第5章

重載機器人動力學分析戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造目錄CONTENTS目錄CONTENTS5.1

組成構件的加速度5.2

組成構件的慣性5.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模5.4基于拉格朗日方程的動力學建模5.5重載機器人模態分析5.6重載機器人動剛度分析5.1組成構件的加速度研究意義戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造已知構件位置和速度的前提下，研究關節加速度與桿件加速度之間的關系。加速度分析是進行更復雜動力學分析的基礎，尤其在重載條件下，機器人運動構件的慣性力會顯著增加，快速的加速度變化也會導致結構產生較大的沖擊和振動。了解并精確計算構件加速度有助于后續計算慣性力和動態載荷，這對于評估整個系統的動力學行為至關重要。35.1組成構件的加速度構件的線速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造設坐標系{B}與某一構件固連，坐標系{A}是固定的參考坐標系，現構件上任一點P的速度可以用BP相對于坐標系{A}的運動來描述，如下圖所示。坐標系{B}以速度APBo相對于坐標系{A}平移45.1組成構件的加速度構件的線速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造坐標系{B}相對于坐標系{A}的位姿可用位置矢量APBo和旋轉矩陣

來描述。此時，假定方向

不隨時間變化，即P點相對于坐標系{A}的運動是由于APBo或BP隨時間的變化引起的。此時，坐標系{A}中的點P的線速度為兩個速度分量的求和，即：上式只適用于坐標系{B}和坐標系{A}的姿態保持不變的情況。坐標系{B}以速度相對于坐標系{A}平移55.1組成構件的加速度構件的角速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造當兩坐標系的原點重合、相對線速度為零，而坐標系{B}相對于坐標系{A}的方向隨時間變化時，{B}相對于{A}旋轉速度用矢量AωB來表示。已知矢量BP確定了坐標系{B}中一個固定點的位置?，F在，從坐標系{A}看固定在坐標系{B}中的矢量，如果該系統是轉動的，這個矢量是如何隨時間變化？固定在坐標系{B}中的矢量BP以角速度AωB相對于坐標系{A}旋轉65.1組成構件的加速度構件的角速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造從坐標系{B}看矢量BP是速度不變的，即從坐標系{A}看矢量AP的速度，AP的微分增量一定垂直于AωB和AP，并且微分增量的大小為：矢量的大小和方向滿足下面算式：一般情況下，矢量P是相對于坐標系{B}變化的，因此要加上此分量，得：利用旋轉矩陣消掉雙上標：由角速度引起的點的速度75.1組成構件的加速度組成構件的加速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造在原點不重合的情況下，相對于坐標系{A}的坐標系{B}中的固定矢量的速度普遍公式為：聯立線速度和角速度構件的加速度直接對構件線速度和角速度求導即可得到線加速度和角加速度。構件的線加速度可表示成其所對應的線速度矢量的導數，即：角加速度矢量的導數可寫成：85.1組成構件的加速度組成構件的加速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造構件加速度的定義式：多構件系統中構件加速度的求解公式，以作為實現機器人加速度遞推求解的理論基礎。構件線加速度：由于：得：95.1組成構件的加速度組成構件的加速度戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造當BP是常量時，此時線加速度公式簡化為：假設坐標系{B}以角速度AωB相對于坐標系{A}轉動，坐標系{C}以角速度BωA相對于坐標系{B}轉動，則{C}相對于{A}的角速度可以通過矢量相加得到，即角速度相對時間求導，得構件角加速度求解公式為：105.2組成構件的慣性慣性參數戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造對機器人進行動力學分析和計算時，首先必須已知機器人的慣性參數。慣性參數是描述剛體質量分布的物理量，包括：質量：剛體平移轉動慣量（慣性矩）：剛體定軸轉動慣性張量（包含慣性矩、慣性積）：剛體定點運動平移定軸旋轉定點運動115.2組成構件的慣性質量與質心戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造記剛體中質點i的質量記為mi,ri=(xi,yi,zi)T為該質點相對參考坐標系原點的矢徑，則剛體的質量為：令V∈R3表示剛體的體積，ρ(r),ρ∈V表示剛體的密度，若剛體由各向同性的材料組成。這時，剛體的質量可以表示成：在剛體的質心（centerofmass）處，應滿足：由此可確定質心的位置，即質心的矢徑滿足：當參考坐標系的原點取在質心的位置時，有：a)b)

