第07講線面角（核心考點講與練）考點考點考向直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面內的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).方法技巧方法技巧求直線和平面所成角的關鍵作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。能力拓展能力拓展題型一：線面角的概念及辨析一、單選題1．（2021·上海市中國中學高二階段練習）平面的斜線l與平面交于點A，且斜線l與平面所成的角是，則與平面內所有不過點A的直線所成的角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據線面角中最小角定理求解．【詳解】斜線l與平面所成的角是，則直線與平面內所有直線所成角中最小角為，顯然為最大角為，因此范圍為，故選：C．2．（2018·上海市金山中學高二期中）已知的一邊在平面內，，點在平面內的射影為點，則與的大小關系為A． B．C． D．以上情況都有可能【答案】D【分析】考慮兩種動態變化的情況：（1）為銳角三角形時，考慮繞邊旋轉時變化的情況；（2）當為鈍角時，考慮繞邊旋轉時變化的情況.【詳解】分情況討論：（1）為銳角三角形時，當繞順時針旋轉時（起始位置為與重合），從變化到（平面平面時），故旋轉過程中會有.（2）為鈍角時，當繞順時針旋轉時（起始位置為與重合），從變化到（平面平面時），故旋轉過程中會有.綜上，應選D.【點睛】比較空間角的大小關系時，如果直接計算比較它們的大小比較困難時，則可考慮在動態變化過程中特定角變化的過程，從而得到兩者之間的大小關系.二、填空題3．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習）平面的一條斜線和這個平面所成角θ的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據平面的一條斜線的定義和線面角的定義即可求解.【詳解】由線面角的定義可知，線與面的夾角范圍為，又因為斜線與平面不垂直，不平行，也不在平面內，所以斜線與平面所成角的取值范圍是.故答案為：.4．（2021·上海市進才中學高二期中）直線與平面所成角為,則直線與平面內的任意一條直線所成角的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據“斜線與平面所成角是斜線與平面內的直線所成的最小角”得到所成角的最小值，并且根據線線角的范圍可求出所成角的最大值，即可得到對應的角的范圍.【詳解】因為直線與平面所成角為，所以根據“最小角定理”可知直線與平面內的任意一條直線所成角的最小值為，又因為線線夾角的最大值為，所以直線與平面內的任意一條直線所成角的范圍是：.故答案為.【點睛】本題考查線面夾角的有關問題，難度一般.最小角定理：斜線與平面所成角是斜線與平面內的直線所成的最小角.三、解答題5．（2021·上海靜安·高二期末）如圖，直線l是平面的斜線，且與平面斜交于點M，l上異于點M的一點A在平面上的射影為O，在平面內過點M作一條直線m，直線m和直線MO不重合，設直線l和直線m的夾角為θ，求證∶∠AMO<θ.【分析】在平面內過O作直線m的垂線，垂足為N，連接AN，得，由直角三角形的斜邊大于直角邊可得，得到，再由正弦函數的單調性得結論．【詳解】證明：如圖所示：在平面內過O作直線m的垂線，垂足為N，連接AN，因為AO⊥α，m?α，∴AO⊥m,又∵ON⊥m,ON∩AN=N,∴m⊥平面AON,∴m⊥AN.在中，，在中，由斜邊大于直角邊可得，，在中，，，，由直線與平面所成角及空間兩直線所成角的范圍可知，，均屬于由正弦函數在上為增函數，可得：．題型二：求線面角一、填空題1．（2021·上海·西外高二期中）在正方體中，A1B與平面BB1D1D所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】作出直線與平面所成的角，解直角三角形求得所成角的余弦值.【詳解】如圖取的中點，連接，根據正方體的性質可知平面.連接，則為在平面內的射影，所以為所求的線面角.在中，，所以.所以故與平面所成角的余弦值為.故答案為：二、解答題2．（2022·上海市進才中學高二期中）圓柱的軸截面ABCD是正方形，E是底面圓周上一點，DC與AE成60°角，.