第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省深圳市鹽田高級中學等校2024-2025學年高二（下）期中聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知離散型隨機變量X的分布列為P(X=i)=ai2(i=1,2,3)，則a=A.112 B.113 C.1142.已知離散型隨機變量X滿足D(X)=0.01，且Y=10X+1，則D(Y)=(

)A.1 B.0.1 C.0.01 D.1.013.已知(12,12)為橢圓C：xA.1 B.233 C.24.某高校的教授為了完成一個課題，將4名研究生助理分配到3個實驗室進行為期一周的實驗來共同協助該教授完成該課題，要求每名研究生助理只去1個實驗室進行實驗，且每個實驗室至少安排1名研究生助理，則不同的安排方法的種數為(

)A.72 B.54 C.48 D.365.二項式(2x2?1x)A.?80 B.80 C.?40 D.406.已知某正三棱錐的側面均為直角三角形，且其各個頂點均在球O的表面上，若該三棱錐的體積與球O的表面積在數值上相等，則該三棱錐的側棱長為(

)A.3π B.6π C.12π D.18π7.研究表明某生物種群的數量Q(單位：千只)與時間t(t≥0，單位：年)的關系近似地符合函數Q(t)=metet+7，且在研究剛開始時，該生物種群的數量為5000A.先增大后減小 B.先減小后增大 C.逐年減小 D.逐年增大8.記Sn為數列{an}的前n項和.已知S2n=2aA.2×124 B.3×124 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.現用0，1，2，3，4共5個數字組成四位數，則(

)A.可以組成84個無重復數字的四位數 B.可以組成404個有重復數字的四位數

C.可以組成54個無重復數字的四位偶數 D.可以組成120個百位為奇數的四位偶數10.已知方程組|25+20i?z|=5|z?4?k|=|z?3i?k|有且僅有一個復數解z，則實數k的可能取值有(

)A.238 B.154 C.123811.某汽車零件制造廠使用最新技術對某款汽車零件制造工藝進行改進，抽取部分汽車零件由智能檢測系統進行篩選，其中部分次品汽車零件會被淘汰，篩選后的汽車零件進入流水線由工人進行檢驗，記事件A：“抽取的某汽車零件通過智能檢測系統篩選”，事件B：“抽取的某汽車零件經人工檢驗后合格”，且改進生產工藝后，這款汽車零件的抗壓質量指標ξ服從正態分布N(5.40,0.052)，現從中隨機抽取M個，這M個汽車零件中恰有m個的抗壓質量指標ξ位于區間(5.35,5.55)，則(

)

參考數據：P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826A.P(B|A)>P(B)

B.P(AB)P(B)=P(AB?)P(B?)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知曲線y=e2ax在點(0,1)處的切線斜率為?43，則a=13.一槍手進行射擊訓練，共射擊6次，每次命中概率相同，且每次射擊相互獨立，總共命中2次的概率和總共脫靶3次的概率相同，則其命中的概率為______．14.定義在R上的函數f(x)滿足對于任意實數x，y均有f(xy)=yf(x)，且2f(2)=f(1)+6，則f(2025)=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知二項式(2x?1x)6．

(1)16.(本小題15分)

某高中為了了解同學們對我國四大名著相關文學的掌握情況，從高二年級的學生中隨機抽取了20名同學分成A，B兩個小組進行了相關測試(滿分為100分)，測試結束后統計成績如表：A76788384859092959899B63727375808184859299(1)分別計算A組成績的極差和B組成績的第30百分位數；

(2)若對于本次測試，規定：成績≥90分時為優秀，從A組中隨機抽取1名學生，再從B組中隨機抽取1名學生，用隨機變量X表示這兩人的成績為優秀的人數，求X的分布列和數學期望．17.(本小題15分)

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2AE，A1F=FD1，C18.(本小題17分)

甲和乙兩人進行足球射門比賽.規定先贏滿三局的人獲勝，且不存在平局.已知每局比賽中，甲贏乙的概率為p，其中0<p<1．

(1)記比賽結束時，甲贏的次數為X，求X的分布列；

(2)記P1為甲和乙進行了4局比賽分出勝負的情況下甲獲勝的概率，P2為甲和乙進行了5局比賽分出勝負的情況下甲獲勝的概率.若P1>P19.(本小題17分)

