順德高一數學競賽試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\(R\)2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)3.直線\(2x+y-1=0\)的斜率是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)6.函數\(y=x^2-2x+3\)的最小值是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((3,6)\)8.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圓心坐標是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)9.若\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\lga\lt\lgb\)10.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式3.等差數列的性質有（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.\(a_n=a_1+(n-1)d\)C.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為公差）4.對于集合\(A\)、\(B\)，下列說法正確的是（）A.\(A\subseteqA\)B.若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，則\(A=B\)C.\(\varnothing\subseteqA\)D.\(A\capB\subseteqA\)5.下列三角函數值為正的是（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos225^{\circ}\)C.\(\tan30^{\circ}\)D.\(\sin(-30^{\circ})\)6.已知直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1=0\)C.\(B_1C_2-B_2C_1\neq0\)D.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)7.二次函數\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象特征與\(a\)、\(b\)、\(c\)的關系，說法正確的是（）A.\(a\)決定開口方向B.\(b\)與對稱軸有關C.\(c\)是函數在\(y\)軸上的截距D.\(\Delta=b^2-4ac\)決定與\(x\)軸交點個數8.下列向量運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)D.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)9.圓的方程有（）A.標準方程B.一般方程C.參數方程D.斜截式方程10.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\log_2x\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)是奇函數。（）3.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）5.等差數列的前\(n\)項和公式是\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）6.集合\(A=\{x|x^2-1=0\}\)，則\(A=\{1,-1\}\)。（）7.圓\(x^2+y^2=4\)的半徑是\(4\)。（）8.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）9.函數\(y=\cosx\)的圖象關于\(y\)軸對稱。（）10.向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)與向量\(\overrightarrow{b}=(0,1)\)垂直。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域。答：要使根式有意義，則根號下的數非負，即\(x-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，定義域為\([1,+\infty)\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)。答：根據等差數列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(n=5\)時，\(a_5=2+(5-1)×3=2+12=14\)。3.求直線\(2x-y+1=0\)與\(x\)軸、\(y\)軸的交點坐標。答：令\(y=0\)，則\(2x+1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)，與\(x\)軸交點為\((-\frac{1}{2},0)\)；令\(x=0\)，則\(-y+1=0\)，解得\(y=1\)，與\(y\)軸交點為\((0,1)\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)的值。答：根據\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)，因為\(\alpha\)是第一象限角，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\frac{3}{5}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^2-4x+3\)的單調性。答：對函數\(y=x^2-4x+3\)求對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}=2\)，\(a=1\gt0\)開口向上，所以在\((-\infty,2)\)上單調遞減，在\((2,+\infty)\)上單調遞增。2.探討直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數法，聯立直線與圓方程，看所得方程組解的個數，無解相離，一組解相切，兩組解相交。3.說說如何在已知三角形兩邊及夾角的情況下求三角形面積。答：已知三角形兩邊\(a\)、\(b\)及夾角\(C\)，根據三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}ab\sinC\)，直接代入兩邊長度和夾角正弦值即可求出面積。4.討論在等差數列中，如何根據已知條件求前\(n\)項和\(S_n\)。答：若已知首項\(a_1\)、項數\(n\)和公差\(d\)，可用\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)；若已知首項\(a_1\)和末項\(a_n\)，則用\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，