(1)求直線AC與平面BCE所成角的正弦值；(2)求點B到平面AEC的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）先證明出∠ACE是AC與平面BCE所成的角，解三角形求出；（2）利用等體積法求出點B到平面AEC的距離.(1)由題意可知,AB是底面圓的直徑,所以AE⊥BE.因為DC//AB,DC與AE所成的角為60°，所以AB與AE所成的角也為60°,即∠BAE=60°.因為正方形ABCD的邊長為2，所以，.由題意可知,BC⊥平面ABE,平面ABE，所以BC⊥AE.因為,平面BCE，所以AE⊥平面BCE，所以∠ACE是AC與平面BCE所成的角.因為，即AC與平面BCE所成角的正弦值為.(2)設點B到平面AEC的距離為d.三棱錐的體積為.因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，所以.由等體積法可得：，所以，即，解得：.3．（2021·上海市建平中學高二階段練習）如圖，已知在圓錐中，為底面圓O的直徑，點C為弧的中點，．(1)證明：平面；(2)若點D為母線的中點，求與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】(1)由線面垂直，得線線垂直，進而證明線面垂直.（2）∠ADO為AD與平面SOC所成角，解三角形，即可求出.(1)因為SO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以SOAB,因為C為的中點，所以AB⊥OC，又SO平面SOC，OC平面SOC,SOOC=O,所以AB⊥平面SOC(2)連結OD.因為AB⊥平面SOC,所以∠ADO為AD與平面SOC所成角，設OA=a，則OC=a，SO=AB=2a，所以，所以,,所以AD與平面SOC所成角的正切值為.題型三：由線面角的大小求長度_一、填空題1．（2021·上海市市西中學高二期中）三棱錐PABC，若PA=PB=PC，則P在三角形ABC上的射影是底面三角形ABC的______心【答案】外【分析】設P在三角形ABC上的射影為O,判斷出面ABC，利用勾股定理求出，即可判斷.【詳解】設P在三角形ABC上的射影為O,則面ABC.連結，所以.因為PA=PB=PC，所以，所以O是底面三角形ABC的外心.故答案為：外2．（2021·上海市進才中學高二期中）在正四棱柱中，對角線且與底面所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為___________.【答案】.【分析】設，則，由線面角可求得，由勾股定理可得，根據可得或其補角即為異面直線與所成角，在中，由余弦定理即可求解.【詳解】因為四棱柱是正四棱錐，所以底面為正方形，設，所以，因為面，所以即為與底面所成的角，所以，可得，所以，連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以或其補角即為異面直線與所成角，，，在中，由余弦定理可得：，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.3．（2021·上海市進才中學高二期中）已知三棱柱的底面的三邊長分別是，，，側棱且與底面所成角為45°，則此三棱柱的體積為___________.【答案】【分析】過作平面于點，連結，由于側棱且與底面所成角為45°，故，可求得，結合可得，故，利用，即得解【詳解】過作平面于點，連結由于側棱且與底面所成角為45°，故又平面，平面，故又的三邊長分別是，，且故故答案為：二、解答題4．（2022·上海·格致中學高二期末）如圖，點О是正四棱錐的底面中心，四邊形PQDO矩形，．(1)點B到平面APQ的距離：(2)設E為棱PC上的點，且，若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，試求實數的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）以三棱錐等體積法求點到面的距離，思路簡單快捷.（2）由直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，可以列關于的方程，解之即可.(1)點О是正四棱錐的底面中心，點О是BD的中點，四邊形PQDO矩形，，兩點到平面APQ的距離相等.