剛體的質量與質心125.2組成構件的慣性轉動慣量與慣性張量戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造

轉動慣量是表示剛體繞定軸轉動時轉動慣性的一種度量，剛體對任意軸z的轉動慣量定義為：轉動慣量的大小與質量大小和質量的分布情況有關，在國際單位制中其單位為kg.m2。

均質物體的轉動慣量物體類型轉動慣量表達式說明細長均質棒軸穿過棒中心，垂直于棒的長度細長均質棒軸穿過棒的一端，垂直于棒的長度均質圓盤軸垂直于圓盤，穿過圓盤的中心空心圓筒軸垂直于圓筒，穿過圓筒的中心實心球軸穿過球的中心空心球軸穿過球的中心均質矩形板軸垂直于板面，穿過板的中心均質矩形板軸平行于一邊，穿過另一邊中心135.2組成構件的慣性轉動慣量與慣性張量戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造慣性張量是描述剛體作定點轉動時轉動慣性的一種度量，描述了剛體的質量分布，是由表示剛體質量分布的慣性矩和慣性積組成。剛體相對于參考系{A}的慣性張量定義為：均質剛體在坐標系中的表示慣性矩慣性積慣性張量跟坐標系的選取有關，如果選取的坐標系使各慣性積為零，則此坐標系下的慣性張量是對角型的，此坐標系的各坐標軸被稱為慣性主軸，對應的慣性矩稱為主慣性矩。145.2組成構件的慣性轉動慣量與慣性張量戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造例【5-1】：已知均質桿為長方體，質量為m，長度為l，寬度為w，高為h，分別在桿的質心處和某個頂點處建立參考坐標系，坐標軸沿桿的主軸方向。分別求質心C處和頂點A處的慣性矩陣。a)參考坐標系原點在質心C處b）參考坐標系原點在質心A處長方體的廣義慣性矩陣155.2組成構件的慣性轉動慣量與慣性張量戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造解：首先計算參考坐標系原點在質心C處的慣性矩陣。根據定義式可得同理，

。因此，相應的慣性矩陣為165.2組成構件的慣性轉動慣量與慣性張量戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造再計算參考坐標系原點在頂點A處的慣性矩陣。同樣的根據定義式可得因此，相應的慣性矩陣為17185.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模牛頓歐拉方程思想戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造牛頓歐拉方程是基于矢量力學的動力學建模方法，基于速度和加速度及力/力矩的傳遞關系，采用遞推算法進行求解，是一種解決動力學問題的力平衡方法。該方法分析了系統中每個構件的受力情況，表達了系統完整的受力關系，物理意義明確。牛頓歐拉方程思想：針對每個桿件應用力/力矩平衡方程，逐次遞推獲得桿件之間的作用力/力矩；桿件之間的作用力/力矩在關節軸上的分量，即為關節驅動力/力矩。力平衡方程(牛頓方程)：

力矩平衡方程(歐拉方程)：NC——作用在連桿質心上的合外力矩CI——連桿在質心坐標系{C}中的慣性張量ω——連桿角速度5.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造假設已知連桿i在連桿坐標系{i}中的角速度iωi，則連桿i+1在連桿坐標系{i+1}中的角速度為：其中，是關節i+1的轉動速度，i+1Zi+1是連桿坐標系{i+1}中Z軸的矢量表達。上式對時間t求導，可得連桿i+1在坐標系{i+1}中的角加速度為：19速度和加速度的外推公式205.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造三位置矢量構成的矢量三角形上式對時間t求導，可得坐標系{i+1}的原點在基坐標系{0}中的線速度為：轉化得線速度遞推公式為：由右圖的矢量三角形可知：5.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造(1)當關節i+1為轉動關節時，

