二年級奧數

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第一講速算與巧算

速算與巧算的思想是整比散好，小比大好，乘比加好，主要學習下面幾種

方法：1,湊整法。2.帶符號搬家，3.變加為乘。4.抵消法。5,減法巧算(添去括號)

6.基準數法7.等差數列求和

一、“湊整”先算

1.改變加數的位■來計算簡便：

(1)24+44+56

解：(1)24+44+56=24+(44+56)

=24+100=124

因為44+56=100是個整百的數，所以先把它們的和算出來.

(2)53+36+47=

2.拆項湊整數來計算簡便：(1)96+15(2)52+69

解：(1)96+15=96+(4+11)

=(96+4)+11=100+11=111

把15分拆成15=4+11,這是因為96+4=100,可湊整先算.

(2)52+69=(21+31)+69

=21+(31+69)=21+100=121

因為69+31=100,所以把52分拆成21與31之和，再把31+69=100湊整先算.

3.加補湊整來計算簡便：(1)63+18+19(2)28+28+28

解：(1)63+18+19

=60+2+1+18+19

=60+(2+18)+(1+19)

=60+20+20=100

將63分拆成63=60+2+1就是因為2+18和1+19可以湊整先算.

(2)28+28+28

=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6

=30+30+30-6=90-6=84

因為28+2=30可湊整，但最后要把多加的三個2減去.

4.試一試：

43+88+57=165+199=99+136+101=

9+99+999+5=1361+972+639+28=

二、改變運算順序(帶符號搬家)：在只有號的混合算式中，運算順序一般是從左

向右依次運算，能有更好的方法嗎？

計算：(1)45-18+19

解：(1)45-18+19=45+19-18

=45+(19-18)=45+1=46

把+19帶著符號搬家，搬到?18的前面.然后先算1948=1.

(2)64-87+36=(3)192+79-92=

三、變加為乘

1.6+6+6+5+6+6+6=

四、抵消法

1.92-30+7+30-72.119-93+18-119+93+18

五、減法巧算

1.87-15-4-1=2.83-(23+19)

六、基準數法

(1)計算：23+20+19+22+18+21

解：仔細觀察，各個加數的大小都接近20,所以可以把每個加數先按20相加，然后再

把少算的加上，把多算的減去.

23+20+19+22+18+21

=20x6+3+0-1+2-2+1

=120+3=123

6個加數都按20相加，其和=20x6=120.23按20計算就少加了“3”，所以再加上“3”；

19按20計算多加了“1”，所以再減去“1”，以此類推.

(2)計算：102+100+99+101+98

解：方法L仔細觀察，可知各個加數都接近100,所以選100為基準數，采用基準數法

進行巧算.

102+100+99+101+98

=100x5+2+0-1+1-2=500

方法2：仔細觀察，可將5個數重新排列如下：(實際上就是把有的加數帶有符號搬家)

102+100+99+101+98

=98+99+100+101+102

=100x5=500

可發現這是一個等差連續數的求和問題，中間數是100,個數是5.

七、計算等差連續數的和

相鄰的兩個數的差都相等的一串數就叫等差連續數，又叫等差數列，如：

1,2,3,4,5,6,7,8,9

1,3,5,7,9

2,4,6,8,10

3,6,9,12,15

4,8,12,16,20等等都是等差連續數.

1.等差連續數的個數是奇數時，它們的和等于中間數乘以個數，簡記成:

和二中間數x個數.

(1)計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9

=5x9中間數是5

=45共9個數

(2)計算：1+3+5+7+9

=5x5中間數是5

=25共有5個數

(3)計算：2+4+6+8+10

=6x5中間數是6

=30共有5個數

(4)計算:3+6+9+12+15

=9x5中間數是9

=45共有5個數

(5)計算：4+8+12+16+20

=12x5中間數是12

=60共有5個數

2.等差連續數的個數是偶數時，它們的和等于首數與末數之和乘以個數的一半，簡記成:

和二(首數+末數)X個數的一半

(1)計算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=(1+10)x5=llx5=55

共10個數，個數的一半是5,首數是1,末數是10.

(2)計算：

3+5+7+9+11+13+15+17

=(3+17)x4=20x4=80

共8個數，個數的一半是4,首數是3,末數是17.

(3)計算：

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

=(2+20)x5=110

共10個數，個數的一半是5,首數是2,末數是20.

試一試

1.計算：

(1)18+28+72(2)87+15+13(3)43+56+17+24(4)28+44+39+62+56+21

2.計算:

(1)98+67(2)43+28(3)75+26

3計算:

(1)82-49+18(2)82-50+49(3)41-64+29

4?計算:

(1)99+98+97+96+95(2)9+99+999

5.計算：

(1)5+6+7+8+9(2)5+10+15+20+25+30+35

(3)9+18+27+36+45+54(4)12+14+16+18+20+22+24+26

6.計算:

(1)53+49+51+48+52+50

(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84

7.計算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5

第二講找規律

準備題：觀察下面各列數的規律

(1)1,3,5,7,9,11.......