正四棱錐中，平面，平面，，，設點B到平面APQ的距離為d，則，即解之得，即點B到平面APQ的距離為(2)取PC中點N，連接BN、ON、DN，則.平面平面正四棱錐中，，直線平面平面，平面平面，平面平面平面中，點E到直線ON的距離即為點E到平面的距離.中，，點P到直線ON的距離為△中，，設點E到平面的距離為d，則有，則則有，整理得，解之得或5．（2021·上海·華東師大附屬楓涇中學高二期中）如圖，在幾何體中，已知平面，且四邊形為直角梯形，.(1)求證平面.(2)若與平面所成的角為，求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面.（2）先求得，然后利用等體積法求得到平面的距離.(1)由于，所以，由于平面，所以，由于，所以平面.(2)由于平面，所以是直線與平面所成角，則.所以，由（1）知.所以,,設到平面的距離為，則，即.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海市七寶中學高二期中）MA，MB，MC是從點M出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線MC與平面MAB所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過上一點作平面，則就是直線與平面所成的角．能證明點在的平分線上，通過解直角三角形、，求出直線與平面所成角的余弦值．【詳解】解：在上任取一點并作平面，則就是直線與平面所成的角．過點作，，因為平面，則，．，，，因為，所以點在的平分線上，即．設，在直角中，，，則．在直角中，，．則．即直線與平面所成角的余弦值是．故選：A2．（2021·上海市復興高級中學高二階段練習）設正方體棱長為1，平面經過頂點，且與棱AB?AD?所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面共有（

）個.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正方體的性質，分在同一側、不同側兩種情況畫出滿足題設的平面，即可知平面的個數.【詳解】1、當平面面且過點時，滿足題設；2、由正方體的性質，面、面、面都滿足題設；∴共有4個平面.故選：D二、填空題3．（2021·上海中學高二期中）正方體中，直線與平面所成角大小為______【答案】【分析】連結，，連接，可證平面，則是直線與平面所成角，求出即可【詳解】連結，，連接，∵平面，平面，∴，在正方形中，，∵，∴平面，∴是在平面內的射影，∴是直線與平面所成角，設正方形的邊長為，則，，在中，，∴，∴直線與平面所成的角的大小為.故答案為：.4．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習）如圖，已知AB是平面α的一條斜線，B為斜足，，O為垂足，BC為α內的一條直線，，，則斜線AB和平面α所成角是___________.【答案】【分析】過作于，連接，則可證，設，則利用特殊角的性質得出，.從而求得，即可得解.【詳解】過作于，連接，如圖所示：因為，，所以，又，，所以平面AOD，因為平面AOD，所以.設，因為，，所以，.所以在中，，即.因為，所以為與平面所成的角.所以與平面所成的角為.故答案為：.5．（2021·上海市復興高級中學高二期中）若正三棱錐的高和底面邊長相等，則側棱和底面所成角為___________【答案】【分析】由題意畫出圖形，找出側棱與底面所成角，求解三角形得答案.【詳解】如圖，設正三棱錐的底面邊長為，高，為正三棱錐，則在底面的射影為底面三角形的中心，連接并延長，交于，則，，且為側棱與底面所成角.在中，求得故側棱和底面所成角為.故答案為：6．（2021·上海浦東新·高二期中）已知斜線段的長度是斜線段在這個平面內射影的長的兩倍，則這條斜錢和這個平面所成的角的大小為___________.【答案】【分析】根據線面角的定義計算可得；【詳解】解：因為斜線段的長度是斜線段在這個平面內射影的長的兩倍，記這條斜線和這個平面所成的角為，則，因為，所以故答案為：7．（2021·上海·閔行中學高二階段練習）若兩直線a、b與平面所成的角相等，則a與b的位置關系是________．【答案】平行、相交或異面【分析】根據線面角的定義可分析得出.