，此時求導可得坐標系{i+1}原點的線加速度為：(2)當關節i+1為移動關節時，

，有：線加速度為：求坐標系{i+1}原點的線加速度的遞推式為：215.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造假設連桿i的質心為Ci，以該質心為原點建立坐標系{Ci}，該質心坐標系與連桿坐標系{i}具有相同的姿態，iPCi是質心Ci在連桿坐標系{i}中的位置矢量，則質心Ci在坐標系{i}中的線速度為：求導，可得連桿i的質心Ci在連桿坐標系{i}中的線加速度為：由計算出的連桿線加速度、角速度和角加速度，可以通過牛頓-歐拉方程計算出施加在連桿質心的慣性力和慣性轉矩：225.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造力和力矩的內推公式對于下圖所示的連桿i，根據達朗貝爾原理建立連桿i的力平衡方程和力矩平衡方程如下：連桿i的受力分析(包括慣性力和慣性力矩)力平衡方程：（不考慮重力)力矩平衡方程：

(向連桿i的質心轉化)235.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模動力學建模戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造將力平衡方程代入力矩平衡方程得：連桿i+1作用于連桿i的力和力矩的遞推計算公式：通過上述遞推公式，可以從機器人末端連桿n開始計算，依次遞推，直至機器人的基座，從而得到機器人各連桿對相鄰連桿施加的力和力矩。如果關節i是轉動關節，關節i的驅動轉矩為：如果關節i是移動關節，關節i的驅動力為：245.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推的牛頓-歐拉動力學算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造(1)外推計算速度和加速度從連桿1到連桿n遞推計算各連桿的速度和加速度，并由此計算出各連桿所受的慣性力和慣性轉矩，i：0→n-1，計算公式如下：255.3基于牛頓歐拉方程的動力學建模遞推的牛頓-歐拉動力學算法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造(2)內推計算力和力矩從連桿n到連桿1遞推計算各連桿內部相互作用的力和力矩及關節驅動力和力矩i：n→1，計算公式如下：機器人在自由空間運動時，機器人末端所受的力為0，則：265.4基于拉格朗日方程的動力學建模戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造拉格朗日方程是基于分析力學的動力學建模方法，以系統能量為基礎建立動力學模型，可以避免內部構件之間出現的作用力，簡化建模過程，但缺點是物理意義不明確，對于復雜系統，拉格朗日函數的微分運算會變得十分繁瑣。拉格朗日函數L定義為系統的動能T和勢能U之差：拉格朗日第一類方程可以用于描述有約束的系統，它將約束力引入到系統的動力學方程中，從而更準確地描述了系統的運動。拉格朗日第二類方程則是經典力學的基本動力學方程之一，它通過引入拉格朗日量來描述系統的運動。27研究意義第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造非自由質點系：實際的質點系一般是受到約束作用，即系統中質點的位置（或速度）不獨立，受到限制。假設質點Pi(i=1,2,…,n)的矢徑為ri=(xiyizi)T，則約束方程一般可表達如下：S為約束方程的個數。方程中不顯含時間t的約束稱為定常約束，否則稱為非定常約束。5.4基于拉格朗日方程的動力學建模第二類拉格朗日方程是用廣義坐標表示的受理想約束力學系統的運動微分方程。可以選擇k個獨立參數，將系統坐標表示成它們的函數，即廣義坐標：描述動力學系統狀態的最少的一組獨立變量。28廣義坐標第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造虛位移原理直接得到主動力的關系，不需要給出內部理想約束力，方程的數目將減少，使運算簡化。虛位移：在給定瞬時，約束所被允許的系統各質點任何無限小的位移。虛位移與質點系上的力、初始條件及時間無關，完全由約束的性質決定。5.4基于拉格朗日方程的動力學建模質點系的虛位移由各質點的虛位移δri(i=1,2,…,n)組成。在廣義坐標系中，各質點的虛位移δri(i=1,2,…,n)也可以用廣義坐標的變分δqj(i=1,2,…,k)來表示：當質點系統處于平衡狀態時：虛位移原理（虛功原理）：為施加在質點上的主動力29第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造廣義力可得：令稱其為作用于系統所有主動力關于廣義坐標qj(j=1,2,…,k)的廣義力。系統的總虛功可表示為：5.4基于拉格朗日方程的動力學建模30第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造僅考慮動能的情況考慮由n個質點構成的系統，由達朗貝爾原理可知，作用在整個質點系上的主動力、約束力和慣性力構成平衡力系。若系統只受理想約束作用，由虛功原理有：FIi為第i個質點上虛加的慣性力。上式即為質點系虛功形式的動力學普遍方程。5.4基于拉格朗日方程的動力學建模31第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造對于非完整的約束系統，其廣義坐標的變分δqj相互獨立，上式成立的唯一條件是：5.4基于拉格朗日方程的動力學建模動能表達的動力學普遍方程：上式為第二類拉格朗日方程，該方程只適用于具有完整約束的系統。32第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造考慮勢能的情況如果作用于質點系上的主動力均為有勢力，則質點系勢能V是各質點坐標的函數，記為：質點系的勢能可寫為廣義坐標的函數，即：作用于質點系中任意點上力的投影可以寫成勢能表達的形式：5.4基于拉格朗日方程的動力學建模勢力場中的廣義力表達式為：33(18)第二類拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造拉格朗日方程一般形式如果作用在質點系上的廣義力還有非有勢力的作用，將這些力記為

