第=page11頁，共=sectionpages11頁天津市濱海新區大港一中2024-2025學年高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共14小題，每小題5分，共70分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z=i1?i(iA.12 B.22 C.12.已知非零向量a、b，且AB=a+2b，?BCA.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D3.已知a，b是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，下列命題正確的是(

)A.若a/?/b，b?α，則a/?/α

B.若a⊥α，b?β，α/?/β，則a4.已知復數z=5+i(i為虛數單位)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.滿足條件a=4,bA.1個 B.2個 C.無數個 D.不存在6.若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中A′C′//O′B′，A.12

B.6

C.32

7.如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高h=(

)A.9cm

B.6cm

C.8.已知非零向量a，b滿足|a|=3|b|,a與bA.?1 B.?94 C.49.在△ABC中，“cosAA.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件10.如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，A.12a+b+c

11.為測量兩塔塔尖之間的距離，某同學建立了如圖所示的幾何模型.若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC，AC=60m，BA.7510m B.753m12.已知非零向量AB、AC滿足ABAB+ACA.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰(非等邊)三角形 D.等邊三角形13.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BADA.2116 B.32 C.251614.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，BBA.523

B.18

C.563

二、填空題：本題共6小題，共35分。15.已知(2x?1)+i=y+16.在四面體ABCD中，AC=BD=4，E，F分別是AD，BC17.已知向量a=(2,1),b=(?3,1)，①(a+b)18.已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A=π3，b=2，△A19.如圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直．則這個幾何體有

個面，其體積為

．

20.在棱長為2的正四面體ABCD中，點M滿足AM=xAB+yAC?三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題12分)

已知i為虛數單位，m∈R，復數z=(m2?8m+15)+(m2?4m+3)i．

(Ⅰ)若z是實數，求m的值；

(Ⅱ22.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，A1A=AB=BC=2．23.(本小題12分)

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知3(a?c)2=3b2?2ac．

(Ⅰ24.(本小題12分)

已知在四棱錐P?ABCD中，側面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，E，

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，屬于基礎題．

利用復數的除法運算化簡后利用模的公式計算．【解答】

解：z=i1?i=i(12.【答案】A

【解析】【分析】本題考查平面向量的共線，屬于基礎題．

證明三點共線，借助向量共線證明即可，故解題目標是驗證由三點組成的兩個向量共線即可得到共線的三點．【解答】

解：由向量的加法原理知：BD=BC+CD

=?5a+6b+7a?2b

=2a3.【答案】B

【解析】解：若a/?/b，b?α，則a/?/α、或a?α，故A錯誤；

若a⊥α，α/?/β，推得a⊥β，又b?β，則a⊥b，故B正確；

若a/?/α，a/?/β，則α/?/β或4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復數代數形式的除法運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．

直接由復數的運算化簡為a+bi(a,b∈R)的形式，則答案可求．

【解答】

解：∵z=55.【答案】B

【解析】解：由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，即16=18+c2?6c6.【答案】C

【解析】解：由斜二測畫法的直觀圖知，

A′C′//O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′=1，O′B′=2；

∴O′A′7.【答案】A

【解析】解：由題意可得，12×4π3×4.53=13×π×4.58.【答案】A

【解析】解：因為|a|=3|b|,a與b夾角的余弦值為13，

設|b|=t(t>0)，則|a|=3t，

因為(x9.【答案】C

【解析】解：充分性：在△ABC中，“cosA>cosB”，由余弦函數在(0,π)是減函數，故有A<B，

若B不是鈍角，顯然有“sinA<sinB”成立，

若B是鈍角，因為A+B<π，故有A<π?B<π2，故有sinA<sin(π?B)=sinB

綜上，“co10.【答案】D

【解析】解：連接MN，在△A1MN中，MN=MA1+A1N，

∵M是A1D1的中點，∴MA1=?A1D12=?AD2=?12b，

∵點N是CA1上的點，且CN：NA1=1：4．

∴A1N11.【答案】C

【解析】解：依題意，在Rt△MAC中，AC=60m，tan∠MCA=34，

tan∠MCA=AMAC=AM60=34，可得AM=45m，

則CM=AM2+AC2=12.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了平面向量的數量積的運算，三角形形狀的判斷，考查了學生綜合分析能力，屬于基礎題．