【詳解】若，顯然a、b與平面所成的角相等；若a、b為圓錐的兩條母線所在的直線，顯然a、b與平面所成的角相等，此時a、b為相交直線；若a、b為異面直線，若滿足，此時a、b與平面所成的角相等，均為0，故a與b的位置關系是平行、相交或異面.故答案為：平行、相交或異面.8．（2021·上海市七寶中學高二階段練習）在棱長為的正方體中，是棱的中點，過，，三點的平面交棱于點.則直線與平面所成角的正弦值為______【答案】【分析】先證明是中點，然后延長，交于點，過作于，連接，過作于，證明是直線與平面所成角，在直角三角形中求得其正弦值．【詳解】在正方體中平面平面，平面平面＝，平面平面＝，所以，同理，所以是平行四邊形，由勾股定理得，所以是中點，延長，交于點，所以是的中位線，，過作于，連接，過作于，平面，平面，則，，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以是直線與平面所成角．又，，，，所以，，，在中，，．所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：．9．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）如圖，為正方體，下面結論中正確的是___.（填寫所有正確結論的編號）①平面；②平面；③與底面所成角的正切值是；④過點與異面直線與成角的直線有條.【答案】①②④【分析】通過線面垂直的判定定理或性質定理判斷①②，找出直線在平面上射影，示出線面角的正切值判斷③，求出異面直線與所成的角，進一步確定與它們成等角的直線的條件判斷④．【詳解】正方體中，,,且，則平面①正確；正方體中易證平面，由線面垂直定義可得，同理可得，和是平面內兩條相交直線，因此有平面，②正確；易證是在平面上的射影，是與平面所成角，顯然，③錯；由可得直線與所成的角是，抽象出圖形如下，，，，是的平分線，是其補角的平分線，與和夾角為，與和夾角為，直線繞（在平面的垂直平面內，保持與成等角）旋轉時，與的夾角（銳角）最大到，中間有成角的直線，共兩條，而直線同樣旋轉時，最小角是，不可能有角．所以過點與異面直線與成角的直線有2條，④正確．故答案為：①②④三、解答題10．（2021·上海市七寶中學高二期中）如圖，在直角三角形中，，斜邊，直角三角形可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角，動點在斜邊上.(1)求證：平面平面；(2)當為的中點時，求異面直線與所成角的正切值；(3)求與平面所成角的正切值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）證明為二面角的平面角，然后證明平面，得證面面垂直；（2）取中點．連接，證明異面直線與所成角為（或其補角），在中計算其正切值；（3）證明是與平面所成角，求出的最小值即到的距離即可得結論．(1)證明：因為，，所以為二面角的平面角，即，，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；(2)解：取中點．連接，如圖，因為是中點，所以，所以異面直線與所成角為（或其補角），由已知，，，平面，所以平面，而平面，所以，所以，又，，所以，，從而，，，；(3)由（1）知平面，所以是與平面所成角，又平面，則，，直角中，到上點的距離的最小值為邊上的高即，所以的最大值為．11．（2021·上海市七寶中學高二階段練習）已知，，，為空間四個點，是邊長2的等邊三角形，，（1）若，求點到平面的距離；（2）若，求直線與平面所成角的大小；（3）設點在平面內的射影為點，若點到三邊所在直線的距離相等，求實數的值.【答案】（1）；（2）（3）2【分析】（1）取的中點，連接，過作平面的垂線，垂足為，連接，由題意可求得，進而可求得，即可求解；（2）由（1）可知為直線與平面所成的角，求出即可（3）先確定的位置，易知中心，即可求解【詳解】（1）取的中點，連接，過作平面的垂線，垂足為，連接，由題意易知，則由三垂線定理的逆定理可知，又，故三點共線，因為，，所以，，所以，所以，因為，所以，所以點到平面的距離為；（2）由（1）可知為直線與平面所成的角，因為，，所以，所以直線與平面所成角的大小為；（3）因為點在平面內的射影為點，且點到三邊所在直線的距離相等，所以為內切圓的圓心，即內心，又因為為等邊三角形，所以為的中心，所以三棱錐為正三棱錐，所以，所以12．（2021·上海市徐匯中