，則有：上式即為機器人動力學方程的拉格朗日方程。5.4基于拉格朗日方程的動力學建模34重載串聯機器人的拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造5.4基于拉格朗日方程的動力學建模重載串聯機器人拉格朗日方程求解一般步驟利用拉格朗日方程方法，建立機器人的動力學模型可分五步進行：計算連桿各點速度；計算系統的動能；計算系統的勢能；構造拉格朗日函數；推導動力學方程。35重載串聯機器人的拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造5.4基于拉格朗日方程的動力學建模連桿i上的一點對坐標系{i}和基坐標系{0}的齊次坐標分別為ir和r，則有：該點的速度為：(1)連桿各點速度速度的平方為：36重載串聯機器人的拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造連桿i的動能為：5.4基于拉格朗日方程的動力學建模(2)系統的動能機器人（n個連桿）總的動能為：偽慣性矩陣各關節的傳動機構的動能可表示成傳動機構的等效慣量以及對應的關節速度的函數：機器人系統的動能為：Iai是廣義等效慣量移動關節：等效質量旋轉關節：等效慣性矩37重載串聯機器人的拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造各個連桿的勢能為：mi是連桿i的質量；g=[gxgygz0]是重力行矢量。機器人的總勢能為：5.4基于拉格朗日方程的動力學建模(3)系統的勢能根據系統的動能T的表達式和勢能U的表達式，便可得到拉格朗日函數：(4)拉格朗日函數38重載串聯機器人的拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造利用拉格朗日函數式便可得到關節i驅動連桿i所需的廣義力矩τi，即有：5.4基于拉格朗日方程的動力學建模(5)機器人的動力學方程寫成矩陣形式和矢量形式：39重載串聯機器人的拉格朗日方程戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造1、系數Gi是連桿i的重力項。2、系數Dik與關節（變量）加速度有關。當i＝k時，Dii與驅動力矩τi產生的關節i的加速度有關，稱為有效慣量；當i≠k時，Dik與關節k的加速度引起的關節i上的反作用力矩（力）有關，稱為耦合慣量。由于慣性矩陣是對稱的，又因對于任意矩陣A，有trA＝trAT，可證明Dik＝Dki。3、hikm與關節速度有關，下標k，m表示該項與關節速度

有關，下標i表示感受動力的關節編號。當k＝m時，hikm表示關節i所感受的關節k的角速度引起的離心力的有關項；當k≠m時，hikm表示關節i所感受到的

和引起的科氏力有關項?？梢钥闯?，對于給定的i，有hikm等于himk。5.4基于拉格朗日方程的動力學建模這些系數有些可能為零。其原因如下：操作臂的特殊運動學設計可消除某些關節之間的動力耦合（系數Dik和hikm）。某些與速度有關的動力學系數實際上是不存在的，例如hiii通常為零（但是也可能不為零）。機器人處于某些形位時，有些系數可能變為零。40模態的概念戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造

