上海市青浦高中2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．2．隨機(jī)變量，且，則（）A．64 B．128 C．256 D．323．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-2 B．2 C．-3 D．34．設(shè),，，則（）A． B． C． D．5．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門(mén)課程中，甲選修2門(mén)，乙、丙各選修3門(mén)，則不同的選修方案共有（）A．36種 B．48種 C．96種 D．192種6．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，，畫(huà)該三棱錐的三視圖的俯視圖時(shí)，以平面為投影面，得到的俯視圖可以為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，滿足和均為偶函數(shù)，且，設(shè)，則A． B． C． D．9．已知，則（）附：若，則，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.022810．若y=fx在-∞,+∞可導(dǎo)，且lim△x→0fA．23 B．2 C．3 D．11．某錐體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（）A． B． C．1 D．212．已知函數(shù)，，若存在2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為_(kāi)_________．14．電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值，則隨機(jī)選取1部電影，這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率為_(kāi)______.15．如圖，兩條距離為4的直線都與軸平行，它們與拋物線和圓分別交于，和，，且拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的最大值為_(kāi)_____.16．在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)并且與極軸垂直的直線方程是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，，已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意，函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，將的圖象向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，已知對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．20．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求的極值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）已知矩陣，向量.（1）求的特征值、和特征向量、；（2）求的值.22．（10分）實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)分別是：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.2、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布期望的計(jì)算公式列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【詳解】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，所以，則，因此.故選A.本小題主要考查二項(xiàng)分布期望和方差計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

本題首先可以確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可列出方程組，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，故選C．本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，純虛數(shù)的實(shí)部為0且虛部不為0，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想，是簡(jiǎn)單題．4、A【解析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【詳解】,令，則因此當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕xA.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.5、C【解析】試題分析：設(shè)4門(mén)課程分別為1，2，3，4，甲選修2門(mén)，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，∴不同的選修方案共有6×4×4=96種，故選C．考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理點(diǎn)評(píng)：本題需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一種方案，用列舉法找到相應(yīng)的組合即可．6、C【解析】點(diǎn)在的投影為，點(diǎn)在的投影為，在的投影為，在的投影為，連接四點(diǎn)，注意實(shí)線和虛線，得出俯視圖，選C7、A【解析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因?yàn)椋?為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即，或，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).8、C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案詳解：由題意可得：故，周期為故選點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，運(yùn)用周期性進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合已知條件求出結(jié)果，本題的解題方法需要掌握。9、D【解析】

由隨機(jī)變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，再利用原則，結(jié)合圖象得到.【詳解】因?yàn)椋裕裕矗?選D．本題主要考查正態(tài)分布曲線及原則，考查正態(tài)分布曲線圖象的對(duì)稱性.10、D【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】∵lim△x→0∴23即23則f'故選D．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極限定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．11、B【解析】

錐體高一定，底面積最小時(shí)體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小，計(jì)算得到答案.【詳解】錐體高一定，底面積最小時(shí)體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小故答案選B本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.12、B【解析】

由于有兩個(gè)零點(diǎn)，則圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，討論臨界位置.【詳解】作出圖象與圖象如圖：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，將向下平移都能滿足有兩個(gè)交點(diǎn)，將向上平移此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足，又因?yàn)辄c(diǎn)取不到，所以.分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)分析，將函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題會(huì)更加方便我們解決問(wèn)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為，故答案為.14、【解析】

首先根據(jù)好評(píng)率求獲得好評(píng)的電影部數(shù)，再求總的電影部數(shù)，最后求比值.【詳解】獲得好評(píng)的電影部數(shù)：共有部電影，所以沒(méi)有獲得好評(píng)的電影概率為：.故答案為：本題考查用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，意在考查分析數(shù)據(jù)，應(yīng)用數(shù)據(jù)的能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

先設(shè)直線的方程為，再利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系將用表示，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得或7，又，∴.設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，則.設(shè)，，令，得；令，得.即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，從而的最大值為，故答案為：.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.16、【解析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系得答案．【詳解】如圖，由圖可知，過(guò)點(diǎn)（1，0）并且與極軸垂直的直線方程是ρcosθ＝1．故答案為．本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（I）將代入函數(shù)的解析式，并將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)的解析式去絕對(duì)值，表示為分段函數(shù)的形式，并判斷出該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)，得出關(guān)于與的不等式關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）因?yàn)椋遥芍谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①若，則在和上無(wú)零點(diǎn)，由的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理可知，至多有兩個(gè)零點(diǎn)；故，即對(duì)任意恒成立，可知.②當(dāng)時(shí)，若或成立，則由的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理可知至多有兩個(gè)零點(diǎn)，故，即成立，注意到，故，即對(duì)任意成立，可知，綜上可知，.因?yàn)椋?設(shè)，其頂點(diǎn)在，（即線段）上運(yùn)動(dòng).若，顯然存在字圖與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，不符合題意，故，如圖畫(huà)出草圖.顯然當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)圖象總有，兩個(gè)交點(diǎn)，故只需要字形圖象右支與拋物線有交點(diǎn)即可，即有兩個(gè)正根，滿足，即對(duì)任意都成立，即，又，所以.本題考查了絕對(duì)值函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常用方法，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．18、（1）（2）（3）【解析】【試題分析】（1）借助平移的知識(shí)可直接求得函數(shù)解析式；（2）先換元將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)根，再構(gòu)造二次函數(shù)運(yùn)用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解；（3）先依據(jù)題設(shè)條件求出函數(shù)的解析式，再運(yùn)用不等式恒成立求出函數(shù)的最小值：解：（1）（2）設(shè),則，原方程可化為于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，法1：設(shè)，對(duì)稱軸t=,則①，或②由①得，即，由②得無(wú)解,，則．法2：由，得，，，設(shè)，則，，記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須，即，從而有（3）設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)在的圖像上，所以，于是即..由，化簡(jiǎn)得，設(shè),即恒成立.解法1：設(shè)，對(duì)稱軸則③或④由③得，由④得或，即或綜上，.解法2：注意到，分離參數(shù)得對(duì)任意恒成立設(shè)，，即可證在上單調(diào)遞增19、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論，令得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，分離參數(shù)得，令，研究函數(shù)的性質(zhì)，可將證明轉(zhuǎn)化為證明，即證明成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，可得，問(wèn)題得證.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：由得，設(shè)，則．由，得；由，得．故的最小值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則，等價(jià)于，且在上單調(diào)遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設(shè)，則，令，則，，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，從而得證．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第一問(wèn)屬于易得分題，只需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，再分別令，即可求解函數(shù)的增、減區(qū)間，進(jìn)而判斷其單調(diào)性；第二問(wèn)解題時(shí)，首先對(duì)進(jìn)行參數(shù)分離，再構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，進(jìn)而再利用導(dǎo)數(shù)證明.20、（Ⅰ）極大值，極小值；（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，然后列表分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)分、、和四種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋睿?列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值，極小值；（Ⅱ）由題意得，（1）當(dāng)時(shí)，令，解得；，解得.（2）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；②當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在處理含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要弄清楚分類討論的基本依據(jù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)進(jìn)行求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.21、(1)當(dāng)時(shí)，解得,當(dāng)時(shí)，解得;(2)見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量；（2）根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式求出矩陣A的所有特征值為3和-1，然后根據(jù)特征向量線