高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖南八校2025屆高三第三次大聯考數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據題意，，解得，，結合得，即．故選：C．2.已知復數與互為共軛復數，則復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，虛部為．故選：A3.設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，所以，又，所以成立，當時，若與相交，則與異面，不能推導出，所以“”是“”充分不必要條件．故選：A．4.已知一組數據為，1，3，4，5，7，10，11，若為這組數據的分位數，則的展開式中的系數為（）A.280 B. C.560 D.【答案】D【解析】由，得，則展開式中含的項為，所以所求的系數為.故選：D5.已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據題意，雙曲線的離心率為，所以則雙曲線的漸近線方程為．故選：B．6.如圖，高為的圓錐形容器里裝了一定量的水，下列容器內水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓錐的頂點到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當水的體積等于容器容積的一半時，有，整理得．因為，，，，則D選項更接近．故選：D．7.已知數列滿足，某同學將其前20項中某一項正負號寫錯，得其前20項和為372，則寫錯之前這個數為（）A. B. C.100 D.【答案】B【解析】，則其前20項和．設寫錯項為，則，解得，，故寫錯之前這個數為．故選：B．8.已知函數，若對任意，有，則正整數的最小值為（參考值：）（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由，知都不為零，所以在和上都沒有零點．由于，故在上有零點，二者結合，可知，而在和上分別取固定的符號，且符號相反．所以，得，故，則，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減．當時，對任意，恒成立；當時，需滿足，即，解得，所以正整數的最小值為2．故選：B．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量滿足，，則（）A.與的夾角為 B.與的夾角為C. D.【答案】ACD【解析】對于A,B，設與的夾角為，因為，所以，得，所以，，故A正確，B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故，故D正確．故選：ACD．10.已知函數，則（）A.的定義域為 B.的最小正周期為C.在區間上單調遞減 D.在區間上僅有2個零點【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以且，所以，故的定義域為，故A正確；對于B，因為函數和的最小正周期均為，所以的最小正周期為，故B正確；對于C，因為函數在區間，上單調遞減，函數在區間上均單調遞減，且值域為；函數在區間上均單調遞減，且值域為.所以函數與在區間上均單調遞增，則在區間上單調遞增，故C項錯誤；對于D，令，則，解得，在區間上有2個解，故D項正確．故選：ABD．11.平面直角坐標系中，曲線上任一點，滿足到點的距離的倒數和為定值，即，則下列說法正確的是（）A.對于不同的值，曲線總是關于軸對稱B.當時，曲線經過原點C.當時，的取值范圍為D.當時，軸上存在4個不同的點在曲線上【答案】ACD【解析】對于A，因為，可知為線段的中點，又動點滿足，設動點關于軸對稱的點為，則，，可得，所以曲線關于軸對稱，故A正確；對于B，當時，將原點代入，得，故B錯誤；對于C，當時，，可得．因為，即，解得，，令，則，由對勾函數可知在內單調遞減，在內單調遞增，且，，可得，所以，故C正確；對于D，當時，設曲線在軸上的點為，由題意得，因為曲線圖象關于軸對稱，不妨考慮的情形，當時，方程化為，解得，當時，方程化為，解得，故時，軸上有2個點，所以軸上存在4個不同的點在曲線上，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】4【解析】因為，則，又，所以，所以．故答案為：4.13如圖所示，兩直角三角形共斜邊，且，設，則______．【答案】【解析】，由題意可得，，，，因為則兩式平方相加可得，即，所以．故答案為：.14.已知數集，，現隨機從和中各抽取3個不同的數分別構成最大的三位數和，則事件“”的概率為______．【答案】【解析】可分為兩類：中有7時和中無7時，由題意可得：（中有7），（中無7）．若中含7，則；若中無7的情況下：，此時；所以．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，所對的邊分別為．（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）由正弦定理得，即．由余弦定理得．因為，所以．（2）由三角形內角和性質得，則，整理可得，則，由，解得，則，由，則，由正弦定理可得，則，所以的面積為．16.如圖，矩形中，，為邊的中點，現將沿翻折至，得四棱錐，且平面平面，點為線段上一動點，且．（1）求證：；（2）當時，若點關于平面的對稱點為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，由，得，由，得，所以，所以，即，由平面平面平面，平面平面，得平面，又平面，所以，又平面，所以平面，且平面，所以．（2）解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面一個法向量為，，，則令，則，平面的一個法向量為，由題可知，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.在平面直角坐標系中，為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且滿足．（1）求橢圓的方程；（2）在直線上取一點，連接交橢圓于兩點、，若，求點的坐標．解：（1）因為為橢圓上一點，且滿足，則，由題意知，得，故橢圓的方程為．（2）若直線的斜率不存在，則該直線與橢圓相離，不合乎題意，由題意可知，直線不與軸重合，依題意，設直線的斜率為，則直線的方程為，設、，聯立消得，則，可得①，②，由，，，，整理得③，由①③得，代入②，解得，直線的方程為或，若直線的方程為，則點；若直線的方程為，則點.綜上所述，點坐標為或．18.已知函數．（1）若曲線在處的切線平行于直線，求的值以及函數的最小值；（2）證明：對一切的，都有；（3）當時，若曲線與曲線存在兩交點，記直線的斜率為，證明：．（1）解：由題意，，所以，所以，法1：，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以．法2：，當且僅當，即時，取等號，所以函數的最小值為4；（2）證明：先證，則．設，則，因為，所以，即在上單調遞增，又，所以當時，，當，則，所以；同理，當，則也成立；所以，則．（3）證明：設，其中，由（2）知，則，取，得，，所以①，將和相減，得，，所以代入①，所以，即．19.經典比特只能處于“0”態或“1”態，而量子計算機的量子比特可同時處于“0”或“1”的疊加態，某臺量子計算機以序號的粒子自旋狀態為量子比特，每個粒子的自旋狀態等可能的處于“0”態（下旋狀態）或“1”態（上旋狀態），現記序號為奇數的粒子中，處于“0”態的個數為，序號為偶數的粒子中，處于“1”態的個數為．（1）當時，求隨機變是的分布