(2)1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4.......

一、數列：一列數有規律的排列叫數列

例1：指出下列數列規律，并在()里填上適當的數

(1)3,6,9,12,(),()

(2)2,5,8,11,(),()

(3)97,93,89,(),()

試一試：(1)2,4,6,(),1(),()

(2)1,7,13,19,(),()

(3)87,83,79,75,(),()

例2：找規律填空

(1)2,4,8,16,(),()

(2)1,2,4,7,11,16,(),()

(3)1,1,2,3,5,8,(),(),34

試一試：

(1)3,4,6,9,13,18,(),()

(2)1,4,9,16,(),(

例3：找規律填空

(1)10,11,9,12,8,(),()

(2)2,5,3,8,9,2,5,3,8,9,2,(),()

練一練：按規律填數。

(1)()、()、2、3、4、5

(2)0、2、()、()、8、10

(3)1、()、5、()、9、11

(4)1、2、4、7、()、()

(5)10、8、6、()、()

(6)0、3、6、9、()、()

(7)0、5、10、()、()

(8)5、7、1、3、()、7,1,3,5,()

(9)12、9、6、()、()

(10)2、4、8、14、()、()

(11)8,13,21,34,()、89,()

(12)14,15,13,16,12,17,11,()、()

(13)3,4,6,9,(),()

（14）1、3、6、8、11、（）、（）

(14)1、2、3、5、8、（）、（）

二、應接著填什么圖形,請你接著畫下去。（每個括號或線上只填一個圖形）

（1）OAOAOA（（）、（）

⑵□□。口口。口口6）、（）、（）

⑶△。。△△。。然）、（）、（）

（4）☆□☆□"□□□'—'一、—

⑸△▲□。△▲□。、一、一、一

三、填空題

1.下圖是按照一定規律排列起來的，請按這一規律在“空格內”畫出適當的圖形.

3.請找一找圖形的變化規律,在空格處畫出恰當的圖形.

4.下面一組圖形的陰影變化是有規律的，請根據這個規律把第匹幅圖的陰影部分畫出來.

5.觀察下面這組圖形的變化規律,在標號處畫出相應的圖形.

A◎

⑥A①

②dBb

第三講巧數圖形

數出某種圖形的個數是一類有趣的圖形問題。由于圖形千變萬化，錯綜復雜，所以要想準確地數出其

中包含的某種圖形的個數，還真需要動點腦筋。要想有條理、不重復、不遺漏地數出所要圖形的個數，最

常川的方法就是分類數。

一、數線段的方法主要有兩種，一種是按照線段的端點有序地數；另一種是按照包含基本線段的條數

來分類數出線段總條數。

例1數出下圖中共有多少條線段。

ABCD

分析與解：我們可以按照線段的左端點的位置分為A,B,C三類。如下圖所示，以A

為左端點的線段有3為，以B為左端點的線段有2條，以C為左端點的線段有1條。

所以共有3+2+1=61條）o

我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構成的來分類。如下圖所示，AB,BC,

CD是最基本的小線段，由一條線段構成的線段有3條，由兩條小線段構成的線段有2

條，由三條小線段構成的線段有1條。

所以，共有3+2+1=6（條）。

由例1看出，數圖形的分類方法可以不同，關鍵是分類要科學，所分的類型要包

含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復、不遺漏。

1.數一數，圖3—5中有多少條線段？

BCDE

2.圖3-5

2.下列圖形中各有多少條線段?

(1)I--1--1--1--1--1--1--1

%卜2A3&A5AsA7A8

(2)I_I_i_i--------1—?

AAA

1A2A3A4..........2021

3.下面這個長方形中共有多少條線段？你能想出幾種方法解答?

例2下列各圖形中，三角形的個數各是多少？

分析與解：因為底邊上的任何一條線段都對應一個三角形（以頂點及這條線段的兩個端

點為頂點的三角形），所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數就是三角形

的總個數。由前面數線段的方法知，

圖（1）中有三角形2+1=3（個）。

圖（2）中有三角形3+2+1=6（個）。

圖⑶中有三角形4+3+2+1=10（個）。

圖⑷中有三角形5+4+3+2+1=15（個）。

圖（5）中有三角形

6+5+4+3+2+1=21（個）。

例3下列圖形中各有多少個三角形?