模態分析的經典定義：將線性定常系統振動微分方程組中的物理坐標變換為模態坐標，使方程組解耦，成為一組以模態坐標及模態參數描述的獨立方程，以便求出系統的模態參數。坐標變換的變換矩陣為模態矩陣，其每列為模態振型。模態是指機械結構的固有振動特性，是系統的一種基本屬性，反映系統在特定條件下的振動行為。每一個模態都有特定的固有頻率、阻尼比和模態振型。分析這些模態參數的過程稱為模態分析。5.5重載機器人的模態分析固有頻率是指一個系統在沒有外部驅動或阻尼的情況下，自由振動時所具有的頻率。取決于系統的質量和剛度等參數。阻尼比是衡量振動系統中阻尼程度的一個無量綱參數ξ。它描述了系統在自由振動時，能量衰減的速度。模態振型是指在自由振動或共振狀態下，振動系統的各個部分按照某種特定方式運動的模式。每一個模態振型對應于一個特定的固有頻率。模態振型描述了系統在該固有頻率下的運動形態，是振動分析中一個重要的概念。41模態的概念戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造對于一個線性時不變系統，傳遞函數定義為輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比，假設初始條件為零。若輸入為X(s)，輸出為Y(s)，則傳遞函數H(s)表示為：

頻響函數是傳遞函數H(s)在復平面上s=jω處的值，其中j是虛數單位，ω是角頻率。頻響函數H(jω)表示為：或其中是系統在頻率ω下的幅值響應，是相位響應。5.5重載機器人的模態分析42模態分析原理戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造要進行模態分析，都需要通過將系統的振動微分方程進行解耦，進而求解物理坐標中的響應，最終得到反應模態參數的頻響函數。在實際工程結構中大多為有阻尼的多自由度系統，以多自由度粘性系統為例，闡述具體的模態分析理論。多自由度的具有粘性阻尼的系統偏微分方程可以寫為：5.5重載機器人的模態分析矩陣形式M：質量矩陣，n×nC：阻尼矩陣，n×nK：剛度矩陣，n×nF：力向量，n×1x：位移向量，n×1B(s)：系數矩陣。43模態分析原理戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造得到響應與激勵之比：系統矩陣B(s)

的逆矩陣就是系統的傳遞矩陣：A(s)為留數矩陣，det[B(s)]稱為特征方程。5.5重載機器人的模態分析實驗模態分析最基本的兩項：當在系統的一個極點處估計系統的傳遞函數時，可以寫作：矩陣的每一行或每一列都可以用來估計系統的傳遞函數。44模態分析原理戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造系統傳遞函數有多種表達形式：極點-零點形式進行拉普拉斯變換，得到時域的脈沖響應函數：5.5重載機器人的模態分析多項式形式頻響函數是傳遞函數沿s=jω軸得到的。頻響函數為：當在一個極點處估計H(s)時，可得到H(s)是奇異的，秩為1，可以分解為：將留數矩陣和模態振型之間的關系寫為：展開為系統的第k階模態：由系統的特征值和特征向量可以得到頻響函數，那么就可以獲得系統的頻率、阻尼、模態振型等其他信息。45模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造計算模態分析：模態分析過程是由有限元計算的方法取得的。

優點是可以在結構設計初期，根據有限元分析結果，預知產品的動態性能，可以在產品概念設計階段預估振動、噪聲的強度和其它動態問題，并且可以通過改變結構形狀來消除或抑制這些問題。缺點是計算繁雜，耗資費時。5.5重載機器人的模態分析實驗模態分析：通過試驗將采集的系統輸入與輸出信號經過參數識別獲得模態參數。

最常用的，是一種更經濟、更實效的方法。首先，將結構物在靜止狀態下進行人為激振，通過測量激振力與響應并進行雙通道快速傅里葉變換（FFT）分析，得到任意兩點之間的傳遞函數。用模態分析理論通過對傳遞函數的曲線擬合，識別出結構物的模態參數，從而建立起結構物的模態模型。根據模態疊加原理，在已知各種載荷時間歷程的情況下，就可以預測結構物的實際振動響應與動力學特性。46計算模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造