若集合M，N滿足：?x∈M，?x∈N，且?x∈N，?x∈M，則稱M，N互為對偶集.已知函數f(x)=11+e?x+a(x+1)+bx3，定義At={x|f(x)>t}，Bt={x|f(x)<t}．

(1)b=0，a=?14時，證明：?p<q，Af(p)?Af(q)；

(2)證明：存在答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由題意得：P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a(12+22+32)=1，

解得：a=114．

2.【答案】A

【解析】解：因為D(X)=0.01，且Y=10X+1，

所以D(Y)=102D(X)=100×0.01=1．

故選：A．

3.【答案】C

【解析】解：(12,12)為橢圓C：x2m2+y2=1上一點，

則14m2+144.【答案】D

【解析】解：將4名研究生助理分配到3個實驗室進行為期一周的實驗來共同協助該教授完成該課題，

即將4人分為1，1，2三組，共有C42=6種分法，

再將三組人分到三個實驗室，共有6A33=36種分法．

故選：D5.【答案】B

【解析】解：二項式(2x2?1x)5展開式中含x4項為C53(2x2)3(?6.【答案】D

【解析】解：設該三棱錐的側棱長為a，

則根據題意可得該三棱錐的外接球O的直徑2R即為棱長為a的正方體的體對角線長，

所以(2R)2=3a2，所以球O的表面積為4πR2=3a2π，

又該三棱錐的體積為13×12×a3=16a37.【答案】A

【解析】解：由題意可得，Q(0)=m1+7=5，

解得m=40，

則Q(t)=40etet+7，

所以Q′(t)=40et(et+7)?40et?et(et+7)2=280et(et+7)2=2808.【答案】C

【解析】解：由S2n=2an?1，可得S2n+2=2an+1?1，又S2n?1=2an+1?1，即2an+1=S2n?1+1，

所以S2n+2=S2n?1，即a2n+2+a2n+1+a2n=0，

S4n=2a2n?1，S4n+1=S2(2n+1)?1=2a2n+2?1，

故a4n+1=S4n+1?S4n=2a2n+2?2a2n=?2(a2n+a2n+19.【答案】BD

【解析】解：對于A，可以組成無重復數字的四位數有4×4×3×2=96個，故A錯誤；

對于B，可以組成有重復數字的四位數4×5×5×5?96=404個，故B正確；

對于C，若組成無重復數字的四位偶數，

若個位數為0，有4×3×2=24個，

若個位數字不為0，有2×3×3×2=36個，共有24+36=60個，故C錯誤；

對于D，可以組成百位為奇數的四位偶數有4×2×5×3=120個，故D正確．

故選：BD．

根據排列組合知識可逐一判斷．

本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題．10.【答案】AC

【解析】解：結合復數的幾何意義，由|25+20i?z|=5，可知復數z對應的點Z1的軌跡為以C(25,20)為圓心，5為半徑的圓C，

由|z?4?k|=|z?3i?k|，可知復數z對應的點Z2的軌跡為由點A(4+k,0)與B(k,3)所連線段的垂直平分線l，

而方程組|25+20i?z|=5|z?4?k|=|z?3i?k|有且僅有一個復數解，即直線l與圓C相切．

由A(4+k,0)與B(k,3)知線段AB的中點M(k+2,32)，直線AB的斜率為?34，

則線段AB的垂直平分線l′：y?32=43(x?k?2)，即l′：8x?6y?8k?7=0，

由圓心C(25,20)到直線l′：8x?6y?8k?7=0的距離為|8×25?6×20?8k?7|82+62=5，

即|73?8k|=5011.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由條件概率的定義，可得P(B|A)>P(B)，選項A正確；

對于B，因為P(B|A)>P(B)，所以P(A)P(B|A)>P(A)P(B)，其中P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P(AB)=P(A)P(B)，

又因為P(AB)+P(AB?)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B?|A)，所以P(AB)>P(B)?[P(AB)+P(AB?)]，