分析與解：（1）只需分別求出以AB,ED為底邊的三角形中各有多少個三角形。

以AB為底邊的三角形ABC中，有三角形

1十2十3=6（個）。

以ED為底邊的三角形CDE中，有三角形

1+2+3=6（個）。

所以共有三角形6+6=12（個）o

這是以底邊為標準來分類計算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線段數”而得

出三角形的個數。我們也可以以小塊個數作為分類的標準來計算：圖中共有6個小塊。

由1個小塊組成的三角形有3個；

由2個小塊組成的三角形有5個；

由3個小塊組成的三角形有1個；

由4個小塊組成的三角形有2個；

由6個小塊組成的三角形有1個。

所以，共有三角形3+5+1+2+1=12（個）。

（2）如果以底邊來分類計算，各種情況較復雜，因此我們采用以“小塊個數”為分類標

準來計算：

由1個小塊組成的三珀形有4個；

由2個小塊組成的三角形有6個;

由3個小塊組成的三角形有2個：

由4個小塊組成的三角形有2個；

由6個小塊組成的三角形有1個。

所以，共有三角形4+6+2+2+1=15（個）。

試一試：

1下列圖形中各有多少個三角形？

2.地數出下面這幅圖中二角形的個數：

A

C

【解析】：

首先把上圖中的三角形分為3類：以線段FG上的各條線段為底邊的三角形;

以線段DE上的各條線段為底邊的三角形；以線段BC上的各條線段為底邊的三

角形。

再數出以線段FG上的各條線段為底邊的三角形的個數。線段FG上共有線

段：3+2+1=6（條），以A為一個頂點，以其中任何一條線段為底，均可得到一

個三角形，共可得6個三角形。

同理可求出以線段DE上的各條線段為底邊的三角形有6個；以線段BC上

的各條線段為底邊的三角形也有6個。

3.觀察，數出下圖中共有多少個三角形？

A

【解析】：

與上一題相似，首先數出以線段BC、BD上的各條線段為底邊的三角形各有:

5+4+3+2+1=15（個）。

與上題不同的是：BD、BC相交于BD點，構成三角形BCD,在三角形BCD內

共有5個三角形。

所以上圖中共有三角形：15X2+5=35（個）。

例4右圖中有多少個三犯形?

解：假設每一個最小三角

形的邊長為1。按邊的長度來分

類計算三角形的個數。

邊長為1的二角形，從上到下一層一層地數，有

1+3+5+7=16（個）:

邊長為2的三角形（注意，有一個尖朝下的三角形）有1+24-3+1=7W;

邊長為3的三角形有1+2=3（個）；

邊長為4的三角形有1個。

所以，共有三角形16+7+3+1=27（個）。

例5數出下頁左上圖中銳角的個數。

分析與解：在圖中加一條虛線，如下頁右上圖。容

易發現，所要數的每個角都對應一個三角形（這個角與它所截的虛線段構成的三角

形），這就回到例2,從而回到例1的問題，即所求銳角的個數，就等于從。點引出的

6條射線將虛線截得的線段的條數。虛線上線段的條數有

1+2+3+4+5=15（條）o

所以圖中共有15個銳角。

例6在下圖中，包含“木”號的K方形和正方形共有多少個？

解：按包含的小塊分類計數。

包含1小塊的有1個;包含2小塊的有4個;

包含3小塊的有4個;包含4小塊的有7個;

包含5小塊的有2個;包含6小塊的有6個;

包含8小塊的有4個;包含9小塊的有3個;

包含10小塊的有2個；包含12小塊的有4個;

包含15小塊的有2個。

所以共有

1+4+4+7+2+6+4+3+2+4+2=39（個）。

數線段練習題

思維［本驗

1、數出下面的圖形中各有多少條線段。

2,數出下面的圖形中各有幾個三個角形。

3.下列圖形中，各有多少個小于180°的角？

Q）⑵

4、數一數，下圖中有多少個長方形？

5、數一數，下圖生有多好三角也?

6、數一數，下圖中有多少條線段?

想一想，數這個圖中的線條

數，能直接用基本線段條數順

Lj火加到1嗎？為什么?

7、數一數，下圖中有多少個三角形?

這個圖形與

有什么不一樣？

8、數一數卜面的圖形中含有☆的長方形有多少個？

☆

第四講間隔之謎

喜羊羊來教你念兒歌?

小朋友，張開手，

五個手指人人有，

手指之間幾個“空巴

請你仔細看一看？

分析：見上圖看一看，數一數可知：五個手指間有4個“空”。“空”又叫"間

隔”，也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。

第一關：鋸木頭

例1把一根木為粵曲&段詼蝴”:出？//口里心近?反卬Q合鐘,一共要鋸多少分鐘？

P)))

鋸木頭的段數問題，主要要明白鋸成木頭的段數比鋸木頭的次數多1o

即：段數=次數+1次數=段數一1

例2把1根木頭鋸斷，要2分鐘。把這根木頭鋸成4段，要幾分鐘？

Q

1.一根繩子長8米，把它剪成2米長的小段，可以剪多少段？要剪多少次?