通過模態分析，可以求出模型的固有頻率和模態振型，根據得到的固有頻率與激勵頻率做對比，就能找出易發生共振的部位，即設計薄弱點。以一個裝配組件受到軸向400Hz的激勵工況為例，說明模態分析共振的過程。模態分析的基本步驟有建立模型、劃分網格、加載邊界條件、模態求解與結果分析。5.5重載機器人的模態分析（1）建立模型裝配組件由一個陣列孔板和一個圓管組成（2）實體模型接觸設置接觸類型選擇“綁定”，其余均默認。接觸幾何體目標幾何體47計算模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造（3）網格劃分

在1區中，選中圓管模型，采用“掃掠”模式對其劃分網格，其中自由面網格類型選擇“四邊形或三角形”；在2區中，先選擇圓管端面模型，采用“面網格剖分”模式對其進行網格劃分，其中“分區的內部數量”為3；在3區中，先選擇帶孔圓板模型，采用“六面體主導”來進行網格劃分，并定義網格單元尺寸為2mm。5.5重載機器人的模態分析48計算模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造（4）加載邊界條件

選擇“遠程位移”條件，選擇圓管端面，其中“X、Y、Z分量”均設置為0，“旋轉X、旋轉Y”設置為0°，“旋轉Z”定義為自由，即僅對圓管釋放一個Z軸旋轉自由度的約束。5.5重載機器人的模態分析49計算模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造（5）模態求解與結果分析

計算所得前6階頻率結果為：0.007Hz、306.03Hz、306.04Hz、410.57Hz、520.55Hz、520.56Hz。其中第一階模態的振型圖如圖中1區所示，表現為繞z軸旋轉，這與定義的邊界條件相匹配；第2、3階模態為方向不同但是頻率相同的振型，表現為對稱性；第4階模態振型圖如圖中2區所示，表現為z軸方向上的平移，這是與題干激勵頻率相對比的模態；第5、6階模態同樣表現為對稱性。5.5重載機器人的模態分析該模型中，激勵頻率為400Hz，共振帶為340~460Hz。第4階模態為410.57Hz，會發生共振。50實驗模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造5.5重載機器人的模態分析實驗模態分析是針對模態分析進行的實驗，對數字信號處理和動態測試技術，以及線性振動理論進行綜合性的運用，識別相應的系統，分析結構系統。實驗模態分析是人為的對物理結構給予一個激勵信號，然后采集每點的振動響應信號，根據其收集的響應信號來分析計算獲取模態參數。分析方法主要包括多輸入多輸出（MIMO）、單輸入多輸出（SIMO）、單輸入單輸出（SISO）三種試驗方法。單輸入單輸出方法要求同時采集輸出與輸入兩個點的信號信息，用不斷移動激勵點位置的辦法取得振動數據。MIMO和SIMO的方法則需要采集大量通道的并行數據，因此，要求很多振動測量傳感器傳感線和激振器，試驗比較費時、費力，并且成本較高。51實驗模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造實驗前的準備與規劃5.5重載機器人的模態分析建立簡化的機器人模型，并對各手臂進行節點劃分，可以對手臂進行單獨分析，也可以整體分析。注意，模型方向要與實際傳感器的安裝方向保持一致。設置測點。測點的選定應考慮以下兩方面的要求：能夠在變形后明確顯示在實驗頻段內的所有模態的變形特征及各模態間的變形區別；保證所關心的結構點都在所選的測量點之中。測點的數目取決于所選頻率范圍、期望的模態數、被測物體上所關心的區域及現有的傳感器數目等多項因素。選擇合適的激勵方法。測力法（即錘擊法）或電動激振器與試件相連。激勵點選擇的基本原則是：盡量避免節點，同時使各測點的響應值最大。52實驗模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造數據采集技術數據的采集過程，要基于機械臂模態測試系統，使用力錘在參考點激勵，記錄加速度傳感器采集響應信號，要經過多組測量，采集完所有測點。實驗過程中，要設定合適的采樣頻率，參考點一般選擇在結構振動響應比較大的位置，要避開結構的節點。每采集完一批數據需進行備份操作，以免誤操作將數據覆蓋。采集過程中時刻觀察每個通道的時域信號，以免信號過載，尤其是達到共振點時，振動明顯變大，最易發生過載；若采集過程中有信號過載的現象發生，應停止采樣，更改量程后重新采集。5.5重載機器人的模態分析信號處理與分析通過傅里葉變換將信號從時域轉換到頻域，通過逆傅里葉變換將信號從頻域轉換回時域。在一個數據塊內，測量的信號不是周期信號時，就會出現不正確的信號幅值和頻率，這個誤差稱為泄露。窗函數能使測量信號在一個樣本間隔內更具有周期性，因而能減少泄漏的影響。實驗模態分析中常用的窗函數有矩形窗、漢寧窗、平頂窗、力窗、指數窗等。53實驗模態分析方法戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造傳統的試驗模態參數根據識別域的不同，可分為時域識別法和頻域識別法。當只有響應可測或激勵未知的條件下，對結構動力學參數進行識別的方法還有峰值提取技術、圓擬合、最小二乘復指數法等。5.5重載機器人的模態分析信號處理與分析54結果驗證與分析相干函數為互功率譜密度函數的模的平方除以激勵和響應自譜乘積所得到的商，即：Gxx為輸入自功率譜密度函數的估計，Gyy為輸出自功率譜密度函數的估計，Gyx和Gxy為互功率譜密度函數的估計。相干函數是激勵信號和響應信號在頻域內相關程度的指標，是一個標量，其取值范圍為0~1，當相干為0時，輸出信號與輸入信號不相關。當相干為1時，所有測量的輸出信號與輸入信號都是相關的。一般認為相干大于等于0.8時，頻響函數的估計結果比較準確可靠。動剛度的定義與建模戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造5.6重載機器人動剛度分析