即P(AB)?P(AB)?P(B)>P(B)P(AB?)，即P(AB)[1?P(B)]>P(B)P(AB?)，

因為P(B)∈(0,1)，所以P(AB)P(B)>P(AB?)1?P(B)，即P(AB)P(B)>P(AB?)P(B?)，所以選項B正確；

??對于C，指標ξ服從正態分布N(5.40,0.052)，可得μ=5.40，σ=0.05，則μ?σ=5.35，μ+3σ=5.55，

因為P(μ?σ<ξ≤μ?σ)≈0.6826，P(μ?3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974，

所以P(μ?σ<ξ≤μ+3σ)≈0.6826×12+0.9974×12=0.84，選項C錯誤；

對于D，由m～B(M,0.84)，可得P(m=45)=CM450.8445×0.16M?45，

設f(x)=Cx45?0.8445?0.16x?45，由f(x+1)f(x)=C12.【答案】?2【解析】解：設f(x)=e2ax，

則f′(x)=2ae2ax，

因為曲線y=e2ax在點(0,1)處的切線斜率為?43，

所以f′(0)=2a=?43，

解得13.【答案】37【解析】解：根據題意，一槍手進行射擊訓練，共射擊6次，設該搶手每次命中的概率為p，

用X表示6次射擊訓練中命中的次數，則X～B(6,p)，

若總共命中2次的概率和總共脫靶3次的概率相同，則有C62×p2×(1?p)4=C63×p3×(1?p)3，

即15p2(1?p)4=20p14.【答案】4050

【解析】解：用x替換y可得f(xy)=yf(x)=xf(y)，

當x≠0，y≠0時，f(x)x=f(y)y，故可知f(x)x是常函數，

于是當x≠0時，f(x)=cx，其中c為常數，故4c=c+6，解得c=2，

于是f(2025)=2×2025=4050．

故答案為：405015.【答案】60；

T4=?160【解析】(1)二項式(2x?1x)6的通項Tr+1=C6r(2x)6?r(?1x)r=(?1)r26?rC6rx6?32r，r=0，1，2，…，16.【答案】23，74；

分布列見解析，E(X)=710【解析】(1)由表格可得A組成績的極差為99?76=23，

因為10×30%=3，

所以B組成績的第30百分位數為73+752=74；

(2)根據題意得，A組中優秀的學生有5人，B組中優秀的學生有2人，

所以X的可能取值為0，1，2，

則P(X=0)=C51?C81C10X012p211所以E(X)=0×25+1×12+2×110=71017.【答案】證明見解答；

255【解析】(1)證明：因為EF2=22+22+(2)2=10，CE2=22+(22)2=12，

CF2=42+22+(2)2=22，

故EF?2+CE2=CF2，

所以EF⊥CE，又A1G//CE，

故EF⊥A1G，

取CD中點M，連接D1M，GM，EM，

因為E，M分別為AB，CD的中點，故EM//FD1，

所以E、F、D1、M四點共面．

易知四邊形DD1GM為正方形，故DG⊥DM，

又FD1⊥平面DCC1D1，DG?平面DCC1D1，

故FD?1⊥DG，

而FD1∩D1M=D1，FD1、D1M?平面EFD1M，

故DG⊥平面EFD1M.因為EF?平面EFD1M，

所以EF⊥DG，

又A1G∩DG=G，A1G、DG?平面A1DG，

所以EF⊥平面A1DG，而EF?18.【答案】(12【解析】(1)根據題意，則X所有可能的取值為0，1，2，3，

于是P(X=0)=(1?p)3，

P(X=1)=C31p(1?p)3=3p(1?p)X

0

1

2

3

P

(1?p

3p(1?p

6p(2)記事件B為“進行了4局比賽分出勝負”，

則P(B)=C32p3(1?p)+C32p(1?p)3=3p(1?p)(2p2?2p+1)，

記事件A為“甲獲勝”，則事件AB表示“進行了4局比賽以后甲獲勝”，

則P(AB)=C12p3(1?p)=3p2(1?p)，

∴進行了4局比賽分出勝負的情況下，

甲獲勝的概率為P1=P(A|B)=P(AB)P(B)=3p3(1?p)3p(1?p)(2p2?2p+1)=p22p2?2p+1，

記事件B1為“進行了5局比賽分出勝負”，

則P