浙江省各地2025年高二數學第二學期期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓,在圓中任取一點,則點的橫坐標小于的概率為（）A． B． C． D．以上都不對2．已知函數，其定義域是，則下列說法正確的是（）A．有最大值，無最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，無最小值D．無最大值，最小值3．在某次體檢中，學號為（）的四位同學的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種4．已知集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為A．1， B． C． D．5．已知奇函數在上是單調函數，函數是其導函數，當時，，則使成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數.若不等式的解集中整數的個數為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．某校高中三個年級人數餅圖如圖所示，按年級用分層抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中高一年級學生有8人，則樣本容量為（）A．24 B．30 C．32 D．358．在二項式的展開式中，其常數項是15.如下圖所示，陰影部分是由曲線和圓及軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．9．已知單位向量的夾角為，若，則為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究．設為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是A．2015 B．2016 C．2017 D．201811．我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積,求其直徑的一個近似公式,人們還用過一些類似的近似公式,根據判斷,下列近似公式中最精確的一個是（）A． B． C． D．12．過點且與直線垂直的直線方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的前項和為，，，則________.14．直線的傾斜角為_______________.15．已知函數.為的導函數，若，則實數的值為__________.16．函數的最小正周期為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）計算??的值；（2）結合（1）的結果，試從中歸納出函數的一般結論，并證明這個結論；（3）若實數滿足，求證：.18．（12分）已知圓圓心為，定點，動點在圓上，線段的垂直平分線交線段于點．求動點的軌跡的方程；若點是曲線上一點，且，求的面積．19．（12分）已知，，求；；；設，求和：.20．（12分）已知數列滿足，，.（Ⅰ）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前項和.21．（12分）已知函數.（1）求曲線在原點處的切線方程.（2）當時，求函數的零點個數;22．（10分）若展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列.（1）求的值及展開式中二項式系數最大的項；（2）此展開式中是否有常數項，為什么？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內橫坐標小于的面積，除以圓的面積。詳解：由圖可知，點的橫坐標小于的概率為，故選C點睛：幾何概型計算面積比值。2、A【解析】

先化簡函數，再根據反比例函數單調性確定函數最值取法【詳解】因為函數，所以在上單調遞減，則在處取得最大值，最大值為，取不到函數值，即最小值取不到.故選A.本題考查反比例函數單調性以及利用函數單調性求最值，考查分析判斷求解能力，屬基礎題.3、D【解析】

根據中等號所取個數分類討論，利用組合知識求出即可.【詳解】解：當中全部取等號時，情況有種；當中有兩個取等號，一個不取等號時，情況有種；當中有一個取等號，兩個不取等號時，情況有種；當中都不取等號時，情況有種；共種.故選：D.本題考查分類討論研究組合問題，關鍵是要找準分類標準，是中檔題.4、B【解析】

圖中陰影部分表示的集合為，解出集合，再進行集合運算即可【詳解】圖中陰影部分表示的集合為故選本題主要考查了圖表達集合的關系及交、并、補的運算，注意集合的限制條件．5、A【解析】

將不等式變形，并構造函數，利用導函數可判斷在時的取值情況；根據奇函數性質，即可判斷當時的符號，進而得解.【詳解】當時，，即；令，則，由題意可知，即在時單調遞減，且，所以當時，，由于此時，則不合題意；當時，，由于此時，則不合題意；由以上可知時，而是上的奇函數，則當時，恒成立，所以使成立的的取值范圍為，故選：A.本題考查了導數與函數單調性的關系，利用構造函數法分析函數單調性，奇函數性質解不等式，屬于中檔題.6、D【解析】

對進行變形，得到，令，，即的整數個數為3，再由的函數圖像和的函數圖像，寫出限制條件，得到答案【詳解】，即設，其中時，時，即符合要求，所以時，，單調遞減，，單調遞增，為極小值.有三個整數解，則還有一個整數解為或者是①當解集包含時，時，所以需要滿足即，解得②當解集包含時，需要滿足即整理得，而，所以無解集，即該情況不成立.綜上所述，由①②得，的范圍為故選D項.利用導數研究函數圖像，兩個函數圖像的位置關系與解析式大小之間的關系，數形結合的數學思想，題目較綜合，考查內容比較多，屬于難題.7、C【解析】分析：本題考查的知識點是分層抽樣，根據分層抽樣的方法，由樣本中高一年級學生有8人，所占比例為25%，即可計算.詳解：由分層抽樣的方法可設樣本中有高中三個年級學生人數為x人，則，解得：.故選：C.點睛：分層抽樣的方法步驟為：首先確定分層抽取的個數，分層后，各層的抽取一定要考慮到個體數目，選取不同的抽樣方法，但一定要注意按比例抽取，其中按比例是解決本題的關鍵.8、B【解析】