2.一根竹竿長30米，要全部截成5米長的小段，共要鋸幾次？

3.一根8米長的繩子，剪了3次，平均每段長多少米？

4.把一根16米長的鋼管鋸成4段，每鋸一次用6分鐘，一共需要幾分鐘？

5..一根木料，要鋸成4段，每鋸開一處要5分鐘，全部鋸完要多少分鐘？

例題3一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了15分鐘。已知每鋸下一段要3分鐘，這

根圓木長多少米？

6.把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘。已知每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成

了多少段？

7.一根繩子被剪了4次后，平均每段長4厘米，這根繩子原來總長多少厘米？

8.把1根木頭鋸斷，要2分鐘。把這根木頭鋸成4段，要幾分鐘？

9.一根木料鋸成3段要6分鐘。如果每次鋸的時間相同，那么鋸7段要多少分鐘？

第二關：爬樓梯

爸爸給洋洋出了一道題：“我們家住在四樓，每上一層樓你要1分鐘，你從一樓走到四樓

要幾分鐘？”洋洋隨口答道：“4分鐘」小朋友，洋洋答得對嗎？看來樓梯中也藏著數學知

識。

爬樓梯遇到的層次問題，主要要明白幾樓與幾層樓梯是不同的，從底樓起，樓數比樓梯

層數多lo

即：樓數=樓梯層數+1樓梯層數=樓數一1

例4小軍家住在5樓，每上1層樓梯要2分鐘。他從1樓走到5樓要用幾分鐘呢?

例5某人到一座高層樓的8樓去辦事，不巧停電，電梯停開。他從1樓走到4樓用了24秒。

用同樣的速度走到8樓，還要多長時間？

分析:

1.小紅家住六樓，她從底樓走到二樓用1分鐘，那么她從底樓走到六樓要用幾分鐘？

2.榮榮住的這棟樓共七層，每層樓梯20級，她家住在四樓，你知道榮榮走多少

級樓梯才能到自己住的那一層？

3.某人到一座高層樓的11樓去辦事，不巧停電，電梯停開。他從1樓走到3樓用了18秒。

用同樣的速度走到11樓，還要多少長時間？

第三關：敲鐘問題

敲鐘遇到的時間問題，主要要明白敲的次數比鐘聲之間的間隔數

即：次數=間隔數+1間隔數=次數一1

例6時鐘4點鐘敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

j]2秒、

第1下第2下第3下第4下第5下第6下

1.時鐘3點鐘敲3下，6秒鐘敲完；6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完?

2.時鐘5點鐘敲5下需8秒鐘，那么9點敲9下需要多少秒？

3.時鐘12秒鐘敲7下，敲10下需要幾秒？

4.小玲家的“三五”牌時鐘在報時時，每隔5秒敲響一下。八點整時，時鐘報時一共用了多少

秒？

第四關：排隊

例7同學們上體育課，有9個男生排成一排，相鄰兩個男生相隔2米。問這排

男生排列的長度有多少米？

1.10名男生排成一隊，老師要求每兩名男生之間插進一名女生，可

以插進幾名女生？

cc

%。旨終極關：我們來植樹！（植樹問題）

解答這類問題的關鍵是要弄清楚總距離、間隔長和棵樹二者之間的關系。植樹問題的基本

數量關系:每段距離X段數二總距離。

解答植樹問題要考慮植樹的方式：（如圖示）一種是在不封閉的線路上植樹。

（1應一段距離中，兩端都植樹，棵數二段數+1;

奉奉奉奉率奉率奉

(2底一段距離中，兩端都不植樹,棵數二段數?1；

年牟全"主

(3底一段距離中，一端不植樹,棵數二段數.

3.在封閉曲線上植樹,棵數二段數.

經典例題

例8一條路長100米。在路的一側從頭到尾每隔10米栽一棵樹。共栽多少棵樹?

\）米

1.一條路長72米。在路的一側從頭到尾每隔9米栽一棵樹。共栽多少棵樹?

2.一條路長25米，少先隊員在路的兩旁栽樹，起點終點都栽，一共栽了12棵樹，每兩棵樹

之間相隔多少米？

3.兩幢樓之間相距12米，每隔2米種一棵樹，一共種了幾棵樹？

4.繩子長1米，每隔10厘米打一個結，一共要打幾個結？

例9小朋友在一段馬路的一邊從頭到尾種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路

有多長？

1米

1.兩幢樓之間每隔2米種一棵樹，共種了5棵樹，這兩幢樓之間相距多少米?

2.兩根欄桿之間，每隔5米放一輛自行車，一共放了8輛，這兩根欄桿之間相距多少米？

例10一個圓形的花壇，周長是30米。每隔6米種芍藥花，每相鄰兩棵芍藥花之間種兩棵月

季花。可以栽多少棵芍藥花？多少棵月季花？

1.一條路長25米，少先隊員在路的兩旁栽樹，起點終點都栽，一共栽了12棵樹，每兩棵樹

之間相隔多少米？

2.圓形池塘周圍每隔6米栽一棵樹，一共栽了9棵樹，池塘的周長是多少米？

牛刀小試

1、一根鋼管長8米，鋸成1米一段，如果每鋸一次需要3分鐘，要幾分鐘才能鋸完?

