高二期中數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若直線斜率為\(1\)，傾斜角為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距是（）A.\(2\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(2\sqrt{13}\)D.\(\sqrt{13}\)3.命題“若\(a\gtb\)，則\(a-1\gtb-1\)”的逆否命題是（）A.若\(a-1\ltb-1\)，則\(a\ltb\)B.若\(a-1\leqb-1\)，則\(a\leqb\)C.若\(a\ltb\)，則\(a-1\ltb-1\)D.若\(a\leqb\)，則\(a-1\leqb-1\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)5.雙曲線\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)C.\(y=\pm2x\)D.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)6.若\(p\)：\(x\gt1\)，\(q\)：\(x^{2}\gt1\)，則\(p\)是\(q\)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知直線\(l_{1}\)：\(ax+3y+1=0\)，\(l_{2}\)：\(2x+(a+1)y+1=0\)，若\(l_{1}\parallell_{2}\)，則實數\(a\)的值是（）A.\(-3\)B.\(2\)C.\(-3\)或\(2\)D.\(3\)或\(-2\)8.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)9.設\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的兩個焦點，\(P\)是橢圓上一點，且\(\vertPF_{1}\vert=6\)，則\(\vertPF_{2}\vert\)等于（）A.\(10\)B.\(8\)C.\(4\)D.\(2\)10.直線\(x-y+1=0\)與圓\((x-1)^{2}+y^{2}=2\)的位置關系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列命題正確的是（）A.過點\((x_{0},y_{0})\)的直線方程可表示為\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)B.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)C.直線\(x=1\)的傾斜角為\(90^{\circ}\)D.過兩點\(P_{1}(x_{1},y_{1})\)，\(P_{2}(x_{2},y_{2})\)的直線斜率\(k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)（\(x_{1}\neqx_{2}\)）2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(0\lte\lt1\)）D.焦點坐標為\((\pmc,0)\)，其中\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)3.下列關于雙曲線的說法正確的是（）A.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)B.雙曲線的離心率\(e\gt1\)C.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)與\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\)的漸近線相同D.雙曲線的實軸長一定大于虛軸長4.已知\(p\)，\(q\)是兩個命題，那么“\(p\landq\)為真命題”是“\(p\lorq\)為真命題”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分條件D.既不充分也不必要條件5.設向量\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)，則下列說法正確的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，則\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)B.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0\)C.\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)D.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\)6.直線\(l\)過點\((1,2)\)，且在兩坐標軸上截距相等，則直線\(l\)的方程可能為（）A.\(x-y+1=0\)B.\(x+y-3=0\)C.\(2x-y=0\)D.\(x-2y+3=0\)7.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的性質正確的是（）A.焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)B.準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點\(M(x_{0},y_{0})\)到焦點的距離為\(x_{0}+\frac{p}{2}\)D.通徑長為\(2p\)8.已知圓\(C_{1}\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\)，圓\(C_{2}\)：\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4\)，則兩圓的位置關系是（）A.相交B.外切C.圓心距為\(2\sqrt{2}\)D.內切9.下列命題中是全稱量詞命題的有（）A.任意一個自然數都是正整數B.有的等差數列也是等比數列C.三角形的內角和是\(180^{\circ}\)D.每一個菱形的對角線都互相垂直10.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)為其左右焦點，\(P\)為橢圓上一點，則（）A.\(\vertPF_{1}\vert+\vertPF_{2}\vert=4\)B.\(\vertPF_{1}\vert\)的取值范圍是\([1,3]\)C.當\(\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}\)時，\(\vertPF_{1}\vert\vertPF_{2}\vert=6\)D.離心率\(e=\frac{1}{2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.直線\(y=kx+b\)中，\(k\)為斜率，\(b\)為直線在\(y\)軸上的截距。（）2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)。（）3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的實軸長為\(2a\)，虛軸長為\(2b\)。（）4.命題“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}\geq0\)”的否定是“\(\existsx\inR\)，\(x^{2}\lt0\)”。（）5.若向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)的夾角為\(\theta\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)。（）6.圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)的圓心為\((0,0)\)，半徑為\(r\)。（）7.拋物線\(y^{2}=-4x\)的焦點在\(x\)軸負半軸上。（）8.若直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)垂直，則\(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0\)。（）9.橢圓的離心率越大，橢圓越扁。（）10.命題“若\(x=1\)，則\(x^{2}-3x+2=0\)”是真命題。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求直線\(2x-y+3=0\)與直線\(x+y-6=0\)的交點坐標。答案：聯立方程組\(\begin{cases}2x-y+3=0\\x+y-6=0\end{cases}\)，兩式相加得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-6=0\)得\(y=5\)，交點坐標為\((1,5)\)。2.已知橢圓方程\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，求其離心率。答案：由橢圓方程知\(a^{2}=25\)，\(a=5\)，\(b^{2}=9\)，則\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=16\)，\(c=4\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。3.求雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程。答案：對于雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，\(a=3\)，\(b=4\)，漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，即\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。4.已知圓\(C\)的方程為\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)，求圓心坐標與半徑。答案：圓的標準方程為\((x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}\)，圓心\((m,n)\)，半徑\(r\)。所以圓\(C\)圓心坐標為\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關系。答案：圓\(x^{2}+y^{2}=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。直線\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)，圓心到直線距離\(d=\frac{\vert0-0+1\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq1=r\)，所以直線與圓相交或相切。2.討論橢圓和雙曲線在定義、性質上的異同點。答案：相同點：都有兩個焦點。不同點：定義上，橢圓是到兩定點距離和為定值，雙曲線是差的絕對值為定值；性質上，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)，且漸近線是雙曲線特有的性質。3.討論拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)與\(y^{2}=-2px(p\gt0)\)的區別與聯系。答案：聯系：都是拋物線，形狀相同。區別：\(y^{2}=2px(p\gt0)\)開口向右，焦點\((\frac{p}{2},0)\)，準線\(x=-\frac{p}{2}\)；\(y^{2}=-2px(p\gt0)\)開口向左，焦點\((-\frac{p}{2},0)\)，準線\(x=\frac{p}{2}\)。4.討論如何根據直線的一般式方程判斷兩直線的位置關系。答案：對于直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)，\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)。若\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C