三階行列式試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.三階行列式\(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}\)的值為（）A.0B.5C.6D.1答案：C2.若三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=1\)，則\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\2a_{21}&2a_{22}&2a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B3.三階行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}\)的值為（）A.2B.1C.0D.-2答案：A4.行列式\(\begin{vmatrix}0&0&a\\0&b&0\\c&0&0\end{vmatrix}\)的值為（）A.\(abc\)B.\(-abc\)C.0D.\(ab+bc+ca\)答案：B5.若\(\begin{vmatrix}x&1&2\\0&3&1\\4&x&2\end{vmatrix}=0\)，則\(x\)的值為（）A.2B.-2C.3D.-3答案：A6.三階行列式\(\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\-1&0&1\end{vmatrix}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.2答案：A7.行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\end{vmatrix}\)中元素\(a_{21}\)的代數(shù)余子式的值為（）A.-7B.7C.-5D.5答案：A8.已知三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=m\)，則\(\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}+a_{3}&b_{2}+b_{3}&c_{2}+c_{3}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}\)的值為（）A.\(m\)B.\(2m\)C.0D.\(-m\)答案：A9.三階行列式\(\begin{vmatrix}k&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{vmatrix}=0\)，則\(k\)的值為（）A.1B.-2C.1或-2D.0答案：C10.行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix}\)的值為（）A.\((a-b)(b-c)(c-a)\)B.\((a+b)(b+c)(c+a)\)C.0D.\((a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)答案：A多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于三階行列式性質(zhì)正確的有（）A.交換兩行（列），行列式變號B.某一行（列）的公因子可以提到行列式外面C.若某一行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和D.把行列式某一行（列）的各元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，行列式的值不變答案：ABCD2.三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)中元素\(a_{23}\)的余子式和代數(shù)余子式說法正確的是（）A.余子式\(M_{23}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\)B.代數(shù)余子式\(A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}\)C.余子式是劃去\(a_{23}\)所在的行和列后剩下的二階行列式D.代數(shù)余子式與余子式符號可能相同答案：ABC3.若三階行列式\(\begin{vmatrix}x&1&2\\1&x&0\\2&0&x\end{vmatrix}=0\)，則\(x\)的值可能為（）A.0B.2C.-2D.1答案：ABC4.以下三階行列式值為0的有（）A.\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{vmatrix}\)B.\(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}\)C.\(\begin{vmatrix}a&b&c\\ka&kb&kc\\d&e&f\end{vmatrix}\)（\(k\)為非零常數(shù)）D.\(\begin{vmatrix}1&2&3\\3&1&2\\4&3&5\end{vmatrix}\)答案：ABC5.關(guān)于三階行列式展開法則正確的是（）A.按第一行展開\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\)B.對角線法則：主對角線元素乘積之和減去副對角線元素乘積之和C.可以按任意一行或一列展開D.按第二列展開\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32}\)答案：ACD6.三階行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix}\)化簡后可能是（）A.\((a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\)B.\((a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\1&c&a\\1&a&b\end{vmatrix}\)C.\(-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\)D.\((a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\0&c-b&a-c\\0&a-b&b-c\end{vmatrix}\)答案：ABD7.若三階行列式\(\begin{vmatrix}1&x&x^{2}\\1&y&y^{2}\\1&z&z^{2}\end{vmatrix}\)，則以下正確的是（）A.它的值為\((x-y)(y-z)(z-x)\)B.當\(x=y\)時，行列式值為0C.可以通過行列式性質(zhì)進行化簡計算D.屬于范德蒙行列式答案：ABCD8.三階行列式\(\begin{vmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{vmatrix}\)具有以下哪些特點（）A.是反對稱行列式B.主對角線元素全為0C.行列式值為0D.行列式值為12答案：ABD9.已知三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=n\)，那么（）A.\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}=n\)B.\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+a_{31}&a_{22}+a_{32}&a_{23}+a_{33}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=n\)C.\(\begin{vmatrix}ka_{11}&ka_{12}&ka_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=kn\)（\(k\)為非零常數(shù)）D.\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)與它的轉(zhuǎn)置行列式相等答案：ACD10.三階行列式計算方法有（）A.定義法B.利用行列式性質(zhì)化簡后計算C.按行（列）展開D.化為上三角或下三角行列式計算答案：ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.三階行列式中某一行元素全為0，則行列式值為0。（）答案：對2.交換三階行列式的兩行，行列式的值不變。（）答案：錯3.三階行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\)中元素\(b\)的代數(shù)余子式\(A_{12}=-\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}\)。（）答案：對4.若三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=0\)，則它的行向量組線性相關(guān)。（）答案：對5.三階行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{vmatrix}\)的值為1。（）答案：錯6.把三階行列式某一列元素都乘以同一個數(shù)\(k\)，行列式的值變?yōu)樵瓉淼腬(k\)倍。（）答案：對7.三階行列式的對角線法則適用于任意階行列式。（）答案：錯8.若三階行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix}=0\)，則\(a=b=c\)。（）答案：錯9.三階行列式\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\)可以通過行列式性質(zhì)化為\((x+2)(x-1)^{2}\)。（）答案：對10.一個三階行列式的值與其轉(zhuǎn)置行列式的值互為相反數(shù)。（）答案：錯簡答題（每題5分，共4題）1.簡述三階行列式按行展開法則。答案：設(shè)三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)，按第一行展開為\(a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\)，其中\(zhòng)(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，\(M_{ij}\)是\(a_{ij}\)的余子式，劃去\(a_{ij}\)所在行和列后的二階行列式，也可按其他行或列展開。2.說明如何利用行列式性質(zhì)計算三階行列式。答案：利用性質(zhì)將行列式化為上三角或下三角行列式，如交換行（列）變號，某行（列）公因子提出來，某行（列）元素為兩數(shù)之和可拆成兩個行列式之和，某行（列）倍數(shù)加到另一行（列）行列式值不變等性質(zhì)簡化計算。3.寫出三階行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\)中元素\(e\)的余子式和代數(shù)余子式。答案：元素\(e\)的余子式\(M_{22}=\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}\)，代數(shù)余子式\(A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}\)。4.解釋為什么三階行列式中若有兩行元素對應(yīng)成比例，行列式值為0。答案：根據(jù)行列式性質(zhì)，若某行元素是另一行元素的\(k\)倍，將該行減去另一行的\(k\)倍，該行元素全為0，而三階行列式中某一行元素全為0時，行列式值為0，所以有兩行元素對應(yīng)成比例時，行列式值為0。討論題（每題5分，共4題）1.討論三階行列式在解析幾何中的應(yīng)用。答案：在解析幾何中，三階行列式可用于求三角形面積。若三角形三個頂點坐標為\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)，\((x_3,y_3)\)，則三角形面積\(S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\