2、10名男生排成一隊，老師要求每兩名男生之間插進一名女生，可以插進幾名女生?

3、時鐘2點打2下，4秒敲完，4點打4下，幾秒敲完？

4、小明家住在4樓，他每上一層樓需要1分鐘，小明從一層走到四層要幾分鐘？

5、從實驗小學到公園門口這段路長100米，在路的兩邊每隔10米栽了一棵梅花樹，兩頭都

沒栽，一共栽了多少棵梅花樹？

6.在一個周長是48米的池塘周圍種樹，每隔6米種一棵樹，一共種了多少棵？

7,汽車站每隔10分鐘開出一輛汽車，1小時開出多少輛汽車?

笫十五講畫圖湊數法

例1一只雞有一個頭2只腳，一只兔有一個頭4只腳.如果一個籠子里關著

的雞和兔共有10個頭和26只腳，你知道籠子里有幾只雞、有幾只兔嗎？

解：這是古代的民間趣題，叫“雞兔同籠”問題.見圖15-1（1）、

（2）、（3）.

①先畫10個頭：

超熱&超苞都檢苞色總

S15-1（1）

②每個頭下畫上兩條腿：

數一數，共有20條腿，比題中給出的腿數少26-20二6條腿.

③給一些雞添上兩條腿，叫它變成兔.邊添腿邊數，湊夠26條腿.

每把一只雞添上兩條腿，它就變成了兔，顯然添6條腿就變出來3只兔.這

祥就得出答案，籠中有3只兔和7只雞.

例2一輛自行車有2個輪子，一輛三輪車有3個輪子.車棚里放著自行車和

三輪車共10輛，數數車輪共有26個.問自行車幾輛，三輪車幾輛？

解：發揮想像力和創造力，你可以畫一個簡圖代表車身，見圖15-2

C1）、（2）、（3）.

①先畫10個車身:

LLLLLLLLLL

圖15-2(1)

②在每個車身下配上兩個輪子，它就成了自行車：

LLLLLLLLLL

圖15-2(2)

③數一數共20個車輪，比題中給出的輪子數少26-20二6個輪子，在自行車下

面添輪子，每添一個輪子，這個自行車就成了三輪車.邊添邊湊數，湊出26個

輪子出來.

6輛三輪車4輛自行車一/

圖15-2(3)

例3.一只蝴蝴6條腿，一只蜘蛛8條腿，現在兩種動物一共8只，一共有60條腿，那么有

幾只蛾蛾，幾只蜘蛛？

我是畫圖小能手:

L一個籠子里裝著雞和兔一共有10只，有24條腿，問籠子里有幾只雞？幾只兔子?

2.雞兔同籠，共有5個頭，16條腿。籠中雞兔各有多少只？

3.自行車和三輪車一共有6輛，有13個輪子，自行車和三輪車各有多少輛？

4.一只蛾蝴6條腿，一只蜘蛛8條腿，現在兩種動物一共5只，一共有36條腿，那么有幾只

幾只蜘蛛？

5.明明有五分的和一角的兩種汽車票，共10張，總錢數是七角五分.問每種各幾張？

6.王領隊帶領41名隊員一同去劃船，共租了9條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人，那

么需要租大船幾條，小船幾條？

第六講移多補少

例1填空。

（1）OOO

OOOOOOOOO

第一行有（）個。，第二行有（）個。。

第二行比第一行多（）個。；從第二行移（）個到第一行，兩行O

的個數同樣多。

歹IJ式：9-3=664-2=3

（2）■■■■■■■■■

■■■■■

第一行有（）個?，第二行有（）個?。

第二行比第一行少?）個?，從第一行移（）個到第二行，兩行

的■就同樣多。列式：

舉一反三

1.要使兩行?的個數相等，應從第二行移幾個到第一行？

???

OOOOOOO列式：

2.（1）第一行：★★★

第二行：__________________

從第二行移3個★到第一行，兩行★的個數相等，第二行有兒個★?

（2）第一行：__________________

第二行：▲▲▲▲▲▲▲

從第二行移2個▲到第一行，兩行的▲個數就同樣多，第一行應放幾個上？

3.要使上行與下行的?相差4個，怎樣擺？

?????

?????

