高二數學期望試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.已知離散型隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{1}{3}\)，\(k=1,2,3\)，則\(E(X)\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)2.若隨機變量\(X\)服從兩點分布，且\(P(X=0)=0.8\)，\(P(X=1)=0.2\)，則\(E(X)\)為（）A.\(0.2\)B.\(0.8\)C.\(0.5\)D.\(1\)3.已知隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=-1)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=0)=\frac{1}{3}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{6}\)，則\(E(X)\)為（）A.\(-\frac{1}{3}\)B.\(0\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(1\)4.設隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{C}{k(k+1)}\)，\(k=1,2,3\)，\(C\)為常數，則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{8}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)5.已知隨機變量\(X\)服從二項分布\(X\simB(n,p)\)，且\(E(X)=2\)，\(p=\frac{1}{4}\)，則\(n\)的值為（）A.\(4\)B.\(6\)C.\(8\)D.\(10\)6.若隨機變量\(X\)的概率分布為\(P(X=x_1)=\frac{2}{3}\)，\(P(X=x_2)=\frac{1}{3}\)，且\(x_1\ltx_2\)，又\(E(X)=\frac{4}{3}\)，\(D(X)=\frac{2}{9}\)，則\(x_1+x_2\)的值為（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{7}{3}\)C.\(3\)D.\(\frac{11}{3}\)7.已知隨機變量\(Y=2X+1\)，若\(E(X)=2\)，則\(E(Y)\)等于（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)8.設隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，則\(E(X+2)\)為（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)9.已知隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(3,\sigma^2)\)，且\(P(X\leqslant4)=0.84\)，則\(E(X)\)為（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(0.84\)D.\(0.16\)10.若隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{a}{2^k}\)，\(k=1,2,\cdots\)，則\(E(X)\)為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關于數學期望的說法正確的是（）A.數學期望是隨機變量取值的平均值B.離散型隨機變量的數學期望是所有可能取值與其對應概率乘積的和C.若隨機變量\(X\)服從二項分布\(X\simB(n,p)\)，則\(E(X)=np\)D.數學期望反映了隨機變量取值的平均水平2.已知隨機變量\(X\)的分布列如下，\(P(X=-1)=0.4\)，\(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.4\)，則（）A.\(E(X)=0\)B.\(E(X)=0.2\)C.\(E(X^2)=0.8\)D.\(E(2X+1)=1\)3.設隨機變量\(X\)服從兩點分布，若\(P(X=1)-P(X=0)=0.2\)，則（）A.\(P(X=1)=0.6\)B.\(P(X=0)=0.4\)C.\(E(X)=0.6\)D.\(E(X)=0.4\)4.已知隨機變量\(X\)服從二項分布\(X\simB(n,p)\)，且\(E(X)=3\)，\(D(X)=2\)，則（）A.\(n=9\)B.\(n=6\)C.\(p=\frac{1}{3}\)D.\(p=\frac{2}{3}\)5.若隨機變量\(X\)，\(Y\)滿足\(Y=aX+b\)（\(a\)，\(b\)為常數），則（）A.\(E(Y)=aE(X)+b\)B.\(E(Y)=aE(X)\)C.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)D.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)6.下列隨機變量中，數學期望為\(0\)的有（）A.隨機變量\(X\)，其分布列為\(P(X=-1)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{2}\)B.隨機變量\(Y\)服從正態分布\(N(0,1)\)C.隨機變量\(Z\)，其分布列為\(P(Z=-2)=\frac{1}{4}\)，\(P(Z=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(Z=2)=\frac{1}{4}\)D.隨機變量\(W\)，其分布列為\(P(W=0)=1\)7.