普通高等學校招生考試數學試題北大附中廣州實驗學校王生PAGEE-mail:wangsheng@第1頁（共14頁）1997年普通高等學校招生全國統一考試

數學（理工農醫類）

第Ⅰ卷（選擇題共65分）注意事項:

1.答第Ⅰ卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.

2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再

選涂其它答案,不能答在試題卷上.

3.考試結束,監考人將本試卷和答題卡一并收回.

一.選擇題:本大題共15小題;第(1)—(10)題每小題4分,第(11)—(15)題每小題5分,共65分.在每小題給

出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

(1)設集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=

(A)｛x│0≤x<1｝(B)｛x│0≤x<2｝

(C)｛x│0≤x≤1｝(D)｛x│0≤x≤2｝

(2)如果直線ax+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行,那么系數a=

(A)-3(B)-6(C)-3/2(D)2/3

(A)(B)(C)(D)

(4)已知三棱錐D-ABC的三個側面與底面都相等,且AB=AC=,則以BC為棱,以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是

(A)arocos(/3)

(B)arccos(1/3)(C)π/2

(D)2π/3

(5)函數y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是

(A)π/2(B)π(C)2π(D)4π

(6)滿足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范圍是

(A)[-1,-1/2](B)[-1/2,0](C)[0,1/2](D)[1/2,1](7)將y=2x的圖象(A)先向左平行移動1個單位(B)先向右平行移動1個單位(C)先向上平行移動1個單位(D)先向下平行移動1個單位

再作關于直線y=x對稱的圖象,可得到函數y=log2(x+1)的圖象.

(8)長方體一個頂點上三條棱的長分別是3,4,5,且它的八個頂點都在同一個球面上,這個球的表面積是

(A)20π(B)25π(C)50π(D)200π

(10)函數y=cos2x-3cosx+2的最小值為

(A)2(B)6(C)-1/4(D)6

(12)圓臺上、下底面積分別為π、4π,側面積為6π,這個圓臺的體積是

(A)2π/3(B)2π(C)7π/6(D)7π/3

(13)定義在區間(-∞,+∞)的奇函數f(x)為增函數；偶函數g(x)在區間［0,+∞)的圖象與f(x)的圖象重

合.設a>b>0,給出下列不等式:

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);

③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),

其中成立的是

(A)①與④(B)②與③(C)①與③(D)②與④

(A){x|0＜x＜2}

(B){x|0＜x＜2.5}

(C){x|0＜x＜}

(D){x|0＜x＜3}

(15)四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有

(A)150種(B)147種(C)144種(D)141種

第Ⅱ卷(非選擇題共85分)二．填空題:本大題共4小題;每小題4分,共16分．把答案填在題中橫線上．16．已知的展開式中的系數為,常數a的值為________17．已知直線的極坐標方程為sin()=,則極點到該直線的距離是_____18．的值為_______19．已知m,l是直線，、是平面，給出下列命題：①若l垂直于內的兩條相交直線，則l；②若l平行于,則l平行于內的所有直線；③若,,且,則；④若,且,則；⑤若,,且∥,則∥．其中正確的命題的序號是_______(注:把你認為正確的命題的序號都填上)三．解答題:本大題共6小題;共69分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．20．(本小題滿分10分)已知復數,．復數,在復數平面上所對應的點分別為P,Q．證明是等腰直角三角形（其中為原點）．21．(本小題滿分11分)已知數列,都是由正數組成的等比數列，公比分別為p、q,其中p>q,且，．設,Sn為數列的前n項和．求．22．（本小題滿分12分）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比、比例系數為b；固定部分為a元．I．把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；II．為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？23．（本小題滿分12分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點I．證明ADD1F；II．求AE與D1FIII．證明面AED面A1FD1；IV．設AA1=2,求三棱錐F-A1ED1的體積24．(本小題滿分12分)設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的兩個根x1,x2滿足0<x1<x2<．I．當x(0,x1)時，證明x<f(x)<x1；II．設函數f(x)的圖像關于直線x=x0對稱，證明x0<25．(25)（本小題滿分12分）設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．1997年普通高等學校招生全國統一考試數學試題(理工農醫類)參考解答及評分標準一．選擇題:本題考查基本知識和基本運算．1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B10．B11．A 12．D 13．C 14．C 15．D二．填空題:本題考查基本知識和基本運算．16．417．18．19．①，④注:第(19)題多填、漏填和錯填均給0分．三．解答題20．本小題主要考查復數的基本概念、復數的運算以及復數的幾何意義等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力．解法一：于是因為OP與OQ的夾角為，所以OP⊥OQ．因為，所以由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．解法二:因為，所以．因為，所以于是由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．(21)本小題主要考查等比數列的概念、數列極限的運算等基礎知識，考查邏輯推理能力和運算能力．滿分11分．解:．分兩種情況討論．(Ⅰ)p>1．∵==p．(Ⅱ)p<1．∵ 0<q<p<1，(22)本小題主要考查建立函數關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識，考查綜合應用所學數學知識、思想和方法解決實際問題的能力，滿分12分．解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為故所求函數及其定義域為(Ⅱ)依題意知S，a，b，v都為正數，故有當且僅當．即時上式中等號成立若，則當時，全程運輸成本y最小，若，則當時，有=因為c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，所以，且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，全程運輸成本y最?。C上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為；當時行駛速度應為v=c．(23)本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，考查邏輯推理能力和空間想象能力，滿分12分．解:(Ⅰ)∵AC1是正方體，∴AD⊥面DC1．又D1F面DC1，∴AD⊥D1F(Ⅱ)取AB中點G，連結A1G，FG．因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥設A1G與AE相交于點H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角，因為E是BB1的中點，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=90°，即直線AE與D(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因為D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1(Ⅳ)連結GE，GD1．∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，∴∵AA1=2，∴正方形ABB1A1(24)本小題主要考查一元二次方程、二次函數和不等式的基礎知識，考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力．滿分12分．證明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因為x1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x1)(x－x2)．當x∈(0，x1)時，由于x1<x2，得(x－x1)(x－x2)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0，即x<f(x)．因為所以x1－x>0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2>1－ax2>0．得 x1－f(x)>0．由此得f(x)<x1．(Ⅱ)依題意知因為x1，x2是方程f(x)－x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根．∴，因為ax2<1，所以． (25)本小題主要考查軌跡的思想，求最小值的方法，考查綜合運用知識建立曲線方程的能力．滿分12分．解法一:設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為│b│，│a│．由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，知圓P截X軸所得的弦長為，故r2=2b2，又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2+1．從而得2b2－a2=1．又點P(a，b)到直線x－2y=0的距離為，所以5d2=│a－2b│2 =a2+4b2－4ab ≥a2+4b2－2(a2+b2) =2b2－a2=1，當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d2=1，從而d取得最小值．由此有解此方程組得或由于r2=2b2知．于是，所求圓的方程是(x－1)2+(y－1)2=2，或(x+1)2+(y+1)2=2