點，∴f"(x)="(x∵,∴對一切恒成立,∴令,∴,∴令,∴A'(a)=-9z2+36zA'(a)=-9z2+36z當時∴在(4，6)內是減函數．∴當時，有極大值為96，∴在上的最大值是96，∴的最大值是．---------------------------------------8分∴.-------------------------------12分(0,+co)(0,+co)分...............2分故函數分1,3的單調遞增區間是；單調遞減區間是1,3（II）若對任意xe(0,2)，xze[1,2]，不等式恒成立，分上，上，是函數極小值點，這個極小值是唯一的極值點，故也是最小值點，所以分分分解得或或.................18、解18、解1）j(x)=x3-3x2+2 4分:……7分f"(x)=3x2-6xf"(x)=3x2-6xg(x)=x2-2x+k,①當時，在…9分…11分…14分綜上得：…15分分單調遞----3分∴當x=1時，有極大值，也是最大值，即為-1，但無最小值。故的單調遞增區間為，單調遞減區間為；最大值為-1，但無故方程化為----f(g)=2-g2。故在區間上有兩個不等實根需滿足∴,∴實數m的取值范圍為（2）∵,又有兩個實根，∴----于是.要證：g'(px+qxz)<0，只需證：．.(*)令，∴(*)化為-----11分∴u'（t）>0,∴u（t）在（0，1）上單調遞增，∴u（t）<u（1）=0.............13分20、解1……………3分故函數在上單調遞增．…………5分故有唯一解．…………………7分x,"(對,產對所以的變化情況如下表所示：x,"(對,產對0x(-co,0)00-0++又函數有三個零點，所以方程有三個根，而,所以,解得而,所以,解得xe[-1,1]所以當時………11xe[-1,1][-1,0][Q,1][-1,0][Q,1]所以當xe[-1,1]時………12分所以在上單調遞增．當時……………14分①當a>1時，由；②當時，由．綜上可知，所求。的取值范圍為．…………………16分21、解1）由j(x)的解析式為f"(?)=(x2-2x+1jg*.所以………………4分j(x)的解析式為f"(?)=(x2-2x+1jg*.（2）由（1）得，x>時(對①假設當存在“保值區間”x>時(對于是問題轉化為有兩個大于1的不等實根。…………6分A(x)=(x-12g"-x(x?1)現在考察函數，A(x)=(x-12g"-x(x?1)………… +0 +23、（1）在（1，3）上有解，且，分離參數法，,得。時，函數上單調遞減，所以由,得時，函數有最大值j(x)在[1,x][,月j(x)在[1,x][,月由極大值，得(※),代入(※)得(x)在(2,+co)所以函數上單調遞增，而(x)在(2,+co)所以,所以時，函數有極大值24、解：（1）因為當x>1時,fy(x)<,x>1時,fy(x)<,式x)在(0,1(1,+oo)函數處取得極大值。因為函數,解得?！?分（2）不等式記[A(x]從而上也單調遞增，所以?！?分（3）由（2）知：當令則所以。則所以………………14分分①當a20時在上單調遞增；----------------2分故在上單調遞減，在上單調遞增．------4分----------------5分g(x)因為在其定義域內為增函數，所以g(x)所以---------------6分(Ⅲ)當時g'(x)=0g'(x)=0當時，g'(x)之。；當所以在上，----------------8分而“總有成立”等價于“g(x)在(0,上的最大值不小于在[1,2]上的最大值”所以有---------------10分所以實數的取值范圍是---------------------------12分(,+27、解：（1）定義域為，由(,+………………令故的增區間減區間：……5分令(0,2↓,(2,+o)T(0,2↓,(2,+o)T,令，得x=2，且故當x>0時，有得證……10分（3）由（2）得，即所以則…………14分28、解：(Ⅰ)設g(r)-r"tbte，于是所以當m>0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；…………4分當m=0時，對wx>0恒成立；…………5分x--減0