專科考研試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.設\(A\)、\(B\)為兩個事件，\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(AB)=0.2\)，則\(P(A\cupB)\)為（）A.0.6B.0.8C.0.4D.0.23.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.1B.2C.3D.44.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.-25.方程\(x^{2}-5x+6=0\)的根是（）A.\(x=2\)，\(x=3\)B.\(x=-2\)，\(x=-3\)C.\(x=1\)，\(x=6\)D.\(x=-1\)，\(x=-6\)6.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，則\(\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(\frac{\pi}{2}\)7.拋物線\(y=x^{2}\)的焦點坐標是（）A.\((0,\frac{1}{4})\)B.\((\frac{1}{4},0)\)C.\((0,1)\)D.\((1,0)\)8.函數\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)9.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.410.\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)3.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)的元素有（）A.1B.2C.3D.44.以下哪些是橢圓的標準方程（）A.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)D.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)5.直線的方程形式有（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式6.下列哪些是三角函數的誘導公式（）A.\(\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha\)B.\(\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha\)C.\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\cot\alpha\)D.\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\)7.一個正方體的棱長為\(a\)，則它的（）A.表面積為\(6a^{2}\)B.體積為\(a^{3}\)C.對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.面對角線長為\(\sqrt{2}a\)8.以下哪些屬于導數的運算法則（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^{2}}(v\neq0)\)D.\((u^n)^\prime=nu^{n-1}\)9.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)B.\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\)C.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)D.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)10.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n=a_1q^{n-1}\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)C.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)D.\(a_{n+1}^{2}=a_n\cdota_{n+2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=x^{2}\)在\(R\)上是單調遞增函數。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）4.圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)的圓心坐標是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）5.兩個向量的夾角范圍是\([0,\pi]\)。（）6.若\(f(x)\)是偶函數，則\(f(-x)=f(x)\)。（）7.等差數列的前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)。（）8.\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0)\)。（）9.雙曲線的漸近線方程可以通過令雙曲線方程等于\(0\)變形得到。（）10.定積分的值一定是正數。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3x^{2}-2x+1\)的導數。答案：根據求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=(3x^{2}-2x+1)^\prime=3\times2x-2=6x-2\)。2.解不等式\(2x-3\gt5\)。答案：移項可得\(2x\gt5+3\)，即\(2x\gt8\)，兩邊同時除以\(2\)，解得\(x\gt4\)。3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=-\frac{4}{5}\)（\(\alpha\)為第二象限角，\(\cos\alpha\lt0\)）。4.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\(k\)為斜率，\((x_1,y_1)\)為直線上一點），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)的單調性。答案：在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調遞減。當\(x_1\ltx_2\lt0\)或\(0\ltx_1\ltx_2\)時，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)，根據\(x_1\)、\(x_2\)取值可判斷\(f(x_1)\gtf(x_2)\)。2.談談橢圓和雙曲線在定義和性質上的異同。答案：相同點：都是圓錐曲線。不同點：定義上，橢圓是到兩定點距離之和為定值，雙曲線是到兩定點距離之差的絕對值為定值。性質上，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)；橢圓有封閉圖形，雙曲線有漸近線。3.如何利用導數判斷函數的極值點？答案：先求函數導數，令導數為\(0\)得駐點。再判斷駐點兩側導數的符號，若左正右負，則駐點為極大值點；若左負右正，則駐點為極小值點；若兩側符號相同，則不是極值點。4.舉例說明向量在實際生活中的應用。答案：如力的分解與合成，一個物體受多個力作用，可將這些力看作向量進行合成或分解分析。還有在航海中，船的航行方向和速度也可用向量表示，通過向量運算確定實際航