北京市通州區2023屆高三模擬考試數學（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題3分，共15題，45分）1.若復數$z=a+bi$滿足$z^2=43i$，則$a+b=$____。2.已知函數$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，則其定義域為____。3.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，則公差$d=$____。4.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$____。5.已知函數$y=x^22x+3$的圖像，則其頂點坐標為____。6.若方程$x^2+2ax+3=0$有兩個實根，則實數$a$的取值范圍是____。7.在直角坐標系中，點$P(1,2)$到直線$y=x+1$的距離為____。8.若函數$f(x)=\sin(x)\cos(x)$，則$f(\frac{\pi}{4})=$____。9.已知三角形$ABC$的三邊長分別為$3,4,5$，則其外接圓半徑為____。10.若方程$\log_2(x+1)+\log_2(x1)=3$的解為$x=a$，則$a^2=$____。11.在等比數列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，$b_3=16$，則公比$q=$____。12.若函數$y=2x^24x+3$的圖像開口方向為____，頂點坐標為____。13.已知點$A(2,3)$，點$B(4,1)$，則線段$AB$的中點坐標為____。14.若方程$2x^23x+1=0$的解為$x=a$，則$a^2+$____。15.在直角坐標系中，點$P(2,3)$到原點$O(0,0)$的距離為____。二、填空題（每題3分，共5題，15分）16.已知函數$f(x)=\ln(x^24x+3)$，則其定義域為____。17.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$d=3$，則$a_5=$____。18.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,1)$，則$\vec{a}\times\vec=$____。19.已知函數$y=x^22x+3$的圖像，則其對稱軸方程為____。20.若方程$x^2+2ax+3=0$有兩個相等的實根，則實數$a$的值為____。三、解答題（每題10分，共5題，50分）21.已知函數$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，求其定義域和值域。22.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，求公差$d$和通項公式$a_n$。23.已知函數$y=x^22x+3$的圖像，求其頂點坐標和對稱軸方程。24.若方程$x^2+2ax+3=0$有兩個實根，求實數$a$的取值范圍。25.在直角坐標系中，點$P(1,2)$到直線$y=x+1$的距離為____。8.計算題（每題5分，共5題，25分）26.計算sin(fracpi6)cos(fracpi3)的值。27.已知三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，求其面積。28.若方程log2(x1)log2(x1)3的解為xa，求a的值。29.在等比數列bn中，若b12，b316，求公比q和通項公式bn。30.已知函數y2x24x3的圖像，求其頂點坐標和對稱軸方程。9.證明題（每題10分，共2題，20分）31.證明等差數列an中，若a1a2a3，則a1+a3=2a2。32.證明等比數列bn中，若b1b2b3，則b1b3=b22。10.應用題（每題10分，共3題，30分）33.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為200元，售價為300元。若該工廠每月固定成本為10000元，求該工廠每月至少銷售多少件產品才能盈利。34.某商場進行促銷活動，顧客購買商品滿100元可享受8折優惠。若顧客購買了一件原價為150元的商品，求顧客實際支付金額。35.某班級有50名學生，其中男生30名，女生20名。若隨機選擇5名學生參加比賽，求至少選擇3名女生的概率。11.函數題（每題5分，共5題，25分）36.已知函數f(x)sin(x)cos(x)，求f(fracpi4)的值。37.已知函數g(x)2x23x，求g(1)g(2)g(3)的值。38.已知函數h(x)ln(x24x3)，求其定義域和值域。39.已知函數k(x)x22x3，求其頂點坐標和對稱軸方程。40.已知函數m(x)log2(x1)log2(x1)，求其定義域和值域。12.不等式題（每題5分，共5題，25分）41.解不等式2x23x10。42.解不等式x22x3。43.解不等式log2(x1)log2(x1)3。44.解不等式2x23x10。45.解不等式x22x3。13.向量題（每題5分，共5題，25分）46.已知向量veca(1,2)，vecb(2,1)，求vecacdotvecb和vecatimesvecb。47.已知向量veca(2,3)，vecb(4,1)，求veca+vecb和vecavecb。48.已知向量veca(1,2)，vecb(2,1)，求veca和vecb的模。49.已知向量veca(2,3)，vecb(4,1)，求veca和vecb的夾角。50.已知向量veca(1,2)，vecb(2,1)，求veca和vecb的垂直距離。14.圓和方程題（每題5分，共5題，25分）51.已知圓C的方程為x2+y24x6y10，求其圓心和半徑。52.已知圓C的方程為x2+y24x6y10，求其與直線yx1的交點坐標。53.已知圓C的方程為x2+y24x6y10，求其與直線x+y=3的交點坐標。54.已知圓C的方程為x2+y24x6y10，求其與直線x+y=3的交點個數。55.已知圓C的方程為x2+y24x6y10，求其與直線x+y=3的交點坐標。15.三角函數題（每題5分，共5題，25分）56.已知sin(fracpi6)cos(fracpi3)，求其值。57.已知sin(fracpi3)cos(fracpi6)，求其值。58.已知sin(fracpi4)cos(fracpi4)，求其值。59.已知sin(fracpi6)cos(fracpi4)，求其值。60.已知sin(fracpi3)cos(fracpi2)，求其值。一、選擇題答案：1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.C8.B9.A10.D11.C12.A13.B14.D15.C二、填空題答案：16.217.318.419.520.621.722.823.924.1025.1126.1227.1328.1429.1530.16三、解答題答案：31.解：由等差數列的性質可知，a1a32a2，即a1+a3=2a2。又因為a1+a2+a3=3a2，所以a2=a1+a3。代入a1a32a2，得a1a3=a22。因為a1a2a3，所以a1a3a22。所以a1a3a22，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1a3a2，即a1a3a2。所以a1