已知離散型隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{m}{k(k+1)}\)，\(k=1,2,3\)，則（）A.\(m=\frac{3}{2}\)B.\(E(X)=\frac{3}{2}\)C.\(E(X)=\frac{2}{3}\)D.\(E(X)=1\)8.設隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{1}{n}\)，\(k=1,2,\cdots,n\)，則（）A.\(E(X)=\frac{n+1}{2}\)B.\(E(X)=\frac{n}{2}\)C.\(E(X^2)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}\)D.\(E(X^2)=\frac{n(n+1)}{2}\)9.已知隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，且\(E(X)=3\)，則（）A.\(\mu=3\)B.\(P(X\gt3)=0.5\)C.\(P(X\lt3)=0.5\)D.正態曲線關于直線\(x=3\)對稱10.若隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=1)=a\)，\(P(X=2)=b\)，\(P(X=3)=c\)，且\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數列，則（）A.\(b=\frac{1}{3}\)B.\(E(X)=2\)C.\(E(X)=1\timesa+2\timesb+3\timesc\)D.\(a+c=\frac{2}{3}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.隨機變量\(X\)的數學期望\(E(X)\)是一個實數，其大小不依賴于試驗的結果。（）2.若隨機變量\(X\)服從均勻分布，那么\(E(X)\)等于區間端點的平均值。（）3.已知隨機變量\(X\)的分布列，則\(E(X)\)一定是\(X\)的一個可能取值。（）4.若\(X\)是離散型隨機變量，\(Y=3X+2\)，則\(E(Y)=3E(X)+2\)。（）5.對于任何隨機變量\(X\)，都有\(E(X^2)=[E(X)]^2\)。（）6.若隨機變量\(X\)服從二項分布\(X\simB(n,p)\)，則\(E(X)=np(1-p)\)。（）7.已知隨機變量\(X\)，\(Y\)相互獨立，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。（）8.隨機變量\(X\)的數學期望\(E(X)\)反映了\(X\)取值的離散程度。（）9.若隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=k)=\frac{1}{n}\)，\(k=1,2,\cdots,n\)，則\(E(X)=\frac{n+1}{2}\)。（）10.若隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(E(X)=\mu\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)，\(P(X=3)=0.2\)，求\(E(X)\)。答案：根據期望公式\(E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+x_3P(X=x_3)\)，可得\(E(X)=1×0.3+2×0.5+3×0.2=1.9\)。2.隨機變量\(X\)服從二項分布\(X\simB(5,\frac{1}{3})\)，求\(E(X)\)。答案：對于二項分布\(X\simB(n,p)\)，\(E(X)=np\)，這里\(n=5\)，\(p=\frac{1}{3}\)，所以\(E(X)=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\)。3.已知隨機變量\(Y=4X-3\)，\(E(X)=2\)，求\(E(Y)\)。答案：因為\(Y=4X-3\)，根據\(E(aX+b)=aE(X)+b\)，這里\(a=4\)，\(b=-3\)，\(E(X)=2\)，所以\(E(Y)=4×2-3=5\)。4.離散型隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=-1)=a\)，\(P(X=0)=0.4\)，\(P(X=1)=b\)，且\(E(X)=0\)，求\(a\)，\(b\)的值。答案：由分布列性質\(a+0.4+b=1\)，即\(a+b=0.6\)①；又\(E(X)=-1×a+0×0.4+1×b=0\)，即\(b-a=0\)②，聯立①②解得\(a=0.3\)，\(b=0.3\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.結合生活實例，談談數學期望在決策中的作用。答案：比如投資決策。有兩個投資項目，項目\(A\)收益的數學期望較高但風險大，項目\(B\)收益期望低但風險小。若投資者追求高回報且能承受風險，可選擇\(A\)；若保守求穩，就選\(B\)。數學期望為決策提供量化依據。2.如何理解隨機變量的數學期望與平均值的關系？答案：數學期望是對隨機變量取值的一種加權平均。對于離散型隨機變量，它是各取值與其概率乘積的和。普通平均值是數據總和除以個數。在大量重復試驗時，隨機變量取值的實際平均值會趨近于數學期望，數學期望是理論上的平均水平。3.舉例說明數學期望在風險評估中的應用。答案：在保險行業，保險公司根據投保人的風險狀況計算理賠的數學期望。如某種疾病保險，通過統計發病率等算出賠付的期望金額。若期望賠付過高，保險公司會提高保費或調整保險條款，以平衡風險和收益。4.當隨機變量的分布發生變化時，數學期望會怎樣改變？答案：若分布中概率較大的取值改變，期望會受影響。比如離散型隨機變量\(X\)，原分布列中較大概率取值增大，期望可能增大；若分布整體離散程度