由于重載機器人的重載特性，工作過程中各個構件會產生較大的慣性力，所以，機器人整體和各個關鍵部件在工作中所受的各種力和力矩不僅很大，而且復雜。機器人結構的動剛度直接影響工作過程的精度和穩定性，通過動剛度的分析不僅有助于保持末端執行器的位姿精確性，同時可以識別結構中的薄弱環節并進行優化設計。物體在靜載荷下抵抗變形的能力稱為靜剛度，動載荷下抵抗變形的能力稱為動剛度，即引起單位振幅所需要的動態力。動剛度用結構的固有頻率來衡量，是衡量結構抵抗預定動態激擾能力的特性。55頻響函數是系統在頻域中動剛度的直觀表現方式。以ω表示系統的固有頻率，頻響函數是系統輸出響應和輸入激勵力F(ω)之比。以位移X(ω)為輸出時，該頻響函數表示動柔度頻響C(ω)，表示為：C(ω)=X(ω)/F(ω)。動剛度頻響K(ω)則為力與位移之比：K(ω)=F(ω)/X(ω)。戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造1.軌跡法軌跡法采用五階傅里葉級數軌跡作為激勵軌跡，通過設置基礎頻率的大小來確保理論軌跡的頻率避開擾動力矩的頻率區間，且高通濾波器截止頻率應大于激勵軌跡頻率，進而可濾除理論軌跡對伺服驅動器實際位置跟蹤誤差和電機力矩的影響，高通濾波后的位置跟蹤誤差和電機力矩僅與擾動力矩有關。5.6重載機器人動剛度分析動剛度辨識方法概述qi(t)為工業機器人第i關節軌跡，ωf為基礎頻率。通過研究擾動力矩與位置跟蹤誤差、電機力矩之間的關系，可提取擾動力矩及其所產生的位置跟蹤誤差。電機實際位置跟蹤誤差Δθ為輸入信號和擾動力矩共同作用在控制器上產生。G1(s)為伺服系統簡化模型，G2(s)為被控對象簡化模型。θref為理論輸入位置指令，Tdis為擾動力矩，Tm為電機實際力矩。對位置跟蹤誤差Δθ進行高通濾波，濾波后的位置跟蹤誤差可視為擾動力矩所引起的位置跟蹤誤差Δθ1。56戰略性新興領域教材建設團隊-重型高端裝備制造電機實際力矩Tm也為輸入信號和擾動力矩共同作用在控制器上產生。5.6重載機