基本不等式的試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=4\)，則\(ab\)的最大值是（）A.1B.2C.4D.82.已知\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x}\)的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.當\(x\gt2\)時，函數\(y=x+\frac{1}{x-2}\)的最小值為（）A.2B.3C.4D.54.若\(a\)，\(b\inR^+\)，且\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)的最小值為（）A.2B.3C.4D.55.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=1\)，則\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\frac{1}{16}\)D.\(\frac{1}{32}\)6.函數\(y=\frac{x^2+3x+6}{x+1}(x\gt-1)\)的最小值是（）A.3B.4C.5D.67.若正實數\(a\)，\(b\)滿足\(ab=4\)，則\(a+b\)的最小值為（）A.2B.4C.6D.88.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=1\)，則\((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\)的最小值是（）A.4B.6C.8D.99.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=2\)，則\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)的最小值是（）A.1B.2C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{5}{2}\)10.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1\)，則\(x+y\)的最小值是（）A.7B.8C.9D.10多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列說法正確的是（）A.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，則\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)B.若\(a\lt0\)，\(b\lt0\)，則\(\frac{a+b}{2}\leq-\sqrt{ab}\)C.對任意\(a\)，\(b\inR\)，都有\(a^2+b^2\geq2ab\)D.若\(a\)，\(b\inR\)，則\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)2.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，則下列能使\(x+y\)取得最小值的條件有（）A.\(xy=1\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)C.\(x=2y\)D.\(x^2+y^2=2\)3.若\(a\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=4\)，則下列式子中值為定值的有（）A.\(ab\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)C.\(a^2+b^2\)D.\(\frac{1}{ab}\)4.以下函數中，能利用基本不等式求最小值的有（）A.\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)B.\(y=2x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)C.\(y=x^2+\frac{1}{x^2}\)D.\(y=x+\frac{1}{x-1}(x\gt1)\)5.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+3y=5xy\)，則\(3x+4y\)的值可能為（）A.\(\frac{13}{5}\)B.\(\frac{24}{5}\)C.5D.66.設\(a\)，\(b\)為正實數，則下列不等式恒成立的是（）A.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)B.\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\)C.\(\frac{a^2+b^2}{2}\geq(\frac{a+b}{2})^2\)D.\((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq4\)7.已知\(m\gt0\)，\(n\gt0\)，且\(m+n=2\)，則（）A.\(mn\leq1\)B.\(\sqrt{m}+\sqrt{n}\leq2\)C.\(m^2+n^2\geq2\)D.\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\geq2\)8.若\(x\)，\(y\inR^+\)，且\(x+y=1\)，則（）A.\(xy\)有最大值\(\frac{1}{4}\)B.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)有最大值\(\sqrt{2}\)C.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)有最小值4D.\(x^2+y^2\)有最小值\(\frac{1}{2}\)9.下列函數中，最小值為\(4\)的是（）A.\(y=x+\frac{4}{x}\)B.\(y=\sinx+\frac{4}{\sinx}(0\ltx\lt\pi)\)C.\(y=4e^x+e^{-x}\)D.\(y=\log_3x+4\log_x3(x\gt1)\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)都是正實數，且\(a+b+c=1\)，則（）A.\(abc\leq\frac{1}{27}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9\)C.\(a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}\)判斷題（每題2分，共10題）1.當\(a\gt0\)，\(b\gt0\)時，\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)當且僅當\(a=b\)時取等號。（）2.對任意\(a\)，\(b\inR\)，\(a^2+b^2\geq2ab\)恒成立。（）3.若\(x\gt0\)，則\(x+\frac{4}{x}\)的最小值是\(4\)。（）4.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則\(ab\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。（）5.函數\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增。（）6.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是\(2\)。（）7.當\(a\)，\(b\)同號時，\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。（）8.若\(a\)，\(b\)為正實數，\(a+b=4\)，則\(a^2+b^2\)的最小值為\(8\)。（）9.函數\(y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\)的最小值為\(\frac{5}{2}\)。（）10.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)，則\(x+y\)的最小值是\(4\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)成立的條件及等號成立的條件。答案：成立條件是\(a\gt0\)，\(b\gt0\)；等號成立條件是\(a=b\)。2.已知\(x\gt0\)，求\(y=x+\frac{9}{x}\)的最小值，并說明取最小值時\(x\)的值。答案：由基本不等式，\(y=x+\frac{9}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=6\)，當且僅當\(x=\frac{9}{x}\)即\(x=3\)時取最小值\(6\)。3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=2\)，求\(ab\)的最大值。答案：因為\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，由基本不等式\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)，已知\(a+b=2\)，則\(ab\leq(\frac{2}{2})^2=1\)，所以\(ab\)最大值為\(1\)。4.當\(x\gt1\)時，求函數\(y=x+\frac{1}{x-1}\)的最小值。答案：\(y=x+\frac{1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1\)，因為\(x\gt1\)，\(x-1\gt0\)，則\((x-1)+\frac{1}{x-1}\geq2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}}=2\)，所以\(y\geq2+1=3\)，最小值為\(3\)。討論題（每題5分，共4題）1.在利用基本不等式求最值時，需要注意哪些問題？請舉例說明。答案：需注意“一正、二定、三相等”。“一正”即各項為正，如\(y=x+\frac{1}{x}\)，\(x\gt0\)才能用；“二定”是和或積為定值，如求\(y=x(1-x)\)，\(x\in(0,1)\)，\(x+(1-x)=1\)定值可求最值；“三相等”要能取到等號，如\(y=x+\frac{4}{x}\)，當\(x=\frac{4}{x}\)即\(x=2\)能取等號才有最值。2.基本不等式在實際生活中有哪些應用場景？請舉例并說明求解思路。答案：如求面積一定時矩形周長最小值。例如面積為\(16\)的矩形，設長為\(a\)，寬為\(b\)，\(ab=16\)，周長\(C=2(a+b)\)，由基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}=8\)，所以\(C\geq16\)，思路是根據實際關系列出式子，利用基本不等式求最值。3.如何理解基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)與\(a^2+b^2\geq2ab\)之間的聯系與區別？答案：聯系：都體現兩數和、積、平方和關系，\(a^2+b^2\geq2ab\)可變形為\(\frac{a^2+b^2}{2}\geqab\)。區別：基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)要求\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a^2+b^2\geq2ab\)對任意\(a\)，\(b\inR\)都成立。4.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，求\(x+y\)的最小值。請討論不同解法及思路。答案：方法一：\(x+y=(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})=1+9+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\geq10+2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}=16\)，思路是構造乘積為定值。方法二：由\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)得\(y=\frac{9x}{x-1}\)，\(x+y=x+\frac{9x