題型一已知兩份不等量物品，求怎樣移動才可以使兩份物品一樣多。

例2左邊有6個氣球，右邊有8個氣球，要讓兩邊的氣球個數相等，應從右邊

拿幾個到左邊？

舉一反三

1.男孩有5個香蕉，女孩有9個香蕉，女孩再給男孩幾個，他們倆就一樣多了？

2.小猴子有8個桔子，小松鼠有2個桔子，小猴子再給小松鼠幾個，他們的桔

子就一樣多了？

3.甲、乙兩堆棋子，甲堆有36粒，乙堆有20粒，每次從甲堆中取2粒到乙堆

中，取幾次兩堆棋子的粒數同樣多？

小結：先求相差幾個，再將相差的幾個平均分成兩份，其中一份便是需要

移動的物品個數。

題型二

已知兩份物品相差的個數，求怎樣移動才可以使兩份物品一樣多。

例2小蘭比小力多了4本書，小蘭給小力幾本書，他們的書才一樣多？

舉一反三

1、紅紅的蘋果比麗麗的多8個，紅紅給麗麗幾個后，她倆的蘋果就同樣多了

呢？

2、男女同學各排成一隊，如果男同學比女同學多6人，要使兩隊人數一樣應

該怎么辦？

3、小林有一個兩層文具盒，上層比下層多4枝筆，如果下層拿1枝到上層，

這時上層比下層多幾枝？

小結：將相差的葉數平均分成兩份，其中一份便是需要移動的物品修。

訓練快餐：

1、小明有16個貝殼，小紅有12個貝殼。小明給小紅幾個貝殼，兩人貝殼個

數就會同樣多？

2、二（1）班有2個隊，第二隊比第一隊多8人，怎樣調整，兩隊人數同樣多？

3、小青有兩盒糖，甲盒有糖78粒，乙盒有38粒，每次從甲盒取5粒糖放到

乙盒中，取幾次兩盒的粒數就同樣多？

4、二（1）教室有48張凳子，二（2）教室有12張凳子，二張二張地端,端

幾次二（1）教室的凳子和二（2）教室的凳子同樣多？

5、甲有20支彩筆，乙有10支彩筆，甲給乙幾支后，甲比乙還多4支?

第七講重疊問題

三(3)班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發一份

紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有

5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數學中，我們將

這樣的問題稱為重疊問題。

解答重疊問題要用到數學中的一個重要原理一包含與排除原理，即當兩個計數部分有

重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分.

解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖

形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。

例題1六一兒童節，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數起，黑旗是第8面；從后數起，黑

旗是第10面。這行彩旗共多少面？

思路導航：根據題意，畫出下圖：

8面

1。面

從圖上可以看出，從前數起黑旗是第8面，從后數起是第10面，這樣黑旗就數了兩次，重復

了一次，所以這行彩旗共有8+10—1=17面。

例題2同學們排隊做操，每行人數同樣多。小明的位置從左數起是第4個，從右數起是第3

個，從前數起是第5個，從后數起是第6個。做操的同學共有多少個？

前思路導航：根據題意，畫出下圖：

OOOoOO由圖可看出：小明的位置從左數第4個，右數第3個，說明橫行有4+3

OOOoOO

OOOoOO—1=6個人；從前數第5個，從后數第6個，說明豎行有5+6—1=10

OOOoOO人，所以做操的同學共有：6x10=60人。

左OOOeOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

OOOoOO

后

例題3把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長

12厘米，中間重疊部分是4厘米，這兩塊木板各長多少厘米？

思路導航：把等長的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的部分是

4匣米，所以這兩塊木板的總長度是12+4=16厘米，每塊木板的長度是16:2=8厘米。

例題4一次數學測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有20人，做對第二道聰明題的有

18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？

思路導航：根據題意，畫出下圖：

圖中間重疊部分表示兩道題都做對的人數，把做第一道題和做對第二道題的人數加起來得20

+18=38人，這38人比全班總人數36多出了38—36=2人，這多出的2人既在做對第一題的

人數中算過，也在做對第二道題的人數中算過，即表示兩道題都做對的人數。

例題5三(1)班訂《數學報》的有32人，訂《閱讀報》的有3()人，兩份報紙都訂的有1()