先根據(AB|AB|+【解答】

解：∵(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，AB|AB|，A13.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了向量數量積，坐標法解決向量問題，屬于中檔題．

以D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，求出A，B，【解答】

解：如圖所示，以D為原點，以DA所在的直線為x軸，

以DC所在的直線為y軸，過點B作BN⊥x軸，過點B作BM⊥y軸，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，

∴AN=ABcos60°=12，BN=A14.【答案】C

【解析】解：如圖，取AB中點，連接DN，MN，

易知MN//AB1//DC1，

∴過C1，D，M的平面截正方體的截面為四邊形MNDC1，

∴過C1，D，M的平面把正方體分成兩部分，則較小部分為三棱臺MNB15.【答案】72【解析】解：∵(2x?1)+i=y+(3?y)i，

∴2x?1=y，3?y16.【答案】60°【解析】解：取CD的中點G，連接EG、FG，

因為△ACD中，E、G分別是AD、CD的中點，

所以AC/?/EG，且AC=2EG，同理可證BD/?/FG且BD=2FG．

所以∠EGF(或其補角)就是異面直線AC、BD的所成角，

在△EFG中，EF=23，EG=FG=2，

可得cos∠E17.【答案】2

【解析】解：a+b=(?1,2)，所以(a+b)?a=?1×2+2×1=0，所以(a+b)⊥a，故①正確；

a+2b18.【答案】4π【解析】解：由12×2c?sinπ3=23，解得c=4．

∴a2=22+42?2×2×4cos19.【答案】20；【解析】【分析】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力能力與運算求解能力，是中檔題．

直接由對稱性可得該幾何體面的個數；該幾何體的體積為兩個四棱柱的體積和減去兩個四棱柱交叉部分的體積，兩個四棱柱的體積和為V=2×2×2×4=32，交叉部分的體積為四棱錐S?ABCD的體積的2倍，由該幾何體前后、左右、上下均對稱，知四邊形ABC【解答】

解：由對稱性可知，該幾何體共有20個面；

該幾何體的直觀圖如圖所示，

該幾何體的體積為兩個四棱柱的體積和減去兩個四棱柱交叉部分的體積，

兩個四棱柱的體積和為：V=2×2×2×4=32，

交叉部分的體積為四棱錐S?ABCD的體積的2倍，

在等腰△ABS中，SB=22，SB邊上的高為2，則SA=6，

∴由該幾何體前后、左右、上下均對稱，知四邊形ABCD為邊長為6的棱形，

設AC的中點為H，連結BH，20.【答案】?2【解析】解：由四點共面定理及三點共線定理可知，

M∈平面BCD，N∈直線AC，

當AM，BN最短時，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，

所以M為正△BCD的中心，N為AC的中點，

MC=2321.【答案】(Ⅰ)m=1或m=3；

(Ⅱ)m=5；

【解析】(Ⅰ)復數z=(m2?8m+15)+(m2?4m+3)i，

若z是實數，則m2?4m+3=0，解得m=1或m=3；

(Ⅱ)若z是純虛數，則m2?8m+15=0m2?4m+3≠0，解得m=5；

(Ⅲ)復數z與1?2i在復平面上對應的向量分別為22.【答案】(Ⅰ)證明過程見詳解；

(Ⅱ)證明過程見詳解；

(Ⅲ)π6【解析】(Ⅰ)證明：連接B1C，設B1C∩BC1=O，連接OD，

由題意可得O為CB1的中點，而D為AC的中點，

所以OD//AB1，

而AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，

所以AB1//平面BC1D；

(Ⅱ)證明：因為側棱AA1⊥底面ABC，

可得平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=A1C，

又因為AB=BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC，

BD?平面ABC，

所以BD⊥平面AA1C1C；23.【答案】(I)cosB=2【解析】(I)在△ABC中，由3(a?c)2=3b2?2ac，整理得a2+c2?b22ac=23，

又由余弦定理，可得cosB=23；

(II)由B∈(0,π)及(1)可得sinB=524.【答案】(Ⅰ)證明過程見詳解；

(Ⅱ)12；

(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)證明：連接AC交BE于O，

因為AD//BC，AD=2BC，E為AD的中點，所以O為AC的中點，

而F為PC的中點，所以OF//PA，

PA?平面