高三數(shù)學(xué)試題大題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)4.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)5.復(fù)數(shù)\(z=1+2i\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(5\)6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)9.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種A.\(15\)B.\(24\)C.\(28\)D.\(30\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\cosx\)2.下列函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)3.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.焦點在\(y\)軸4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數(shù)，下列命題正確的是（）A.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，則\(ac\gtbc\)B.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)C.若\(ac^2\gtbc^2\)，則\(a\gtb\)D.若\(a\gtb\)，\(c\lt0\)，則\(ac\ltbc\)5.以下屬于基本不等式應(yīng)用的有（）A.求\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.求\(y=x^2+1\)的最小值C.求\(y=\sqrt{x(1-x)}(0\ltx\lt1)\)的最大值D.求\(y=\frac{1}{x-1}(x\gt1)\)的最大值6.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則下列說法正確的是（）A.若\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞增B.若\(a_1\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_n\}\)單調(diào)遞減C.\(a_n=a_1q^{n-1}\)D.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)7.直線\(l\)過點\((1,2)\)，且斜率為\(2\)，則直線\(l\)的方程可以是（）A.\(y-2=2(x-1)\)B.\(2x-y=0\)C.\(y=2x\)D.\(x-2y+3=0\)8.對于函數(shù)\(y=\cos2x\)，以下說法正確的是（）A.周期為\(\pi\)B.對稱軸為\(x=\frac{k\pi}{2}(k\inZ)\)C.對稱中心為\((\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},0)(k\inZ)\)D.在\((0,\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞減9.已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)B.\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)C.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)D.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)10.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取\(3\)個數(shù)，構(gòu)成的三位數(shù)是偶數(shù)的情況有（）A.個位是\(2\)時，有\(zhòng)(A_{4}^2\)種B.個位是\(4\)時，有\(zhòng)(A_{4}^2\)種C.共\(24\)種D.共\(30\)種三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）3.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）4.函數(shù)\(y=\log_2x\)在定義域上單調(diào)遞減。（）5.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)與\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)共線。（）6.等比數(shù)列的公比不能為\(0\)。（）7.圓\((x-1)^2+(y-2)^2=9\)的圓心坐標是\((1,2)\)，半徑為\(3\)。（）8.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(-x)=f(x)\)。（）9.直線\(y=kx+b\)與\(y\)軸的交點坐標是\((0,b)\)。（）10.從\(n\)個不同元素中取出\(m(m\leqn)\)個元素的組合數(shù)\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。-答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=2\)，頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求其前\(5\)項和\(S_5\)。-答案：先求公差\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，\(5=1+2d\)，得\(d=2\)。根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，\(S_5=5\times1+\frac{5\times4}{2}\times2=25\)。4.求曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程。-答案：對\(y=x^3\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2\)，把\(x=1\)代入導(dǎo)函數(shù)得切線斜率\(k=3\)。由點斜式可得切線方程\(y-1=3(x-1)\)，即\(3x-y-2=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性，并說明理由。-答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)，討論直線\(l\)斜率\(k\)的不同取值對直線傾斜角的影響。-答案：直線傾斜角\(\alpha\in[0,\pi)\)，\(k=\tan\alpha\)。當(dāng)\(k\gt0\)時，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(k\)增大\(\alpha\)增大；當(dāng)\(k=0\)時，\(\alpha=0\)；當(dāng)\(k\lt0\)時，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，\(k\)絕對值增大\(\alpha\)接近\(\pi\)。3.討論如何根據(jù)橢圓的標準方程判斷焦點所在坐標軸。-答案：對于橢圓標準方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），若\(a^2\gtb^2\)，焦點在\(x\)軸；若\(a^2\ltb^2\)，焦點在\(y\)軸。可看\(x^2\)與\(y^2\)分母大小，分母大的對應(yīng)的軸就是焦點所在軸。4.討論等比數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式在實際解題中的應(yīng)用場景。-答案：通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)用于已知首項、公比求某一項的值；已知某兩項的值求公比等。前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)