人，全班每人至少訂一種報紙。三(1)班有學生多少人？

思路導航：根據題意，畫出下圖：

訂兩份報紙的人數

從上圖可以看出，中間重疊剖分表示兩份報紙都訂的10人，這10人既被包括在訂《數學報》

的32人內，又被包括在訂《閱讀報》的30人內，重復算了一次，所以要算出全班人數，必

須從32+30=62人中去掉被重復算過的10人。所以全班人數應是62—10=52人。

練習題

①學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數起是第12個，從右數起是第21個。這一行座位

有多少個？

②為慶祝“六一”，同學們排成每行人數相同的鮮花隊，小華的位置從左數第2個，從右數第4

個；從前數第3個，從后數第5個。鮮花隊共多少人？

③把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長14厘米的木板。中間重合部分長2厘米，這兩

塊木板各長多少厘米？

④三（1）班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比褰中的一種。已知參加賽跑的有36人,

參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？

⑤三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。

三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？

第八講還原問題

閱讀與思考

奶奶買了一些李子，爺爺吃了一半，媽媽吃了剩下的一半，還剩3個，奶

奶買了多少個李子？()T()-3

例子可以看出，對于有些問題，當順著題目條件的敘述去尋找解法時，往往

有一定的困難，但是，如果改變思考順序，從問題敘述的最后結果出發，一步

一步倒著思考，一步一步往回算，原來加的用減，減的用加，原來乘的用除，

除的用乘，那么問題便容易解決。這種解題方法叫做還原法或逆推法，用還原

法解題的問題叫做還原問題。

典型例題

例1一個數加上25,再減去38后是20。這個數是多少？

分析我們從問題入手，按照下圖的思路來尋求解決辦法。

+25-38

()-------?()-------?20

要求的這個數最后是20,如果不減去38,就是20+38=58；如果不加上

25,就是58—25=33。算完后注意這樣檢驗：33+25-38=20。

訓練快餐1(1)一個數加上48,再減去29后是50。這個數是多少？

(2)一個數減去19,再加上36后是60。這個數是多少？

例2一個數乘4,再除以3后是8。這個數是多少？

分析我們從問題入手，按照下圖的思路來尋求解決辦法。

X44-3

<)--------?()--------?8

要求的這個數最后是8,如果不除以3,就是8X3=24；如果不乘4,就是

24+4=6。算完后注意這樣檢驗：6X44-3=8o

訓練快餐2

(1)一個數乘6,再除以4后是9。這個數是多少？

(2)一個數除以2,再乘4后是20。這個數是多少？

例3小剛的姥姥今年年齡減去7歲后，縮小9倍，再加1歲后才10歲。

小剛的奶奶今年多少歲？

分析我們從問題入手，按照下圖的思路來尋求解決辦法。

-7.9+1

()----------?()----------?()----------?10

從最后一個條件恰好是100歲向前推算，加上I歲之后是10歲，沒有加1

歲之前應是10—1=9歲；沒有縮小9倍之前應是9X9=81歲；減去7之后是

81歲，沒有減去歲7前應是81+7=88歲。

訓練快餐3

(1)一個數的3倍加上6,再減去9,結果得21。這個數是多少？

(2)一個數加上3,乘3,再減去3,最后除以3,結果還是3,這個數是

幾？

例4小馬虎在做一道加法題目時，把一個加數個位上的5看成了9,把十

位上的8看成了3,結果得到的和是43。正確的結果應是多少？

分析把一個加數個位上的5看成了9,就多加了4；把一個加數十位上的

8看成了3,就少加了50。把錯誤的和43加上50,再減去4,就是正確的和了。

訓練快餐4

(1)小明在做一道加法題時，把一個加數個位上的6看成了9,把十位上

的0看成了8,結果得到的和是100。正確的結果應是多少？

(2)小陽在做一道減法題時，把被減數個位上的3看成了8,把十位上的

7看成了1,結果得到的差是36。正確的結果應是多少？

例5某商場春季優惠出售洗衣機，上午售出了總數的一半，下午售出剩下

的一半后，還剩10臺。這個商場原來有洗衣機多少臺？

分析我們可以根據題意，畫出線段圖進行分析思考。

io臺

?臺

結合上圖，從“下午售出剩下的一半后還剩10臺”向前倒推，上午售后剩

下的一半，那么上午售出后剩下的臺數就是10X2=20臺；而20臺又正好是總

數的一半，那么原有洗衣機的臺數就是20X2=40臺。

訓練快餐5

(1)糧庫內有一批大米，第一次運出總數的一半，第二次運出剩下的一半,

還剩下5噸。糧庫原有大米多少噸？

(2)爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半，第二天吃了

剩下的一半，還剩下3個。爸爸買了多少個橘子?