用二項式定理得到中間項系數，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．【詳解】（x1+）6展開式中，由通項公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常數項為，可得＝15，解得a＝1．曲線y＝x1和圓x1+y1＝1的在第一象限的交點為（1，1）所以陰影部分的面積為．故選：B本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．9、C【解析】，，與夾角為，且，為直角三角形，故選C.10、C【解析】分析：首先求得a的表達式，然后列表猜想的后三位數字，最后結合除法的性質整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合二項式定理可得：，計算的數值如下表所示：底數指數冪值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625據此可猜想最后三位數字為，則：除以8的余數為1，所給選項中，只有2017除以8的余數為1，則的值可以是2017.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項式定理的逆用，學生歸納推理的能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、B【解析】

利用球體的體積公式得，得出的表達式，再將的近似值代入可得出的最精確的表達式.【詳解】由球體的體積公式得，，，，，，與最為接近，故選C.本題考查球體的體積公式，解題的關鍵在于理解題中定義，考查分析問題和理解問題的能力，屬于中等題．12、B【解析】

先求出所求直線的斜率，再寫出直線的點斜式方程化簡整理即得解.【詳解】由題得直線的斜率為所以直線的方程為，即：故選B本題主要考查相互垂直的直線的斜率關系，考查直線方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用已知條件求出數列前項的和以及前項的和，然后求解即可.【詳解】解：由數列的前項和為，，，可得，，，，則.故答案為：.本題考查數列的遞推關系式的應用，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關系，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.15、【解析】

通過對原函數求導，代入1即得答案.【詳解】根據題意，，所以，故.本題主要考查導函數的運算法則，難度不大.16、【解析】

直接利用三角函數的周期公式求出函數的最小正周期.【詳解】由題得函數的最小正周期.故答案為本題主要考查正弦型函數的最小正周期的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，.（2）一般結論為：對任意實數都有，證明見解析（3）證明見解析【解析】

代入計算可得所求和為定值；

可得，代入計算，化簡可得所求結論；

求得的導數，判斷單調性，根據單調性利用反證法可得證明．【詳解】（1），，.（2）對任意實數都有.證明：.（3）由知，為上的單調增函數.假設，則或，若，由為上的單調增函數知，；若，由為上的單調增函數知，，則，與條件矛盾，故假設不成立.原命題成立.本題主要考查三次函數的圖象和性質，主要是單調性的應用，反證法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．18、；.【解析】

由已知，故，即點軌跡是以、為焦點的橢圓，根據，，得出橢圓方程；由知，又因為，得出，進而求出，算出面積即可.【詳解】由已知，故點軌跡是以、為焦點的橢圓.設其方程為則即，又，故．點的軌跡的方程為：．由知.又.有，．本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.19、（1）－2；（2）；（3）【解析】

（1）令求得，令求得所有項的系數和，然后可得結論；（2）改變二項式的“－”號為“＋”號，令可得；（3）由二項展開式通項公式求得，再得，變形，然后由組合數的性質求和．【詳解】（1）在中，令，得，令，得，∴；（2）由題意，令，得；（3）由題意，又，∴，∴，∴．本題考查二項式定理，考查賦值法求系數和問題，考查組合數的性質及二項式系數的性質．解題時難點在于組合數的變形，變形后才能求和．20、(1).(2).【解析】試題分析：（1）由得出，由等比數列的定義得出數列為等比數列，并且求出的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用錯位相減法求出數列的前n項和．試題解析：（1）由，得，即，且,所以數列是以為首項，為公比的等比數列.所以，故數列的通項公式為.（2）由（1）知，，所以.所以.①.②①-②，得，所以.故數列的前項和.21、（1）（2）函數零點個數為兩個【解析】

（1）根據導數的幾何意義，即可求解曲線在原點處的切線方程；（2）由（1），求得函數的單調性，分類討論，即可求解函數的零點個數．【詳解】（1）由題意，函數，則，則，從而曲線在原點處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數單調增區間為，單調減區間為，當時，恒成立，所以在上沒有零點；當時，函數在區間單調遞減，且，存在唯一零點；當時，函數在區間單調遞增，且，存在唯一零點．綜上，當時，函數零點個數為兩個.本題主要考查了導數的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性及其應用，著重考查了分類討論思想，推理與運算能力，屬于基礎題．22、（1）第四項為第五項為.（2）無常數項.【解析】分析:(1)先根據題意得到，解方程即得n=7.二項式系數最大的項