能力檢測

1.在口中填入合適的數。

(1)0+38-52=48

(2)(□-10)義2=16

2.一個數加上10,再減去20后是50,這個數是多少？

3.一個數減去18,再加上26后是66,這個數是多少？

4.一個數乘6,再除以5后是6,這個數是多少？

5.一個數除以4,再乘6是48,這個數是多少？

6.一個數加上10,再除以2后是9,這個數是多少？

7.一個數減去10,再乘5后是15,這個數是多少？

8.一個數加5,再乘5,在減5,最后得20,這個數原來是多少？

9.歡歡在做一道加法題時，把一個加數個位上的0看成了3,把十位上的5看

成了8,結果得到的和是68。正確的結果應是多少？

10.樂樂在做一道減法題時，把被減數個位上的6看成了9,把十位上的9看成

T5,結果得到的差是30。正確的結果應是多少？

11.乘風電器商場春節優惠出售電視機，上午售出了總數的一半，下午售出剩下

的一半后，還剩2臺。這個商場原來有電視機多少臺？

12.媽媽買了一些蘋果，全家人第一天吃了這些蘋果的一半，笫二天吃了剩下的

一半，還剩下4個。媽媽買了多少個蘋果？

13.小紅問王老師今年多大年紀，王老師說：“把我的年齡減去10,再除以2,

恰好是10歲。”王老師今年多少歲？

14.五路車在文化宮站下車12人后又上車15人，這時車上共有38人。車上原

有多少人？

15.一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，還剩6米。這段布原

來長多少米？

16.甲、乙、丙三人各有一些連環畫，甲給乙3本，乙給丙5本后，三人的本數

同樣多。乙原來比丙多多少本？

第九講和倍問題

智慧屋

我們把已知幾個數的和以及它們之間的倍數關系，求這幾個數各是多少的題目稱為和倍

問題。解答和倍問題時，我們要確定一個數為標準，一般是比較小的那個數，假定它為一倍

（一份），再根據其他兒個數與較小數的倍數關系，確定這幾個數是較小數的幾倍，然后用除

法求出較小數，再算出其他各數。

【例1】根據線段圖列式：

（1）［倍

甲:;?:

?米.卜米

/A：I1?------------1,

算式：__________________

【解析】列式：28+（3+1）=7（米）

例1、二（1）班和二（2）班共為“希望工程”捐書27本。（1）班捐的本數是（2）班

的2倍，兩個班各捐書多少本？

畫圖：

同步演練1

1.五、六年級的同學們共植樹24棵，已知六年級植樹的棵數是五年級2倍。每個年級各

植樹多少棵？

2.明明和圓圓共有筆24支，明明的筆是圓圓的3倍。明明和圓圓各有幾支筆？

3、爸爸今年的年齡是文文的7倍，他們的年齡相加是32歲。爸爸今年多少歲？

例2、二⑴班的圖書角里有故事書和連環畫共47本，如果故事書拿走7本后，故事書的本數就是連環畫4倍.

原有連環畫和故事書各有多少本？

1倍

連環畫、

?本4.___________7本卜47本

故事書:?」JC±Zi

'----------------------------v-------------------------'）

?本

1小學買來足球和籃球共30個，己知買來的足球的個數比籃球的2倍還多3個，學校買來

足球和籃球各多少個？

2.王明和張1映有34根料本王明比張華的3倍少2本。兩人各有練習本多少本？

3.小學數學興趣小組學生68人，其中參加競賽的人數是沒有參加競賽人數的8倍少4人，參加競賽的學

生有（）人。

例3有兩堆棋子，每一堆有30個，第二堆有24個。從第二堆拿出多少個給第一堆，

就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍？

同步演練3

甲、乙兩倉庫原來各存糧10噸、17噸。要使乙倉庫的糧食是甲倉庫的2倍，必須從甲

倉庫運出多少噸給乙倉庫？

例4、王老師和李老師共有15元錢，如果再給王老師3元錢，那么李老師的錢數就正好

是王老師的2倍。王老師原來有多少元錢？

同步演練4L兩個倉庫共存糧20噸，第二個倉庫如果再存入4噸，就正好是第一個倉庫

的2倍。兩個倉庫原來各存糧多少噸？

2.乙、丙三個數的和是20,曰數是乙數的2倍，乙數是丙數的3倍。甲、乙、丙三個數各是

多少？

3.乙、丙三個同學共集郵票56枚，乙的郵票是甲的2倍，丙的郵票是乙的2倍，甲、乙、丙各有郵票多

少枚？

第十講差倍問題

一、走進來：

有一天爺爺接冬冬放學回家，冬冬又問爺爺今年多少歲了。爺爺不高興了，就給他出了一

個題:我們倆今年年齡差是48歲，我的年齡是你的7倍，你算一下我多少歲了？你能算出冬冬爺

爺多少歲嗎？

小朋友，你一定自己就能給“差倍問題”下定義了吧？這類問題的解答方法與“和倍問

題”類似。快畫圖，試試看！

分析：通過剛才畫圖，我們發現兩個人的年齡差是48歲，爺爺是7倍數，小明是1倍數，爺

爺比小明多兒倍呢？多7-1=6倍，那么6倍是48歲，你知道一倍數是多少歲嗎？48+6=8

（歲）就是小明的年齡。小明的年齡是8歲，爺爺的年齡是小明的7倍，8X7=56（歲）還有

其他方法嗎？還可以用8+48=56（歲），這樣就可以用兩種不同的方法來求多倍數了。

二、一起做：

【例1】學校田徑隊的男生比女生多12人，男生人數正好是女生人數的3倍°女生有多

少人？（畫圖解題）

分析：

1、讀題理解題意，找到一倍數和多倍數分別是女生人數和男生人數，先畫出一倍數，再

畫出多倍數。

2、“男生比女生多12人”在線段圖中